Exempelsamling Vektoranalys

6263Här ärvilket gerAlltså:I specialfallet ärA = rot[(e i · B)r − (B · r)e i ] == (e i · B)rotr}{{}− grad(B · r) ×e i = −B × e i} {{ }=0 =B∫∫∫∫e i · M = I (B × e i ) · dS = Ie i · dS × BSS∫∫M = −IB × dSSM = πR 2 Iˆn × Btvå plan ortogonala mot z-axeln på avstånden z resp. z + dz från xy-planet.Cirkelskivans volym är πz 2 dz och vi finner∫∫∫Ytintegralen över S ′ blir∫∫Vz 2 dV =∫ 10πz 4 dz = π 5S ′ (2x + xy + 1)e z dS = πe zDen sökta integralen blir följaktligen∫∫φdS = π 5 (2, 0, 3) − π(0, 0, 1) = 2π (1, 0, −1)5S87. Linjeintegralens i:e komponent =∮= e i · ∇ 1 ∮C r × dr = (e i × ∇ 1C r ) · dr =∫∫= ∇ × (e i × ∇ 1 ) · ˆn dSrIntegranden kan skrivas−(e i · ∇)∇ 1 r + e i∇ · ∇ 1 rYtintegralen blir följaktligen∫∫e i ·SS=∂∂x irr 3 + 0 = e ir 3 − r 3 r 4 x ir == e ir 3 − 3(e i · r)rr 5( ) ˆn− (r · ˆn)3rr3 r 5 dSAlltså är linjeintegralen och ytintegralen lika omψ = φ = 1 r 388. Låt S ′ vara en cirkelskiva parallell med xy-planet med radie 1 och centrum i(0, 0, 1) och med normalen e z .∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫φdS = ∇φdV = (2z 2 + y, x, 4xz + 3z 2 )dVS+S ′VVolymsintegralerna över x, y och xz är = 0 av symmetriskäl. Som integrationselementi de återstående integralerna används en cirkelskiva som utskärs av deV89.90.I den givna punkten:grad(ρ − cosϕ)grad(z − ρ sinϕ)sinϕ= e ρ + e ϕρ= − sinϕe ρ − cosϕe ϕ + e z±ˆn 1 = 1 √2(e ρ + e ϕ )±ˆn 2 = − 1 2 (e ρ + e ϕ ) + e z√2|ˆn 1 · ˆn 2 | = cosα = √ 12⇒ α = π 4∇T = 2ρe ρ − 2 ρ z2 sinϕcosϕe ϕ + 2z cos 2 ϕe z(∇T) P = 4e ρ − 1 2 e ϕ + e zdTds( ) dTdsmax= (∇T) P · eρ − 2e ϕ√ = √ 5 5√69= |(∇T) P | = i riktn. (∇T) P291. div gradφ ≡ 0, dvs. flödet = 0 om ytan ej skär z-axeln där fältet är singulärt.