Exempelsamling Vektoranalys

2829129. På ett sfäriskt skal med centrum i origo och radie R är potentialenVad är potentialen i origo?φ =sinϕ7 + 3 cos 5 θ .130. Det regnar på en cirkulär, horisontell platta, vars radie är ρ 0 m. Regntäthetenär κ(ρ, ϕ, t) m/s, och vattnet strömmar mot plattans kanter med hastigheten:v = v ρ (ρ, ϕ, t)e ρ + v ϕ (ρ, ϕ, t)e ϕ[m/s]som är ett medelvärde bildat över olika djup. Vattenlagrets tjocklek är d(ρ, ϕ, t) m.Hur lyder kontinuitetsekvationen för strömningen i polära koordinater ρ och ϕ?Beräkna speciellt d om förloppet är stationärt och om( ( ) ) 2 ρ ρκ = k 1 − och v = v 0 e ρ (k, v 0 konst.).ρ 0 ρ 0131. En platta av stor utsträckning begränsas av planen x = 0 och x = d. Dessabegränsningsytor hålls vid konstanta temperaturer T 0 resp. T d . Bestäm temperaturfördelningeni plattans inre, där Laplaces ekvation ∇ 2 T = 0 gäller.132. En kondensator består av två koaxiala cirkulära metallcylindrar. Den inre harradien R 1 och potentialen V 1 , medan den yttre, vars radie är R 2 , har potentialenV 2 . Potentialen V satisfierar Laplaces ekvation i området mellan cylindrarnaoch är kontinuerlig vid cylinderytorna. Bestäm potentialen V och den elektriskafältstyrkan e = − gradV i detta område. (Randeffekter försummas, dvs. V fårantas konstant i axelriktningen.)133. En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialenV 0 . Potentialen V (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplacesekvation i den omgivande rymden.Bestäm V (r) samt e = − gradV .134. Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G = − gradφ, där potentialfunktionenφ satisfierar ekvationen:∇ 2 φ = γρ,där γ är en konstant och ρ är masstätheten.Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär(radie R) med konstant masstäthet ρ 0 .135. Skalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i V , och på V :s begränsningsyta Sgällerφ = f,där f är en given funktion. Visa att för varje funktion ψ sådan attψ = f på Sgäller att ∫∫∫∫∫∫(gradψ) 2 dV ≥ (gradφ) 2 dV.VVφ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger.136. Skalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i hela rummet.Visa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas∫∫φ(0, −) = γ φdS,där S är cylinderytanBestäm konstanten γ.ρ = R, −h ≤ z ≤ h.Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över detområde som begränsas av ytornaρ = R, ρ = ε, z = h, z = −h.137. Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp V satisfierar Poissonsekvation∇ 2 T = − 1 k κ(r).Den specifika värmeledningsförmågan k är en konstant och den givna funktionenκ(r) anger värmeproduktionen per volymsenhet och tidsenhet i kroppen.Kroppens begränsningsyta hålls vid den givna temperaturen θ(r). Genom mätningarav värmeflödet genom S har man bestämt funktionenpå S. ˆn är S:s utåtriktade normal.Sγ(r) = −k gradT · ˆnVisa att temperaturen i en godtycklig punkt r P kan uttryckas i de kända funktionernaκ(r), θ(r) och γ(r) enligt formeln:∫∫∫κ(r)T(r P ) = aV |r − r P |∫∫SdV + b ○ θ(r)(r − r P ) · ˆn|r − r P | 3 dS +∫∫γ(r)+c ○|r − r P | dS.Bestäm konstanterna a, b och c.S