Exempelsamling Vektoranalys

2223102. Temperaturfördelningen i en kropp beskrivs av skalärfältetT = 2 + cosθr 2 .Punkten P har de sfäriska koordinaternar = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.103. Visa att vektorfältethar en skalär potential φ.A = 3 cos2 θ − 1r 4 e r +Använd potentialen för att beräkna linjeintegralendär P:s koordinater äroch Q:s koordinater är∫ QPA · dr,sin 2θr 4 e θr = 1, θ = π 4 , ϕ = 0r = 3, θ = π 2 , ϕ = π.Ledning: Lös ekvationssystemet gradφ = A i sfäriska koordinater enligt sammaprincip som tillämpas i kartesiska koordinater.104. Ett vektorfält A ges ava) Beräkna rotA.b) Beräkna divA.A = 1 r 3 (cos2θ e θ − sin 2θ e r )c) Existerar ett skalärfält ψ(r, θ, ϕ) så att A = gradψ? Motivera svaret ochbestäm – om svaret är jakande – funktionen ψ.105. Vektorfältete rr 2är källfritt för r ≠ 0 och har följaktligen en vektorpotential A. Beräkna denallmännast möjliga vektorpotential A som dels kan skrivas på formenA = A ϕ (r, θ, ϕ)e ϕoch dels är källfri. Den erhållna vektorpotentialen är ej definierad i vissa punkterim rummet. Ange dessa punkter.106. Visa att linjeintegralenfrån punkten P:till punkten Q:∫ QP( 1r e r + 1 )r sinθ e ϕ · drr = 1, θ = ϕ = π 2r = 3, θ = π 4 , ϕ = 3π 2är oberoende av vägen, förutsatt att vägen ej skär planet ϕ = π eller z-axeln.Beräkna även integralens värde.107. Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen∮(sinθ e θ + sinθ e ϕ ) · dr,Cdär C är skärningen mellan en sfär med medelpunkten i origo och radien 1 samtde delar av planenx = 0, y = 0, z = 0för vilka x, y, z ≥ 0. Kurvans orientering, som du får välja själv, skall tydligtanges. Kontrollera resultatet genom direkt integration.108. Beräkna integralen ∫∫e θ dS,Sdär S har ekvationen109. Beräkna cirkulationen av vektorfältetx 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0.cosϕr 2 sinθ e cosθ cosϕr +r 2 sin 2 θ e θ +sinϕr 2 sin 2 θ e ϕlängs en sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, men för övrigt är godtycklig.