Exempelsamling Vektoranalys

8786= −ε ilj x l φ ,j + 0 − 0 − ε jlm x l x j φ ,im = −(r × ∇φ) i} {{ }156. a)160. a)A ′ ijkl(∮ ) ∮ ∫∫= a ir a js a kt a lu δ rs δ tu = a ir a jr a kt a lt = {a ik a jk = δ ij } =A × dr = ε ijk A j dx k = ε klm ε ijk A j,m dS l == δ ij δ kl = A ijklC i CS∫∫b)= (δ il δ jm − δ im δ jl )A j,m dS l =B ijkl ′ = a ir a js a kt a lu (δ rt δ su + δ ru δ st ) =S∫∫= (A j,j n i − A j,i n j )dS= a ir a js a kr a ls + a ir a js a ks a lr =S= δ ik δ jl + δ il δ jk = B ijklb)∫∫c) C ijkl = ε nij ε nkl = δ ik δ jl −δ il δ jk . Nu kan samma metod som i b) användas.((B · (ˆn × ∇))A + A(ˆn · rotB))dSS157. a) Yttre produkten av tensorerna A ij och B kl , en tensor av fjärde ordningen.c)∫∫b) A ij B ji erhålls som inre produkten mellan A ij och B kl . Ordningstalet är(Anoll (skalär).ij,j n i − A ij,i n j )dSSc) Denna tensor erhålls som partiella derivatan m.a.p. x k . Ordningstalet ärtre.d) Erhålls efter derivering av A ij m.a.p. x k resp. x l åtföljd av en kontraktion,161.∮l = i. Ordningstalet är två.− φA · dre) A ij A jk är en tensor av andra ordningen. Volymsintegrering ger en ny tensorCav samma ordning.162.158. a) div rotA = (ε ijk A k,j ) ,i = ε ijk A k,ji = 0 eftersom ε ijk är antisymmetrisk och(∫∫) ∫∫A k,ji symmetrisk vid byte av ordningen mellan i och j.(gradφ × GradA) · dS = ε ijk φ ,j A l,k dS i =b) B · ((A · ∇)C) − A · ((B · ∇)C)Sl S∫∫c) graddivA − ∇ 2 A= ε ijk ((φA l,k ) ,j − φA l,kj )dS i =Sd) (B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)B= {ε ijk A l,kj = 0} =e) 0∮f) −2 gradφ + r∇ 2 φ − (r · ∇)gradφ= φA l,k dx kCg) −2 rotA − (r · ∇)rotAh) 0i) rotB + (r · ∇)rotB163. a)j) −2 divB + r · ∇ 2 ∫∫∫∫∫∫B − (r · ∇)divB(∇ × (∇ × A)) i dV = ε ijk ε klm A m,lj dV =k) B × ((A · ∇)C) − C × ((A · ∇)B)VV∫∫= ○ (δ il δ jm − δ im δ jl )A m,l dS j =159.S∫∫(((r × ∇) × (r × ∇))φ) i == ○ (A j,i − A i,j )dS jS= (ε ijk (ε jlm x l ∂ m )(ε knp x n ∂ p ))φ =b)= ε jlm (δ in δ jp − δ ip δ jn )x l (x n,m φ ,p + x n φ ,pm ) = {x n,m = δ mn } =∫∫= ε jlm x l (δ im φ ,j + x i φ ,jm − δ jm φ ,i − x j φ ,im ) =○ (A × ∇φ) · dSS=0