Exempelsamling Vektoranalys

8485Bilda u + v = 2r.⇒ gradφ = 2√ u√ v + u∂φ∂u e u + 2√ v√ v + u∂φ∂v e v + 1 √ vu∂φ∂w e w⇒ r = 1 2 (u + v)grad 1 (u + v) =2= 1 ( √ 2 u2 (u + v)1 √ e u + 2√ )v√ e v =2 v + u v + u152.⎛⎞cos 2 α − sinαcosα 0⎜ − sinα cosα sin⎝2 α 0 ⎟⎠0 0 0149. a)b)c)∇ 2 φ == 1 2√u2 + uve u + 1 2√v2 + uv e v( (1 ∂uv(u 2 + v 2 uv ∂φ )+ ∂ (uv ∂φ) ∂u ∂u ∂v ∂v)+ u2 + v 2φ = φ(u) ⇒ d (u dφ )= 0 ⇒ φ = a lnu + bdu duφ = a 2 lnr + a ln(1 + cosθ) + b2uv∂ 2 )φ∂ϕ 2 = 0153.⎛⎞0 sinα cosα⎜ sinα cos⎝2 α − sinαcosα ⎟⎠cosα − sinα cosα sin 2 α154. Vi harA ij x i x j + B i x i = 0 (1)A ′ ijx ′ ix ′ j + B ix ′ ′ i = 0 (2)Byt i, j mot r, s i (1):A rs x r x s + B r x r = {x r = a ir x ′ i, x s = a js x ′ j} == a ir a js A rs x ′ i x′ j + a irB r x ′ i = 0150. Ortogonaliteten framgår av att ∂r/∂u, ∂r/∂v och ∂r/∂ϕ är inbördes ortogonala.Ekvationen för φ:h u = h v = √ u 2 + v 2 ,(du dφ )= 0du duLösningen blir (sedan randvillkoren använts):1φ = φ 0ln √ ln u2 3 √ a3h ϕ = uv151. a) Det räcker med att konstatera att kolumnerna i (a ik ) är ortogonala samtatt det(a ik ) = 1.b)⎛⎞0 0 0T ′ = aTa T = ⎜ 0 − √ 2 0 ⎟⎝√ ⎠0 0 2Jämförelse med (2) ger A ′ ij = a ira js A rs och B ′ i = a irB r , dvs. A ij och B i ärkomponenter av tensorer.155. a) δ 11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)Alternativt:ε ijk ε ljk= ε i12 ε l12 + ε i13 ε l13 + ε i23 ε } {{ l23 + }δil+ ε i21 ε l21 + ε i31 ε l31 + ε i32 ε } {{ l32 = 2δ } ilε ijk ε ljk = ε jki ε jkl = δ kk δ il − δ kl δ ik = 3δ il − δ il = 2δ ild) ε ijk ε ijk = antal jämna permutationer + antal udda = 6Alternativt:ε ijk ε ijk = δ jj δ kk − δ jk δ kj = 3 · 3 − δ jj = 9 − 3 = 6δil