KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING

MW 7 januari 2013KVANTMEKANIK SAMMANFATTNINGOm du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail.1 Stern-Gerlach experimentSGZ: En mätning av S z ger något av de två möjliga resultaten S z = ±/2 som kallas spinn upp ochspinn ner.Sekvenser av SG experiment:Exp1: SGZ → SGZ: Om S z mäts upprepade gånger fås samma resultat som vid första mätningen.Exp2: SGZ → SGX: Om tillståndet preparerats till S z = +/2 så ger en följande mätning av S x resultatet±/2 med sannolikhet 0.5 vardera.Exp3: SGZ → SGX → SGZ: Om tillståndet preparerats till S z = +/2 och splittras i en SGX analysatoroch en av de utgående strålarna skickas till en SGZ analysator, så är sannolikheten att få S z = ±/2 likamed 0.5. Eftersom samma utfall INTE fås som i Exp1 så visar detta att mätningen med SGX analysatornändrar systemets tillstånd.Exp4: SGZ → MSGX → SGZ: Om tillståndet preparerats till S z = +/2, och skickas till en SGXanalysator och sedan blandas och skickas till en SGX analysator, så är sannolikheten att få S z = +/2lika med 1, och sannolikheten att få S z = −/2 är 0. Dvs samma utfall fås som i Exp1, precis som omMSGX analysatorn inte fanns.Postulat: Kvantmekaniska tillstånd |Ψ〉 är vektorer i ett vektorrum (Hilbert-rum) och innehållerall information som man kan ha om systemet.Spinn upp och ner tillstånden hos S z bildar en bas och skrivs som enhets-kolumnvektorerna:|+〉 = ( 1 0 ) , |−〉 = ( 0 1 )Ett allmänt spinntillstånd kan skrivas som en superposition av basvektorerna och ges av kolumnvektorn|Ψ〉 = a|+〉 + b|−〉 = ( a b ) där a, b är komplexa tal.Kolumnvektorerna kallas även ket-vektorer. Motsvarande radvektorer kallas bra-vektor och skrivs〈+| = (1, 0) , 〈−| = (0, 1) , 〈Ψ| = a ∗ 〈+| + b ∗ 〈−| = (a ∗ , b ∗ )Inre produkten av två tillståndsvektorer |Ψ〉 = a|+〉 + b|−〉, |Φ〉 = c|+〉 + d|−〉 definieras som 〈Ψ|Φ〉 =a ∗ c + b ∗ d = 〈Φ|Ψ〉 ∗ och är ett komplext tal. Detta kallas Dirac notation eller “bra-ket” notation.Inre produkten är positivt definit: 〈Ψ|Ψ〉 = |a| 2 + |b| 2 ≥ 0. Normen av en vektor är 〈Ψ|Ψ〉 1/2 .Basvektorerna är ON: 〈+|+〉 = 〈−|−〉 = 1, 〈+|−〉 = 〈−|+〉 = 0. a, b fås genom a = 〈+|Ψ〉, b = 〈−|Ψ〉.Alla kvantmekaniska tillståndsvektorer ska vara normerade: 〈Ψ|Ψ〉 = a ∗ a + b ∗ b = |a| 2 + |b| 2 = 1Postulat: Sannolikheten att få spinn upp vid en mätning av S z i tillståndet |Ψ〉 = a|+〉 + b|−〉är P + = |a| 2 = |〈+|Ψ〉| 2 , och pss är P − = |b| 2 = |〈−|Ψ〉| 2 . En mätning av S z som ger spinn uppändrar systemets tillstånd till |+〉, och spinn ner ändrar tillståndet till |−〉 (kollaps ellerprojektion av tillståndet).En mätning av S x som ger resultatet S x = ±/2 ändrar systemets tillstånd till|+〉 x = |+〉+|−〉 √2= √ 1 2( 1 1 ) , |−〉 x = |+〉−|−〉 (√2, = √ 1 1−1)2En mätning S y som ger resultatet S y = ±/2 ändrar tillståndet till|+〉 y = |+〉+i|−〉 √2= √ 1 2( 1 i ) , |−〉 y = |+〉−i|−〉 (√2, = √ 1 1−i)21

2 Operatorer och egenvärdesproblemI kvantmekaniken representeras en observabel A av en operator  som verkar på ket-vektorerna och gernya ket-vektorer som resultat: Â|Ψ〉 = |Φ〉. Operatorn konstrueras så att den ger resultat som stämmermed experiment och med motsvarande klassiska resultat. Ofta utelämnasˆtecknet på operatorn.Spinnoperatorer i S z -basen: S x = 2 ( 0 1 10 ) , S (y = 0 −i) (2 i 0 , Sz = 1 0)2 0 −1Spinnkomponenten i riktningen n = (sin θ cos φ, sin θ sin(φ, cos θ) ges av operatorn )S n = S · n = S x sin θ cos φ + S y sin θ sin φ + S z cos θ = cos θ sin θe −iφ2sin θe iφ− cos θBra-vektorn som motsvarar ket-vektorn A|Ψ〉 = |Φ〉 innehåller en ny operator: 〈Φ| = 〈Ψ|A † som kallasHermiteska konjugatet eller adjungerade operatorn till A (”A-kors”, ”A-dagger” på engelska). Matriselementenär relaterade genom 〈α|A † |β〉 = 〈β|A|α〉 ∗ , dvs ”A-kors”=”A transponat-konjugat”. A kallasHermitesk (eller självadjungerande) om A † = A.Egenvärdesproblemet för A: A|a n 〉 = a n |a n 〉, där a n är egenvärden och |a n 〉 motsvarande egenvektorer.Egenvärden och egenvektorer konstrueras genom att lösa den sekulära ekvationen det(A−λI) = 0, där Iär enhetsoperatorn. Egenvektorerna diagonaliserar en operator (eller en matris) eftersom en operator blirdiagonal i basen av sina egenvektorer, med egenvärdena som diagonalelement. Egenvektorerna är enhetsvektoreri sin egen bas. Exempel: S z |±〉 = (±/2)|±〉 , S x |±〉 x = (±/2)|±〉 x , S y |±〉 y = (±/2)|±〉 y .Sats (Sturm-Liouville teori): 1. Egenvärdena till Hermiteska operatorer är reella. 2. Egenvektorer tillolika egenvärden är ortogonala. 3. Egenvektorerna bildar en fullständig bas.Postulat: Varje fysikalisk observabel representeras av en Hermitesk operator.Exempel: S † x = S x , S † y = S y , S † z = S z .Fullständighetsrelationen: Ett allmänt tillstånd |Ψ〉 kan skrivas som en superposition av en fullständigmängd basvektorer |a n 〉: |Ψ〉 = ∑ n c n|a n 〉 = ∑ n |a n〉〈a n |Ψ〉 ⇒ ∑ n |a n〉〈a n | = I, där I är enhetsoperatornEnhetsoperatorns termer kallas projektionsoperatorer: p n = |a n 〉〈a n | och fullständighetsrelationen kanskrivas ∑ n p n = IPostulat: Egenvärdena a n är de möjliga mätresultaten vid en mätning av observabeln A.Om ett system är i ett (normerat) superpositionstillstånd |Ψ〉 = ∑ n |a n〉〈a n |Ψ〉 så är sannolikhetenatt en mätning av A ger resultatet a n lika med P n = |〈a n |Ψ〉| 2 . En mätning som gerresultatet a n ändrar (eller kollapsar, eller projicerar) systemets tillstånd till motsvarande(normerade) egentillstånd |a n 〉.Väntevärdet hos en operator A i tillståndet |Ψ〉 = ∑ c n |a n 〉 definieras som 〈A〉 = 〈Ψ|A|Ψ〉 och uppfyller〈A〉 = ∑ a n P n =summa av mätvärdena gånger sannolikheterna. Väntevärdet ger medelvärdet av ettstort antal upprepningar av en mätning av A i det identiskt preparerade tillståndet |Ψ〉Osäkerheten hos en operator A i tillståndet |Ψ〉 definieras som ∆A = √ 〈(A − 〈A〉) 2 = √ 〈A 2 〉 − 〈A〉 2 .Om systemet är i ett egentillstånd till A så blir ∆A = 0 och A kallas bestämd, annars blir ∆A > 0 ochA kallas osäker.Kommutatorn mellan två operatorer A, B definieras [A, B] = AB − BA. Om AB = BA så är [A, B] = 0och A, B säges kommutera.Sats: A, B kommuterar ⇔ A, B har gemensamma egenfunktioner.Om A, B kommuterar så kallas A, B kompatibla eller samtidigt mätbara, eftersom de kan vara bestämdasamtidigt om systemet är i ett gemensamt egentillstånd.Om [A, B] ≠ 0 så kallas observablerna inkompatibla och kan inte vara samtidigt bestämda.Osäkerhetsprincipen: ∆A∆B ≥ 1 2|〈[A, B]〉|Spinnkomponenterna inkompatibla: [S x , S y ] = iS z (cykl.perm.) ⇒ saknar gemensamma egenfunktioner.Totala spinnoperatorn i kvadrat ges av S 2 = Sx 2 + Sy 2 + Sz 2 = 3 4 2 ( 1 0 01 ), dvs S2 ∝ I.S 2 kommuterar med alla spinnkomponentoperatorerna och är samtidigt mätbar med en av dessa.Egenfunktionerna |+〉, |−〉 till S z är gemensamma egenfunktioner med S 2 .2

3 SchrödingerekvationenPostulat: Tidsutvecklingen hos ett kvantsystem ges av Hamiltonianen H som är operatornsom motsvarar systemets totala energi, genom Schrödinger-ekvationen: H|Ψ〉 = i d dt |Ψ〉.Energiegenfunktionerna uppfyller H|E n 〉 = E n |E n 〉.I energibasen ges tidsberoendet av |Ψ(t = 0)〉 = ∑ n c n|E n 〉 ⇒ |Ψ(t)〉 = ∑ n c ne −iEnt/ |E n 〉Denna enkla form på tidsberoendet gäller bara i energibasen.Sannolikheten att en energimätning ger E n är tidsoberoende: P n = |〈E n |Ψ(t)〉| 2 = |c n | 2 .Energiegentillstånden kallas därför stationära tillstånd.Energiväntevärdet är tidsoberoende: 〈H〉 = ∑ n |c n| 2 E n .4 Kvantmekaniska ”paradoxer”Flera kvantmekaniska förutsägelser som ursprungligen formulerades som kvantmekaniska paradoxer harsenare bekräftats experimentellt och är idag aktiva forskningsområden. Grundforskning (bl.a. vid Alba-Nova) om sådana exotiska kvanteffekter är idag under snabb utveckling mot nya teknikområden inomfrämst kvantkommunikation och kvantinformation.EPR argumentet visar att kvantmekaniska korrelationer är icke-lokala och framfördes först för att visa attkvantmekaniken är ofullständig och att det borde gå att formulera en mer fullständig teori. Senare experimentellastudier av Bells olikhet har kunnat utesluta sådana möjligheter och visar att kvantmekanikenfungerar.Även ”Schrödingers katt” paradoxen studeras numera experimentellt (men inte i form av några djurförsök!).En utmaning är att få makroskopiska kvantmekaniska tillstånd att ha så långa koherenstider attde kan studeras i experiment.5 Bundna tillståndEgenvärdesrelationen för positionsobservabeln är ˆx|x〉 = x|x〉, där ˆx är positionsoperatorn, egenvärdenax är möjliga positionsmätvärden som är kontinuerliga reella tal, och |x〉 är basegenfunktionerna förpartiklar i positionen x. För att studera rumsberoende kvanttillstånd är detta en bekväm bas som kallaspositionsrepresentationen.Med diskreta egenvärden a n kan ett allmänt tillstånd utvecklas som en superposition |Ψ〉 = ∑ n c n|a n 〉 =∑n |a n〉〈a n |Ψ〉, och inre produkten med tillståndet |Φ〉 = ∑ n d n|a n 〉 definieras 〈Φ|Ψ〉 = ∑ n d∗ nc n .I övergången till kontinuerliga egenvärden x blir sådana summor oftast divergenta. Inre produkten definierasdärför om som en s.k. överlappsintegral: 〈Φ|Ψ〉 = ∫ ∞−∞ Φ∗ (x)Ψ(x)dx där vågfunktionen definierassom Ψ(x) = 〈x|Ψ〉, analogt med c n = 〈a n |Ψ〉 i diskreta fallet.Väntevärden av operatorer i positionsrepresentationen definieras som 〈A〉 = ∫ ∞−∞ Ψ∗ (x)AΨ(x)Normeringskravet i diskreta fallet är 〈Ψ|Ψ〉 = ∑ n |〈a n|Ψ〉| 2 = 1.Sannolikheten att en mätning av A ska ge värdet a n är P n = |〈a n |Ψ〉| 2 .I kontinuerliga fallet är normeringskravet 〈Ψ|Ψ〉 = ∫ ∞−∞ |〈x|Ψ〉|2 dx = ∫ ∞−∞ |Ψ(x)|2 dx = 1.Sannolikheten att en positionsmätning ska hitta partikeln i (x, x + dx) är |Ψ(x)| 2 dx, dvs |Ψ(x)| 2 är ensannolikhetstäthet.Sannolikheten att hitta partikeln i ett intervall är P (a < x < b) = ∫ ba |Ψ(x)|2 dx.Allmänt är sannolikheten att hitta en partikel som preparerats i tillståndet Ψ i tillståndet Ψ lika med|〈Φ|Ψ〉| 2 = | ∫ ∞−∞ Φ∗ (x)Ψ(x)dx| 2Ett ∫ allmänt tillstånd kan skrivas som en superposition av positionsegentillstånd på integralform |Ψ〉 =∞−∞ |x〉〈x|Ψ〉dx, vilket ger den kontinuerliga versionen av fullständighetsrelationen: ∫ ∞|x〉〈x|dx = I.−∞3

{Tunnling genom rektangulär potentialbarriär: V (x) =V0 |x|aTransmissionssannolikhet T = |Ψ transmitterad /Ψ infallande /| 2Reflektionssannolikhet R = |Ψ reflekterad /Ψ infallande /| 2T + R = 1)E > V 0 : T = 1/(1 + (k2 −q 2 ) 2sin 2 2qa , k 2 = 2mE/ 2 , q 2 = 2m(E − V 0 )/ 24k 2 q 2)E < V 0 : T = 1/(1 + (k2 +q 2 ) 24k 2 qsinh 2 2qa2, k 2 = 2mE/ 2 , q 2 = 2m(V 0 − E)/ 2För tunnling genom en barriär med bredden d = 2a i gränsen för en bred barriär, qd ≫ 1, blir1T =1+ (k2 +q 2 ) 2sinh 2 → 16k2 q 2(kqd2 +q 2 )e −2qd ∼ e −2qd24k 2 q 2} {{ }→e 2qd /4Denna formel ger den teoretiska basen för STM metoden: Scanning Tunneling Micoscropy. En tunnelströmberor exponentiellt på avståndet mellan en atomärt skarp metallspets och en metallyta. Genomatt mäta tunnelströmmens positionsberoende vid svep med spetsen över ytan möjliggörs en bestämningav atomernas positioner på ytan med atomär upplösning.7 RörelsemängdsmomentSchrödingerekvationen i tre dimensioner är HΨ = (T + V )Ψ = EΨ(r)Rörelsemängdsoperatorn: p = −i∇Kinetiska energioperatorn: T = p22m = − 22m ∇2 . Potentiella energioperatorn: V = V (r)Studera två partiklar i r 1 , r 2 med massor m 1 , m 2 bundna av en centralpotential:H = p2 12m 1+ p2 12m 1+ V (|r 2 − r 1 |) = H CM + H rel , H CM = P 22M , H rel = p22µ + V (r),där R = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/M, M = m 1 + m 2 , P = p 1 + p 2 är masscentrumkoordinater, och r = r 2 −r 1 , p = µ(p 2 /m 2 − p 1 /m 1 ) är relativa kooordinater, samt µ är reducerade massan: µ = m 1 m 2 /M.Masscentrumrörelsen är är samma som rörelsen hos en fri partikel med massan M och har plana vågore iP·R/ som egentillstånd med konserverad rörelsemängd P och energi E = P22M. Sök stationära tillståndhos den relativa rörelsen: HΨ = − 22µ ∇2 Ψ + V (r)Ψ = EΨ(r).Rörelsemängdsmomentoperatorer: L = r × p , L 2 = L 2 x + L 2 y + L( )2 zL x = yp z − zp y = −i y ∂ ∂z − z ∂∂y, L y = −i ( z ∂∂x − x ) ( )∂∂z , Lz = −i x ∂∂y − y ∂∂xKommutatorer: [L x , L y ] = iL z (cykl. perm.), [L 2 , L x ] = [L 2 , L y ] = [L 2 , L z ] = 0.⇒ L 2 , L z har gemensamma egenfunktioner. L x , L y , L z saknar gemensamma egenfunktioner.Laplace operator i sfäriska koordinater: ∇ 2 = 1r 2( )∂∂r r2 ∂∂r +1r 2 sin θRörelsemängdsmomentoperatorer i sfäriska koordinater: L z = −i ∂( )∂∂θ sin θ∂∂θ +1r 2 sin 2 θ[∂φ , L2 = − 2 1sin θ( )SE i sfäriska koordinater: HΨ = − 2 ∂2µr 2 ∂r r2 ∂∂r Ψ +L 22µrΨ + V (r)Ψ) = EΨ(r, θ, φ)2( )Separera variabler Ψ(r) = R(r)Y (θ, φ) ⇒ 1 dR dr r2 dRdr −2µ(E − V (r)) = l(l + 1) = 1 L 2 Y2 2 Y⇒ L 2 Y = l(l + 1) 2 Y (θ, φ) Separera mera: Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)Egenfunktioner till L z : L z Φ m (φ) = mΦ m (φ) , Φ m (φ) = e imφ / √ 2πGemensamma egenfunktioner till L 2 , L z i Dirac-notation:L 2 |lm〉 = l(l + 1) 2 | lm〉, L z |lm〉 = m|lm〉.∂ 2∂φ 2( )∂∂θ sin θ∂∂θ +1sin 2 θKvanttalen l, m är heltal. l kallas rörelsemängdsmomentkvanttalet och m magnetiska kvanttalet.Möjliga värden: m = −l, −(l − 1), ..., 0, ..., (l − 1), l = 0, 1, 2, 3, ..., ∞I positionsrepresentationen: L 2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1) 2 Ylm (θ, φ) , L z Ylm (θ, φ) = mYl m (θ, φ)kallas sfäriska funktioner och finns tabellerade.Y ml]∂ 2∂φ 25

ON villkor: 〈l 1 m 1 |l 2 m 2 〉 = ∫ 2πsin θdθ ∫ π0 0m1dφYl 1(θ, φ) ∗ Y m2l 2(θ, φ) = δ l1,l 2δ m1,m 2Sannolikhet att hitta en partikel i tillståndet |lm〉 i rymdvinkelelementet dΩ = sin θdθdφ är |Ylm | 2 sin θdθdφ.8 VäteatomenRadiella Schrödinger-ekvationen − 22µr 2 ddr( )r2 dRdr + V (r)R +l(l+1)2µρR = ER(r)2Coulomb-potentialen med kärnladdning Ze (väte: Z = 1): V (r) = − Ze24πɛ 0rEftersom m proton ≈ 2000m elektron så är µ ≈ m eSätt R(r) ( = U(r)/r , ρ = ) r/a , a = a 0 /Z , a 0 = 4πɛ 0 2 /µe 2 = 0.529 Å, E = −γ 2 2 /2µa 2 ⇒U ′′ + −γ 2 + 2 ρ − l(l+1)ρU = 02Bohr-radien: a 0 = 0.529 Å.Energinivåer: E n = − 22µa 2 1n 2 = − 1( ) 2Ze 2 µ2n 2 4πɛ 0 2= −13.6/n 2 eVJoniseringsenergin för väte (Z = 1): E ∞ − E 1 = 13.6 eVHuvudkvanttalet: n = 1, 2, 3, ..., ∞.Lösningen visar även att: l = 0, 1, 2, ..., n − 1 , m = −l, −l + 1, ..., 0, ..., l − 1, lRadiella vågfunktioner: R nl (r)( ) 3/2 ( ) 3/2 [ ] ( ) 3/2ZR 10 = 2a 0e−Zr/a 0 Z, R 20 = 22a 01 − Zr2a 0e −Zr/a0 Z, R 21 = 2Zr2a 0 a 0e −Zr/a0 , osvPolynomdelen kallas Laguerre-polynom av grad n − l − 1Fulla vågfunktionen: Ψ(r, θ, φ) = R nl (r)Y nl(θ, φ)Normering: 〈nlm|n ′ l ′ m ′ 〉 = δ nn ′δ ll ′δ mm ′Sannolikhet att hitta partikeln i dr: |R nl (r)| 2 r 2 dr, ∫ ∞0[R nl (r)] 2 r 2 dr = 1 , ∫ π0 sin θ dθ ∫ 2π0dφ |Y ml| 2 = 1Sannolikhet att hitta partikeln i dV : |Ψ(r, θ, φ)| 2 dV = |R nl (r)| 2 r 2 dr |Y nl(θ, φ)| 2 sin θ dθ dφ9 Harmoniska oscillatornHamiltonoperatorn: H = p22m + 1 2 mω2 x 2 = ( ) (a † a + 1 2 ω = N +12)ωStegoperatorer: a = √ ( )mω2 x + ipmω , a † = √ ( )mω2 x − ip√mωx =2mω(a † + a ) , p = i√mω2(a † − a )Nummeroperatorn: N = a † a , [N, H] = 0Kommutatorer: [a, a † ] = 1 , [H, a] = −ωa , [H, a † ] = −ωa †Normering: a|n〉 = √ n|n − 1〉 , a † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉Energiegenvärden: H|E n 〉 = E n |E n 〉, E n = (n + 1/2)ω, n = 0, 1, 2, ..., ∞Nummeroperatorns egenvärden: N|n〉 = n|n〉, |n〉 = |E n 〉, n = 0, 1, 2, ..., ∞ON egenvektorer: 〈m|n〉 = δ m,nMatriselement: 〈m|a|n〉 = √ nδ m,n−1 , 〈m|a † |n〉 = √ n + 1δ m,n+1Grundtillståndsvågfunktion: φ 0 (x) = ( )mω 1/4π e−x 2 /2x 2 06

Klassisk vändpunkt: x 0 = √ /mωExciterade tillstånd: |n〉 = 1 √n!(a † ) n |0〉Vågfunktioner: φ n (x) = 1(√ mωn! π) n/2Hn (ξ)e −ξ2 /2 , ξ 2 = (x/x 0 ) 2Hermite-polynomen H n = n:te gradspolynom: H 0 = 1 , H 1 = 2ξ , H 2 = 4ξ 2 − 2 , H 3 = 8ξ 3 − 12ξGrundtillståndsväntevärden:√√〈x〉 = 〈0|x|0〉 =2mω 〈0|(a† + a)|0〉 =2mω (〈0|a† |0〉 + 〈0|a|0〉) = 0} {{ } } {{ }=0 =0〈x 2 〉 = 〈0|x 2 |0〉 = 2mω 〈0|(a† + a) 2 |0〉 =2mω (〈0|(a† ) 2 |0〉 + 〈0|a 2 |0〉På liknande sätt fås: 〈p〉 = 0 , 〈p 2 〉 = mω/2Osäkerheter: ∆x = √ /2mω , ∆p = √ mω/2} {{ }=0} {{ }=0+ 〈0|a † a|0〉} {{ }=0Osäkerhetsprodukt: ∆x∆p = /2, dvs osäkerhetsrelationen uppfylls som en likhet.Den Gaussiska grundtillståndsvågfunktionen säges därför ha minimal osäkerhet.+ 〈0|aa † |0〉 ) = } {{ }2mω=〈0|a|1〉=〈0|0〉=1Exempel på superposition av stationära tillstånd. Antag att en oscillator är i en superposition av de tvålägsta energiegentillstånden:(|Ψ(t)〉 = √ 1 2 |0〉e−iE 0t/ + |1〉e −iE1t/) (= ) e−iωt/2 √2|0〉 + |1〉e−iωt⇒(〈x〉 = 〈Ψ(t)|x|Ψ(t)〉 = ) √ ( e+iωt/2 √2〈0| + 〈1|e+iωt 2mω a † + a ) ( ) √e −iωt/2√2|0〉 + |1〉e−iωt =2mωcos ωt(〈p〉 = 〈Ψ(t)|p|Ψ(t)〉 = ) √ ( e+iωt/2 √2〈0| + 〈1|e+iωt mωi2 a † − a ) ( ) √e −iωt/2√2|0〉 + |1〉e−iωt mω= −2sin ωtDetta demonstrerar återigen Ehrenfests teorem: 〈p〉 = m d dt 〈x〉Den första kvantmaskinen har nyligen konstruerats i form av en mekanisk oscillator, som bla kan oscillerasom en superposition liknande exemplet ovan. Denna bedrift utsågs till 2010 års största vetenskapligagenombrott i tidskriften Science:http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_machinehttp://www.sciencemag.org/content/330/6011/160410 StörningsräkningH = H 0 + H ′ , H 0 = ostörd Hamiltonian,H ′ = störning som antas vara liten och ger en liten ändring av det ostörda systemet.Ostörda systemet antas ha känd lösning: H 0 |n (0) 〉 = E n (0) |n (0) 〉Sök lösning till det störda systemet: (H 0 + H ′ )|n〉 = E n |n〉Ansätt lösningen till det störda systemet som en serie:E n = E n (0) + E n (1) + E n (2) + ...|n〉 = |n (0) 〉 + |n (1) 〉 + |n (2) 〉 + ...där superscript (m) betecknar m:te ordningens korrektion och är proportionell mot störningen upphöjttill m enligt formlerna nedan. Störningsräkning är motiverad om högre ordningens korrektioner är såsmå att första eller andra ordningens korrektioner ger en användbar approximation, vilket ofta gäller.Första ordningens störningsteori:E n = E n (0) + E n (1) , E n (1) = 〈n (0) |H ′ |n (0) 〉 = ∫ (φ (0)n ) ∗ H ′ φ (0)n dxdär φ (0)n (x) = 〈x|n (0) 〉 är den ostörda vågfunktionen.|n〉 = |n (0) 〉 + |n (1) 〉 , |n (1) 〉 = ∑ m≠nAndra ordningens störningsteori:E (2)n= ∑ m≠n|〈m (0) |H ′ |n (0) 〉| 2E n (0) −E m(0)〈m (0) |H ′ |n (0) 〉E n (0) −E m(0)|m (0) 〉Formlerna ovan gäller för icke-degenererade ostörda energinivåer. För degenererade ostörda energinivåerfås de störda energinivåerna genom att diagonalisera störningen i det degenererade underrummet. I regel7

kan dock basfunktionerna väljas på förhand så att H ′ blir diagonal. Då sparas räknearbete eftersom förstaordningens energikorrektionerna fås med samma formel som ovan för det icke-degenererade fallet.Exempel på degenererad störningsräkning: Stark-effekt i väte för n = 2 tillstånd. OBS: bokens räkningarinnehåller flera fel i formlerna som korrigeras i bokens erratum (se länk från kurshemsidan).11 RörelsemängdsmomentAllmänna rörelsemängdsmomentKommutationsrelationer: [J x , J y ] = iJ z , [J 2 , J x ] = 0 (cykl. perm.)Stegoperatorer: J + = J x + iJ y , J − = J x − iJ yGemensamma egenfunktioner: J 2 |jm j 〉 = j(j + 1) 2 |jm j 〉 , J z |jm j 〉 = m j |jm j 〉j är halvtaligt: j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... , m j = −j, ..., j i heltalssteg.Addition av rörelsemängdsmoment J = J 1 + J 2Okopplad bas: |j 1 j 2 m 1 m 2 〉 = |j 1 m 1 〉|j 2 m 2 〉Kopplad bas: |j 1 j 2 JM〉Kopplade basfunktionerJ 2 |JM〉 = J(J + 1) 2 |JM〉 , J z |JM〉 = M|JM〉 där |j 1 − j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 och M = m 1 + m 2Basbyte: |j 1 j 2 JM〉 = ∑ j 1m 1=−j 1∑ j2m 2=−j 2C j1j2Jm 1m 2M |j 1j 2 m 1 m 2 〉Clebsch-Gordan koefficienterna C j1j2Jm 1m 2M = 〈j 1j 2 m 1 m 2 | j 1 j 2 JM〉 finns tabellerade.Exempel: addition av två spin-1/2:triplett: |JM〉 = |11〉 = | + +〉 , |10〉 = |+−〉+|−+〉 √2, |1, −1〉 = | − −〉singlett: |00〉 = |+−〉−|−+〉 √2HyperfinstrukturHyperfin växelverkan: H ′ = A 2 S · I, där S elektronspinn 1/2, och I kärnspinn 1/2Skriv om H ′ genom: J = S+I ⇒ J 2 = S 2 +I 2 +2S·I ⇒ S·I = 1 2 (J 2 −S 2 −I 2 ) ⇒ H ′ = A2 2 (J 2 −S 2 −I 2 )som är diagonal i den kopplade basen så att icke-degenererad störningsräkning gällerFörsta ordningens korrektion till energin splittrar upp vätes grundtillstånd så att tripletten med J = 1ligger högre än singletten med J = 0: ∆E (1) = A12 Vätes finstrukturZeeman-effekt om spinnet försummasMed B-fältet i z-riktningen blir störningen till Hamiltonianen H ′ = −µ · B = g l µ BB L zFörsta ordningens korrektion till energin: E (1) = 〈nlm|H ′ |nlm〉 = g l µ B Bm lZeeman-effekt med spinn i svaga magnetfältStörningen ges av H ′ = −µ · B = µ BB (g lL z + g e S z )Matriselement mha Wigner-Eckard teoremet:〈jm j |S z |jm j 〉 = j(j+1)+s(s+1)−l(l+1)2j(j+1)m j , 〈jm j |L z |jm j 〉 = j(j+1)+l(l+1)−s(s+1)2j(j+1)m j Första ordningens Zeeman korrektion till energin E (1)Z= 〈nlsjm j|H ′ |nlsjm j 〉 = g j µ B Bm j8

Landé g-faktor med g l = 1 , g e = 2.00: g j = 1 + j(j+1)+s(s+1)−l(l+1)2j(j+1)Väte: s = 1/2 , j = l ± 1/2 ⇒ g j = 1 ± 12j+1Zeemann skift: E (1)Z = 〈nlsjm j|H ′ |nlsjm j 〉 = µ B Bm j (1 ± 12j+1 )13 Identiska partiklarDe fysikaliska tillstånden kan inte ändras vid utbyte av identiska partiklar. Utbyte av identiska partiklarsker med utbytesoperatorn som defineras av P 12 Ψ(x 1 , x 2 ) = Ψ(x 2 , x 1 ). Egenvärden i P 12 Ψ(x 1 , x 2 ) =λΨ(x 1 , x 2 ) är λ = ±1 och motsvarar tillstånd som är symmetriska: Ψ(x 2 , x 1 ) = Ψ(x 1 , x 2 ), eller antisymmetriska:Ψ(x 2 , x 1 ) = −Ψ(x 1 , x 2 ) under utbyte av partiklarna 1 och 2.Symmetriseringspostulatet eller spinn-statistik teoremet (härleds i relativistisk kvantmekanik):Alla partiklar i naturen är antingen fermioner eller bosoner.Bosoner har symmetriska tillstånd och heltaliga spinn: s = 0, 1, 2, 3, ...Fermioner har antisymmetriska tillstånd och halvtaliga spinn: s = 1/2, 3/2, ...Pauli-principen: Två fermioner kan inte dela samma tillstånd, ty då blir Ψ(x 2 , x 1 ) = Ψ(x 1 , x 2 ) dvstillståndet symmetriskt.Tillstånden som vi studerar kan faktoriseras i en rumsdel och en spinndel: |Ψ〉 = |Ψ rum 〉|Ψ spinn 〉Bosoner: |Ψ〉 = |Ψ S rum〉|Ψ S spinn 〉 eller |Ψ〉 = |ΨA rum〉|Ψ A spinn 〉 (S=symmetrisk, A=antisymmetrisk))Fermioner: |Ψ〉 = |Ψ S rum〉|Ψ A spinn 〉 eller |Ψ〉 = |ΨA rum〉|Ψ S spinn 〉Spinntillståndet för identiska spinn 1/2 partiklar (tex elektroner) är antingen:symmetriska triplett-tillstånd: |S, M〉 = |11〉 = | + +〉 , |10〉 = |+−〉+|−+〉 √2, |1, −1〉 = | − −〉eller antisymmetriskt singlett-tillståndet: |S, M〉 = |00〉 = |+−〉−|−+〉 √29