KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING

2 Operatorer och egenvärdesproblemI kvantmekaniken representeras en observabel A av en operator  som verkar på ket-vektorerna och gernya ket-vektorer som resultat: Â|Ψ〉 = |Φ〉. Operatorn konstrueras så att den ger resultat som stämmermed experiment och med motsvarande klassiska resultat. Ofta utelämnasˆtecknet på operatorn.Spinnoperatorer i S z -basen: S x = 2 ( 0 1 10 ) , S (y = 0 −i) (2 i 0 , Sz = 1 0)2 0 −1Spinnkomponenten i riktningen n = (sin θ cos φ, sin θ sin(φ, cos θ) ges av operatorn )S n = S · n = S x sin θ cos φ + S y sin θ sin φ + S z cos θ = cos θ sin θe −iφ2sin θe iφ− cos θBra-vektorn som motsvarar ket-vektorn A|Ψ〉 = |Φ〉 innehåller en ny operator: 〈Φ| = 〈Ψ|A † som kallasHermiteska konjugatet eller adjungerade operatorn till A (”A-kors”, ”A-dagger” på engelska). Matriselementenär relaterade genom 〈α|A † |β〉 = 〈β|A|α〉 ∗ , dvs ”A-kors”=”A transponat-konjugat”. A kallasHermitesk (eller självadjungerande) om A † = A.Egenvärdesproblemet för A: A|a n 〉 = a n |a n 〉, där a n är egenvärden och |a n 〉 motsvarande egenvektorer.Egenvärden och egenvektorer konstrueras genom att lösa den sekulära ekvationen det(A−λI) = 0, där Iär enhetsoperatorn. Egenvektorerna diagonaliserar en operator (eller en matris) eftersom en operator blirdiagonal i basen av sina egenvektorer, med egenvärdena som diagonalelement. Egenvektorerna är enhetsvektoreri sin egen bas. Exempel: S z |±〉 = (±/2)|±〉 , S x |±〉 x = (±/2)|±〉 x , S y |±〉 y = (±/2)|±〉 y .Sats (Sturm-Liouville teori): 1. Egenvärdena till Hermiteska operatorer är reella. 2. Egenvektorer tillolika egenvärden är ortogonala. 3. Egenvektorerna bildar en fullständig bas.Postulat: Varje fysikalisk observabel representeras av en Hermitesk operator.Exempel: S † x = S x , S † y = S y , S † z = S z .Fullständighetsrelationen: Ett allmänt tillstånd |Ψ〉 kan skrivas som en superposition av en fullständigmängd basvektorer |a n 〉: |Ψ〉 = ∑ n c n|a n 〉 = ∑ n |a n〉〈a n |Ψ〉 ⇒ ∑ n |a n〉〈a n | = I, där I är enhetsoperatornEnhetsoperatorns termer kallas projektionsoperatorer: p n = |a n 〉〈a n | och fullständighetsrelationen kanskrivas ∑ n p n = IPostulat: Egenvärdena a n är de möjliga mätresultaten vid en mätning av observabeln A.Om ett system är i ett (normerat) superpositionstillstånd |Ψ〉 = ∑ n |a n〉〈a n |Ψ〉 så är sannolikhetenatt en mätning av A ger resultatet a n lika med P n = |〈a n |Ψ〉| 2 . En mätning som gerresultatet a n ändrar (eller kollapsar, eller projicerar) systemets tillstånd till motsvarande(normerade) egentillstånd |a n 〉.Väntevärdet hos en operator A i tillståndet |Ψ〉 = ∑ c n |a n 〉 definieras som 〈A〉 = 〈Ψ|A|Ψ〉 och uppfyller〈A〉 = ∑ a n P n =summa av mätvärdena gånger sannolikheterna. Väntevärdet ger medelvärdet av ettstort antal upprepningar av en mätning av A i det identiskt preparerade tillståndet |Ψ〉Osäkerheten hos en operator A i tillståndet |Ψ〉 definieras som ∆A = √ 〈(A − 〈A〉) 2 = √ 〈A 2 〉 − 〈A〉 2 .Om systemet är i ett egentillstånd till A så blir ∆A = 0 och A kallas bestämd, annars blir ∆A > 0 ochA kallas osäker.Kommutatorn mellan två operatorer A, B definieras [A, B] = AB − BA. Om AB = BA så är [A, B] = 0och A, B säges kommutera.Sats: A, B kommuterar ⇔ A, B har gemensamma egenfunktioner.Om A, B kommuterar så kallas A, B kompatibla eller samtidigt mätbara, eftersom de kan vara bestämdasamtidigt om systemet är i ett gemensamt egentillstånd.Om [A, B] ≠ 0 så kallas observablerna inkompatibla och kan inte vara samtidigt bestämda.Osäkerhetsprincipen: ∆A∆B ≥ 1 2|〈[A, B]〉|Spinnkomponenterna inkompatibla: [S x , S y ] = iS z (cykl.perm.) ⇒ saknar gemensamma egenfunktioner.Totala spinnoperatorn i kvadrat ges av S 2 = Sx 2 + Sy 2 + Sz 2 = 3 4 2 ( 1 0 01 ), dvs S2 ∝ I.S 2 kommuterar med alla spinnkomponentoperatorerna och är samtidigt mätbar med en av dessa.Egenfunktionerna |+〉, |−〉 till S z är gemensamma egenfunktioner med S 2 .2