Exempelsamling Vektoranalys

Exempelsamling VektoranalysTeoretisk Fysik, KTHKapitel 14&15 iVEKTORANALYSAnders Ramgard3:e upplagan (2002)(med justeringar gjorda den 19 augusti 2008)

1ExempelsamlingVektorfunktioner, parameterframställning av rymdkurvor ochrymdytor1. 1 Rita pilar med lämpligt vald storlek och riktning för att illustrera följandevektorfunktioner i xy-planet:a) (y, x)b) (x, y) √ 2c) (y, 0)d) (0, x)e) (y, x)/ √ x 2 + y 2f) (1, y)2. 2 Kurvan y = y(x) kallas en fältlinje till vektorfunktionen F(x, y), om F(x, y) ärtangent till kurvan för alla x.a) Visa att fältlinjerna y = y(x) till en vektorfunktion F(x, y) = (F x (x, y), F y (x, y))är lösningar till differentialekvationendydx = F yF x.b) Bestäm fältlinjerna till alla funktionerna i problem 1. Rita några fältlinjeroch jämför med figurerna i problem 1.3. 3 Skriv ner en formel för och skissa vektorfältet som:a) pekar radiellt utåt fran origo och har längd 1b) pekar radiellt utåt fran origo och har längd |x|c) pekar radiellt inåt mot origo och har längd lika med avståndet från origod) pekar mot punkten (1, 2, 3x) och har längd |3xy|.4. 4 En partikel rör sig i xy-planet så att läget r(t) vid tiden t ges avr(t) = (a cosωt, b sinωt),där a, b, ω är konstanter.a) Hur långt från origo är partikeln vid tiden t?b) Bestäm hastigheten och accelerationen som funktioner av tiden.c) Visa att partikeln rör sig i en elliptisk bana( xa) 2+( yb) 2= 1

• risk of refusal to grant a right to subsurface use to a legal entity that discovered a field of federalsignificance or a field located in the subsurface area of federal significance (Russian continentalshelf);• risk of refusal to accept bidding documents for participation in competitive sales/auctions fromsubsurface users of the LUKOIL Group companies;• risk of prolonged process of approval of design documents for geological exploration.The Company is constantly monitoring the changes in the legislation and law enforcement practices in the field ofsubsurface use and licensing. Moreover, the Company seeks to closely cooperate with regulating agencies in order toinform them in due time of the possible problems caused by the changes in laws and to obtain prompt informationfor timely decisions with regard to subsurface use.HSE risksThe Company is exposed to the risk of failure of technical equipment at hazardous production facilities, which maycause accidents, shutdown, harmful emissions, fire and occupational injuries.In order to mitigate these risks the Company has created and is successfully implementing an industrial safetysystem, including:• corporate supervision over the condition of equipment and devices;• monitoring of dynamic equipment operation;• assessment of workplaces based on working conditions;• creating a pool of emergency response teams and resources;• other measures to minimize accident rates at LUKOIL production facilities.LUKOIL industrial safety system provides for regular monitoring of the condition of process units, taking preventivemeasures to avoid production accidents. LUKOIL’s industrial safety system has been certified compliant with ISO14001 and OHSAS 18001.Construction risksWhile implementing investment projects, the Company has to face the risk of untimely commissioning of operationalassets. The key factors of this risk are represented by planning errors, actions of contractors and risks created by thecondition of infrastructure.LUKOIL pays maximum attention to managing this risk by carefully preparing its projects, selecting reliablesuppliers and contractors, and obtaining guarantees of performance from them, as well as by building partnershipswith infrastructure operators (state-owned monopolies, authorities of the constituent entities of Russia).Responsibility statementI hereby confirm that to the best of my knowledge:(a) the financial statements, prepared in accordance with US GAAP, give a true and fair view of the assets, liabilities,financial position and profit or loss of the Company and the undertakings included in the consolidation taken as awhole,(b) the management report includes a fair review of the development and performance of the business and theposition of the Company and the undertakings included in the consolidation taken as a whole, together with adescription of the principal risks and uncertainties that they face.Alekperov V. Y.5

5Linjeintegraler24. 24 Beräkna ∮för följande vektorfält A och kurvor CCA(r) · dra) A(x, y) = ye x + xe y och C: enhetscirkeln i moturs riktning.b) A(x, y) = −ye x + xe y och C: enhetscirkeln i moturs riktning.c) A(x, y) = x 2 ye x + (x 3 + y 3 )e y och C: enhetscirkeln i moturs riktning.d) A(x, y) = 3xye x − ye y och C: triangeln med hörn i (0, 0), (1, 1), (0, 1) imoturs riktning.e) A(x, y) = 3(x − y)e x + x 5 e y och C: triangeln i (d).25. 25 Utnyttja att vektorfältet A har en potential för att beräkna∫ baA · dr.a) A(x, y) = (3x 2 y 2 , 2x 3 y), a = (1, 2),b = (3, −1).b) A(x, y) = e xy (1 + xy, x 2 ), a = (−1, 0),b = (0, 999).26. 26 Beräkna linjeintegralen ∫därCA(r) · dr,a) A(x, y, z) = (x, y, z), C : r(t) = (t 3 , t 2 , t) från t = 0 till t = 1.b) A(x, y, z) = (x 2 , y 2 , z 2 ), C : r(t) = (sint, cost, 2t) från t = 0 till t = π.27. 27 Visa att A(x, y, z) = (y/z, x/z, −xy/z 2 ) har en potential och använd dennaför att beräkna∫A(r) · dr,Cdär C är en styckvis slät kurva från r 1 = (1, 1, 1) till r 2 = (2, −1, 3), som intepasserar ytan z = 0.28. 28 Undersök om följande vektorfält har en potential:a) A = (2xyz, x 2 z + 1, x 2 y).b) B = (x 2 z − 2, yz, x + z).

629. 29 Beräkna linjeintegralen av vektorfältetA = (2 − y, −xy, 1)längs vägena) i ex. 10.b) räta linjen från (0, 0, 0) till (1, 2, 0) samt därifrån raka vägen till (1, 2, 5).30. 30 Beräkna linjeintegralen av vektorfältetA = (2xyz, x 2 z + 1, x 2 y)från punkten (0, 1, 0) till punkten (−1, 10, −2). CORRECT: Path not given (truethat it does not depend on path, but strange formulation)31. 31 a, b och c är konstanta linjärt oberoende vektorer och r är ortsvektorn.Bestäm integralen∫A · drmedoch C som kurvangenomlöpt från t = 0 till t = π/2.CA = a(b · r) + b(r · a) + r(a · b)r = r(t) = acost + b sint + csin 2t32. 32 Beräkna integralen ∫F · dr,därF = (yz, xz, xy)och C är kurvan ⎧⎪ x = a cosϕ ⎨⎪ ⎩Cy = b sinϕz = c sinh ϕ πfrån (a, 0, 0) till punkten (−a/ √ 2, −b/ √ 2, c sinh(5/4)).

7Flödesintegraler33. 33 Beräkna flödesintegralen ∫∫A · dSför följande vektorfält och ytor (valfri normalriktning):a) A = (xy 2 , −2z, 0), S : z = 2x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4.b) A = (1, 2, 3), S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.c) A = (x, −xz, z), S : y = √ x 2 + z 2 , 0 ≤ x 2 + z 2 ≤ 4d) A = (x 2 , y 2 , z 2 ), S : enhetssfären.e) A = (x 3 , y 3 , z 3 ), S : enhetssfären.S34. 34 Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 , 2y, z)ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origoa) med hjälp av parametriseringenr = R(sinu cosv, sin u sinv, cosu).b) genom att sätta n = (x, y, z)/R samt använda symmetribetraktelser.35. 35 Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 − y 2 , (x + y) 2 , (x − y) 2 )genom ytanr = (u + v, u − v, uv), −1 ≤ u, v ≤ 1, n · e z > 0.36. 36 Beräkna flödet av vektorfältetA = (2x, −z, y)genom skruvytanr = (u, v cosu, v sinu), 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1, n · e x > 0.

8Beräkning av divergens och rotation37. 37 Beräkna divergensen och rotationen av följande vektorfält:a) A(x, y, z) = (x, y, z).b) A(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).c) A(x, y, z) = (yz, xz, xy).d) A(x, y, z) = (lnx, lny, lnz).e) A(x, y, z) = (e yz , e zx , e xy ).f) A(x, y, z) = (cosy, cosx, cos z).38. 38 Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y).39. 39 Beräkna divergensen av vektorfältetA(r) = (xln z + e yz , x z ln x e x−z , z − z lnz).40. 40 Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = e −(x2 +y 2 +z 2) (1, 1, 1).41. 41 Beräkna A × rotA där A = (y, z, x).42. 42 Beräkna a) gradf, b) rotA, c) div gradf, d) divB, e) div(A × B) samt f)rotrotA, föri) A = x 2 e y , B = ze z , f = y 2ii) A = (x 2 y, z 3 , −xy), B = ((x + y), y + z, z + x), f = xy 2 z 3 .43. 43 Visa att vektorfältetA(x, y) = 2x √ y(4, x/y)är konservativt och bestäm dess potential.Gauss’ sats44. 44 Beräknaför följande vektorfält och ytor:∫∫○ A · dSS

9a) A(x, y, z) = rot(e xy , arctanz, (x + y + z) 7/2 z 2 ) och S : enhetssfären.b) A(x, y, z) = (x, 2y, 3z) och S : enhetssfärenc) A(x, y, z) = (4x, −2y, z) och S : cylindern x 2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 6d) A(x, y, z) = (x(y + z 2 ), 0, 0) och S : randen av kuben |x|, |y|, |z| ≤ 1e) A(x, y, z) = (xz 2 , x 2 y, xyz) och S : sfären (x − 1) 2 + (y − 2) 2 + (z + 3) 2 = 445. 45 Verifiera att Gauss sats gäller för vektorfältet A = (xz, 2yz, 3xy) och volymenV : cylindern x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3.46. 46 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet i ex. 34.47. 47 Beräkna ∫∫där fältet A ärSA · dS,A = (x 3 , y 3 , z 3 )och S är ytan som omslutar halvsklotet⎧⎨ x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2⎩x + y ≥ 0.48. 48 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetA = (xz 2 , 2xy, z 2 + 2)ut ur den cylindriska burk som avgränsas av ytornax 2 + y 2 = 1, z = 1, z = −1.Kontrollera resultatet genom att beräkna flödet direkt.49. 49 Beräkna med hjälp av Gauss’ sats flödet av vektorfältetA = (2xy, y 3 − xy, z 2 )ut ur den ändliga volym som begränsas av ytornay 2 + 2y = x 2 + z 2 och y = 4.

1050. 50 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetA = (2xy + x 2 , 2 + yz, 2z 4 )genom den del av ytanx 2 + (y − 1) 2 + z 2 = 4 för vilken y ≥ 0.Normalriktningen är vald så att ˆn = e y i punkten (0, 3, 0).51. 51 Beräkna∫∫○ (2x + x 3 z)ˆndS,Sdär S är en sfär med medelpunkten (0, 1, 0) och radien 1. Normalen ˆn pekarutåt.52. 52 Vektorfältet A(r) är källfritt i området V . På V :s randyta S ärA(r) = (0, 0, 0).Visa att∫∫∫A dV = (0, 0, 0).VLedning: Tillämpa Gauss’ sats på vektorfälten xA(r), yA(r) och zA(r).53. 53 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetA = (x 3 + 2y, y 3 , z 3 − 3z 2 + 3z)ut genom ytanx 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1.54. 54 Ett vektorfält har potentialenφ = x 2 + y 2 + z 2 − (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 .Genom vilken sluten yta S är flödet av vektorfältet maximalt? Beräkna detmaximala flödet.Stokes’ sats55. 55 Beräkna ∮A · drför följande vektorfält och kurvor C:C

11a) A(x, y, z) = (x + 2y, y − 3z, z − x) och C : enhetscirkeln i xy-planet, orienteradmoturs.b) A(x, y, z) = xye y och C : triangeln med hörn i punkterna (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),orienterad moturs sett mot origo.c) A(x, y, z) = (0, x 2 , z 2 ) och C : gränskurvan till delen av ytan x 2 +y 3 +z 4 = 1som ligger i första oktanten, orienterad moturs sett mot origo.56. 56 Verifiera att Stokes sats gäller för vektorfältet A = (z, x 2 , y 3 ) och ytan S: detre trianglarna i koordinatplanen med hörn i (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),orienterad moturs sett mot origo.57. 57 Beräkna linjeintegralen av vektorfältetlängs den slutna kurvanA = (y + 2x, x 2 + z, y)r = (cosu, sinu, f(u)),u : 0 → 2πsom går ett varv runt cylindern x 2 +y 2 = 1 men för övrigt är godtycklig, f(0) =f(2π).a) direkt.b) med hjälp av Stokes’ sats.58. 58 Beräkna medelst Stokes’ sats cirkulationen av vektorfältetlängs skärningslinjen C mellan ytornaA = (yz + y − z, xz + 5x, xy + 2y)x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + y = 1.C är orienterad så att dess positiva riktning i punkten (1, 0, 0) ges av vektorn(0, 0, 1).59. 59 Beräkna med hjälp av Stokes’ sats linjeintegralen av vektorfältetA = (xz, xy 2 + 2z, xy + z)längs kurvan C som sammansätts av delarnaC 1 : x = 0, y 2 + z 2 = 1, z > 0, y : −1 → 1C 2 : z = 0, x + y = 1, y : 1 → 0C 3 : z = 0, x − y = 1, y : 0 → −1

1260. 60 Beräkna integralen ∮därCA · dr,A = e x (x 2 − a(y + z)) + e y (y 2 − az) + e z (z 2 − a(x + y))och C är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern⎧⎨ (x − a) 2 + y 2 = a 2och sfären⎩z ≥ 0x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R 2 > 4a 2 ).Omloppsriktningen är sådan att vid x = 0 är kurvans tangentvektor parallellmed −e y .61. 61 Vektorfältet A ges avA = (x 2 − y, y 2 − z, z 2 − x)och kurvan C är skärningen mellan ellipsoidenoch koordinatplanenBeräkna integralenx 2a 2 + y2b 2 + z2c 2 = 1x = 0 x ≥ 0 x ≥ 0y ≥ 0 y = 0 y ≥ 0z ≥ 0 z ≥ 0 z = 0∮CA · drom omloppsriktningen är sådan att i xy-planet (r × dr) ‖ e z .62. 62 Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen av vektorfältetA = (yz + 2z, xy − x + z, xy + 5y)längs skärningslinjen C mellan cylindern x 2 + z 2 = 4 och planet x + y = 2.Kurvan C är orienterad så att dess tangentvektor i punkten (2, 0, 0) är (0, 0, 1).

13Indexräkning63. 63 Låt f = r 3 , g = 1/r 2 , A = (x 2 , y 2 , z 2 ) och B = (z, y, x). Förenkla följandeuttryck, dels genom att använda direkt beräkning, dels genom indexräkning:a) grad(fg)b) div(fA)c) rot(fA)d) grad(A · B)e) div(A × B)f) rot(A × B)g) (A · ∇)Bh) (A × ∇) × B64. 64 Använd indexräkning för att ställa upp formlerna:a) rot(φA) = . . .b) rot(A × B) = . . .c) div rotA = . . .d) (B × C) · rotA = . . .e) (B · ∇)(φA) = . . .f) (B · ∇)(A × B) = . . .g) A × (∇ × A) = . . .h) (A × ∇) × A = . . .65. 65 Visa atta) gradφ(r) = dφ rdr rb) grad(a · r) = ac) divr = 3d) div(φ(r)r) = 3φ(r) + r dφdre) div(a × r) = 0f) div((r × a) × r) = −2a · rg) rot(φ(r)r) = 0h) rot((a × r) × b) = −b × ar = (x, y, z) är ortsvektorn, r = √ x 2 + y 2 + z 2 är ortsvektorns belopp, a och bär konstanta vektorer.

1466. 66 Låt φ vara ett skalärfält som satisfierar Laplaces ekvation, dvs.∇ 2 φ = 0och a = (a x , a y , a z ) en konstant vektor. Förenkla så långt som möjligt uttryckena) A = grad(a · gradφ).b) B = rot(a × gradφ).c) Beräkna A och B för specialfallet φ = xyz.67. 67 Bestäm konstanten k så att värdet av vektorfältetA = rot(r k (r × a))i varje punkt P blir en vektor, som är parallell med ortsvektorn r från origo tillP. a är en konstant vektor.68. 68 Vektorn a är en konstant vektor och r = (x, y, z) är ortsvektorn. Beräkna( a · r) ( ) a × rgradr 3 + rotr 3 .De utnyttjade operatorformlerna skall motiveras utförligt med indexräkning.69. 69 Låt a, b och c vara konstanta vektorer och r = (x, y, z) vara ortsvektorn.Härled ett nödvändigt och tillräckligt villkor på a, b och c för att cirkulationenav vektorfältetA = (a × r) × (b × r)skall vara noll längs varje sluten kurva, som ligger på en nivåyta till skalärfältetφ(r) = c · r.70. 70 Det magnetiska fältet B är källfritt och har följaktligen en vektorpotential A.Visa attA(r) = k r × B 0 + gradψär en vektorpotential för det homogena magnetfältetB(r) = B 0(B 0 konstant vektor)förutsatt att konstanten k ges ett lämpligt värde. Beräkna k samt ange villkorpå skalärfältet ψ.71. 71 En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω rad/s kring en axel, vars riktninganges av enhetsvektorn ˆn. Visa att rotationen för hastighetsfältetv = ωˆn × rges avrotv = 2ωˆn.

15Integralsatser72. 72 En kropp med den glatta begränsningsytan S har volymen V . Beräkna integralen12∫∫S○ dS × (a × r),där r är ortsvektorn och a en konstant vektor.73. 73 Omforma linjeintegralen ∮r × drtill en ytintegral över en yta S, vilken har C som sin randkurva.Hur skall S:s och C:s orienteringar vara relaterade?C74. 74 Visa att ∫∫∫V∫∫∫r × rotAdV = 2 A dVVom A = 0 på randytan S till integrationsområdet V .75. 75 Beräkna integralen ∫∫∫VA · B dV.Vektorfältet A har en skalär potential i området V och V :s begränsningsyta ären ekvipotentialyta för denna potential. Vektorfältet B är källfritt i V .Ledning: Integrera formeln div(φB) = . . . över V .76. 76 Beräkna ytintegralen∫∫○ (a × r) × dS,Sdär a är en konstant vektor, r är ortsvektorn och S är ytan av en enhetssfär medcentrum i punkten b.77. 77 Beräkna integralen ∮(a · r)dr,Cdär C är en cirkel med radien 1, vilken ligger i planet r · b = 0. a och b ärkonstanta vektorer och r är ortsvektorn.

1678. 78 Beräkna integralendär S är sfärytan∫∫○ φˆn dS,Sx 2 + y 2 + z 2 = 1(ˆn pekar utåt),och skalärfältet ges avφ = x 2 + 2y − 5z.79. 79 Beräkna integralen ∫∫A × ˆn dS,därA = (0, −z, y)och S är cylinderytanx 2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1med normalen riktad ut från z-axeln.S80. 80 Visa med utgångspunkt från Gauss’ sats att ytintegralen∫∫○ (A · ˆn)B dSSkan omformas till en volymsintegral över den av ytan S omslutna volymen V . ˆnär S:s utåtriktade normal.Vilka förutsättningar rörande vektorfälten A(r) och B(r) måste man göra?81. 81 Bestäm alla vektorfält A, för vilka gäller att∫∫○ A · ˆndS = sju gånger den av S omslutna volymen,Soberoende av S:s läge och form.82. 82 Skalärfälten φ(r) och ψ(r) är kontinuerligt deriverbara två gånger och ψ antarvärdet ψ 0 (konst.) på randkurvan C till ytan S.Visa med hjälp av Stokes’ sats att ytintegralen∫∫(gradφ × gradψ) · ˆn dS = 0.S

1783. 83 Bestäm integralen ∮r × dr,Cdär C är ellipsen ⎧⎨ x 2 + y 2 = a 2⎩ z = a + xmed sådan omloppsriktning att projektionen i xy-planet genomlöps moturs,a) genom direkt beräkning.b) genom att använda Stokes’ universalsats.84. 84 Den slutna ytan S är en nivåyta till skalärfältet ψ(x, y, z). Beräkna integralen∫∫∫gradφ × gradψ dVVöver det av S inneslutna området V . Vilka förutsättningar rörande skalärfältenφ och ψ måste man göra?Ledning: Utveckla rot(ψ gradφ).85. 85 Omforma linjeintegralen ∮Cr × (r × dr)till en ytintegral över en yta S, som är inspänd i kurvan C. r = (x, y, z) ärortsvektorn.86. 86 En sluten ledare C, som genomflyts av en elektrisk ström med styrkan I,befinner sig i det homogena magnetfältet B (B = konstant vektor). Kraftmomentetpå ledaren är ∮M = −I r × (B × dr),Cdär r betecknar ortsvektorn.Omforma M till en ytintegral, som skall förenklas så mycket som möjligt. Studerasärskilt specialfallet att C är en cirkel med radien R som ligger i planet r ·ˆn = p.Stokes’ sats skall användas.Ledning: Skalärmultiplicera M med e i (i = x, y, z).87. 87 Bestäm skalärfälten ψ(r) och φ(r) så att ytintegralen∫∫((r · ˆn)gradψ + φˆn)dSblir lika med linjeintegralen ∮grad 1 r × drSC

18längs S:s slutna randkurva C. ˆn är S:s normalvektor. Varken S eller C gårgenom origo.Stokes’ sats men ingen annan integralsats får förutsättas bekant.88. 88 Använd en integralsats för att beräkna integralen∫∫(2xz 2 + xy + z 3 )ˆn dS,Sdär S är den del av ytan z 2 = x 2 + y 2 för vilken 0 ≤ z ≤ 1. Ytans orientering ärsådan att normalen ˆn har negativ z-komponent.

19Cylinderkoordinater89. 89 Beräkna vinkeln mellan ytornaρ = cosϕ och z = ρ sinϕi punktenρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = 1 2 .Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater.90. 90 Temperaturfördelningen i en cylinder beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternaT = ρ 2 + z 2 cos 2 ϕ.ρ = 2, ϕ = π 4 , z = 1.Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e ρ − 2e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?91. 91 Ett vektorfält har potentialen( aρ + bρ )sin ϕ,där a och b är konstanter. Beräkna vektorfältets flöde ut genom en sluten yta,som ej skärs av z-axeln.92. 92 Visa att vektorfältetA = z 2 sin 2 ϕe ρ + (z 2 sin 2ϕ − z ρ sin ϕ)e ϕ + (cosϕ + 2ρz sin 2 ϕ)e zhar en skalär potential φ(ρ, ϕ, z).Beräkna sedan linjeintegralen∫ QPA · dr,där P och Q har koordinaterna:⎧⎪⎨ ρ P = 1, ϕ P = π 6 , z P = 1⎪⎩ρ Q = 5, ϕ Q = π 2 ,z Q = −1

2093. 93 Vektorfältetsatisfierar ekvationenA(ρ, ϕ, z) = f(ρ)e ϕ∇ 2 A = 0.Bestäm f(ρ). Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken skall uppställas medindexräkning.94. 94 Visa att cirkulationen av vektorfältetcosϕρ 2 e ρ + sinϕρ 2 e ϕrunt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll.95. 95 En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω.a) Uttryck kroppens hastighetsfält v = v(r) i ett cylindriskt koordinatsystem,vars z-axel sammanfaller med rotationsaxeln.b) Visa att vektorfältet har en vektorpotential A.c) Beräkna den vektorpotential för v(r) som har formenoch som är så allmän som möjligt.A = A ρ (ρ, ϕ, z)e ρRäkningarna skall utföras i cylinderkoordinater.96. 96 En elektrisk ström I flyter i en oändlig, rak cylindrisk tråd med radien R.Magnetfältet B utanför tråden ärB(r) = Iµ 02πe ϕρ , ρ > R.a) Visa att divB = 0 så att B har en vektorpotential. Bestäm en vektorpotentialav formenA = A z (ρ)e z .(Funktionen A z (ρ) skall beräknas.)b) Visa att rotB = 0 för ρ > R, men att det inte finns någon skalär potentialφ sådan att B = gradφ i området ρ > R.97. 97 Beräkna ∇ 2 e ϕ , där e ϕ är den basvektor i cylindriska koordinater som ärassocierad med vinkeln ϕ.Ledning: Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken inte behöver bevisas.

21Sfäriska koordinater98. 98 Låt ψ = − cos θr, A = sin θ2 re 2 ϕ ,där (r, θ, ϕ) är sfäriska koordinater, definierade genom⎧x = r sinθ cosϕ⎪⎨y = r sin θ sinϕ⎪⎩ z = r cosθBeräknaa) ∇ψ.b) ∇ × A.c) ∇ 2 ψ och ∇ × (∇ × A).99. 99 Genom att tillämpa indexräkning på rotrotA kan man få ett uttryck på ∇ 2 A.a) Genomför detta.Använd det erhållna uttrycket för att bestämmab) ∇ 2 e r .c) ∇ 2 e ϕ .Beräkningarna skall utföras i sfäriska koordinater.100. 100 Punkten P ligger på rotationsellipsoiden3r =3 + cosθ .Beräkna vinkeln mellan ellipsoidens normal n P i P och ortsvektorn r P från origotill P som funktion av vinkeln mellan r P och z-axeln.101. 101 Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternap = r 2 sin θ cosϕ.r = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är denmaximala tryckökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.

22102. 102 Temperaturfördelningen i en kropp beskrivs av skalärfältetT = 2 + cosθr 2 .Punkten P har de sfäriska koordinaternar = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.103. 103 Visa att vektorfältethar en skalär potential φ.A = 3 cos2 θ − 1r 4 e r +Använd potentialen för att beräkna linjeintegralendär P:s koordinater äroch Q:s koordinater är∫ QPA · dr,sin 2θr 4 e θr = 1, θ = π 4 , ϕ = 0r = 3, θ = π 2 , ϕ = π.Ledning: Lös ekvationssystemet gradφ = A i sfäriska koordinater enligt sammaprincip som tillämpas i kartesiska koordinater.104. 104 Ett vektorfält A ges ava) Beräkna rotA.b) Beräkna divA.A = 1 r 3 (cos2θ e θ − sin 2θ e r )c) Existerar ett skalärfält ψ(r, θ, ϕ) så att A = gradψ? Motivera svaret ochbestäm – om svaret är jakande – funktionen ψ.

23105. 105 Vektorfältete rr 2är källfritt för r ≠ 0 och har följaktligen en vektorpotential A. Beräkna denallmännast möjliga vektorpotential A som dels kan skrivas på formenA = A ϕ (r, θ, ϕ)e ϕoch dels är källfri. Den erhållna vektorpotentialen är ej definierad i vissa punkterim rummet. Ange dessa punkter.106. 106 Visa att linjeintegralenfrån punkten P:till punkten Q:∫ QP( 1r e r + 1 )r sin θ e ϕ · drr = 1, θ = ϕ = π 2r = 3, θ = π 4 , ϕ = 3π 2är oberoende av vägen, förutsatt att vägen ej skär planet ϕ = π eller z-axeln.Beräkna även integralens värde.107. 107 Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen∮(sin θ e θ + sinθ e ϕ ) · dr,Cdär C är skärningen mellan en sfär med medelpunkten i origo och radien 1 samtde delar av planenx = 0, y = 0, z = 0för vilka x, y, z ≥ 0. Kurvans orientering, som du får välja själv, skall tydligtanges. Kontrollera resultatet genom direkt integration.108. 108 Beräkna integralen ∫∫e θ dS,där S har ekvationenx 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0.S109. 109 Beräkna cirkulationen av vektorfältetcosϕr 2 sin θ e cosθ cosϕr +r 2 sin 2 θ e θ +sin ϕr 2 sin 2 θ e ϕlängs en sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, men för övrigt är godtycklig.

24110. 110 Låt a vara en konstant vektor och r ortsvektorn. Beräknaa) grad(a · r)b) div(a × r)c) rot(a × r)genom att först transformera fälten a · r resp. a × r till ett lämpligt valt sfärisktkoordinatsystem, samt därefter tillämpa uttrycken på grad, div och rot i ettsfäriskt koordinatsystem.111. 111 Beräkna( ) sin θ∇ 2 r 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater med hjälp av formeln∇ 2 A = graddivA − rotrotA.112. 112 Beräkna∇ 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.Några viktiga vektorfält113. 113a) Visa med direkt beräkning att Gauss sats inte gäller förA(x, y, z) =(x, y, z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ,där S är sfärytan med radie R centrerad i origo som omsluter volymen V .Varför gäller inte satsen?b) Bekräfta med direkt integration att Gauss sats gäller för vektorfältet A i(a) när S är ytan S 1 med radie R 1 plus ytan S 2 med radie R 2 , och V ärvolymen mellan S 1 och S 2 .c) Vilket villkor måste ytan S uppfylla för att Gauss sats skall vara uppfylldför A i (a)?114. 114 Beräkna flödet av vektorfältet( ) qgrad|r − c| + pz4

25ut ur området⎧⎨⎩x 2 + y 2 ≤ 4c 2|z| ≤ 2c.115. 115 Beräkna flödet av vektorfältet()1grad √(x − 3)2 + (y + 1) 2 + z + 2 xy3ut ur en sfär med radien 3 och medelpunkten (2, 1, 1).116. 116 En kvadrupol i origo ger upphov till vektorfältet3 cos 2 θ − 1 sin 2θr 4 e r +r 4 e θ .Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av detta fält ut ur cylindern⎧⎨ x 2 + y 2 ≤ 9.⎩ −1 ≤ z ≤ 2117. 117 Beräkna flödet av vektorfältet(gradlnρ +)1√ρ2 + z 2ut ur områdetρ 2 + z 2 ≤ 1a) med hjälp av Gauss’ sats.b) genom direkt integration.118. 118 Beräkna flödet av vektorfältetut genom rotationsellipsoiden1r e ra) med hjälp av Gauss’ sats.b) genom direkt integration.r =12 − cosθ

26Vilket svar hade man fått om fältet istället hade varit1r 2e r?119. 119 Beräkna linjeintegralen ∮längs den slutna kurvan L enligt figuren.✻zL2ρ e ϕ · drL✻✑✑✑✰ x✲y120. 120 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetz ρ2 − 1e ρρut ur områdetx 2 + y 2 + (z − 2) 2 ≤ 4.121. 121 Visa att påståendet i exempel 94 gäller även om kurvan omsluter z-axeln.122. 122 Polerna i en dipol har styrkorna ±q och sammanbinds av vektorn a (spetseni pluspolen).Bestäm flödet av dipolfältet ut ur en sluten yta S soma) omsluter bägge polerna.b) omsluter endast pluspolen.c) inte omsluter någon pol.

27123. 123 Beräkna flödet av vektorfältetA(r) =(e × r) · (e × r)r 5 rut genom en godtycklig sluten yta S som begränsar ett område V som innehållerorigo.e är en konstant enhetsvektor.Ledning: Använd sfäriska koordinater.Fältlinjer124. 124 Bestäm ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ).Ange speciellt ekvationen för fältlinjen genom punkten (1, 1, 1) och finn denfältlinjens skärningspunkt med planetx + y = 1.125. 125 Ange ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetρ cosϕe ρ + ρ 2 e ϕ + ρ sin ϕe z .I vilka punkter går fältlinjen genom punktenρ = 3, ϕ = π 2 , z = 2genom planet y = 0?126. 126 Ange ekvationen för fältlinjen till dipolfältetA = grad cosθr 2 .Bestäm speciellt fältlinjen genom punktenr = a, θ = π 6 , ϕ = 0.Beräkna det största värde som avståndet mellan en punkt på denna fältlinje ochorigo kan anta.

28Kontinuitetsekvationen, Greens satser, Lapla- ces och Poissonsekvationer127. 127 Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av tvåparallella plattor på avstånd d. Den ena platttan har potential φ = 0 och denandra φ = φ 0 =konstant.128. 128 Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av tvåkoncentriska sfäriska skal med radie R 1 och R 2 > R 1 . Sfären med radie R 1 harpotential φ = 0, och sfären med radie R 2 har φ = φ 0 =konstant.129. 129 På ett sfäriskt skal med centrum i origo och radie R är potentialenVad är potentialen i origo?φ =sin ϕ7 + 3 cos 5 θ .130. 130 Det regnar på en cirkulär, horisontell platta, vars radie är ρ 0 m. Regntäthetenär κ(ρ, ϕ, t) m/s, och vattnet strömmar mot plattans kanter med hastigheten:v = v ρ (ρ, ϕ, t)e ρ + v ϕ (ρ, ϕ, t)e ϕ[m/s]som är ett medelvärde bildat över olika djup. Vattenlagrets tjocklek är d(ρ, ϕ, t) m.Hur lyder kontinuitetsekvationen för strömningen i polära koordinater ρ och ϕ?Beräkna speciellt d om förloppet är stationärt och om( ( ) ) 2 ρ ρκ = k 1 − och v = v 0 e ρ (k, v 0 konst.).ρ 0 ρ 0131. 131 En platta av stor utsträckning begränsas av planen x = 0 och x = d.Dessa begränsningsytor hålls vid konstanta temperaturer T 0 resp. T d . Bestämtemperaturfördelningen i plattans inre, där Laplaces ekvation ∇ 2 T = 0 gäller.132. 132 En kondensator består av två koaxiala cirkulära metallcylindrar. Den inrehar radien R 1 och potentialen V 1 , medan den yttre, vars radie är R 2 , har potentialenV 2 . Potentialen V satisfierar Laplaces ekvation i området mellan cylindrarnaoch är kontinuerlig vid cylinderytorna. Bestäm potentialen V och denelektriska fältstyrkan e = − gradV i detta område. (Randeffekter försummas,dvs. V får antas konstant i axelriktningen.)

29133. 133 En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialenV 0 . Potentialen V (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplacesekvation i den omgivande rymden.Bestäm V (r) samt e = − gradV .134. 134 Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G = − gradφ, där potentialfunktionenφ satisfierar ekvationen:∇ 2 φ = γρ,där γ är en konstant och ρ är masstätheten.Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär(radie R) med konstant masstäthet ρ 0 .135. 135 Skalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i V , och på V :s begränsningsytaS gällerφ = f,där f är en given funktion. Visa att för varje funktion ψ sådan attgäller att∫∫∫Vψ = f på S∫∫∫(gradψ) 2 dV ≥V(gradφ) 2 dV.φ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger.136. 136 Skalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i helarummet. Visa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas∫∫φ(0, −) = γ φdS,där S är cylinderytanBestäm konstanten γ.ρ = R, −h ≤ z ≤ h.Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över detområde som begränsas av ytornaρ = R, ρ = ε, z = h, z = −h.S137. 137 Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp V satisfierarPoissons ekvation∇ 2 T = − 1 k κ(r).

30Den specifika värmeledningsförmågan k är en konstant och den givna funktionenκ(r) anger värmeproduktionen per volymsenhet och tidsenhet i kroppen.Kroppens begränsningsyta hålls vid den givna temperaturen θ(r). Genom mätningarav värmeflödet genom S har man bestämt funktionenpå S. ˆn är S:s utåtriktade normal.γ(r) = −k gradT · ˆnVisa att temperaturen i en godtycklig punkt r P kan uttryckas i de kända funktionernaκ(r), θ(r) och γ(r) enligt formeln:∫∫∫κ(r)T(r P ) = aV |r − r P |∫∫SdV + b ○ θ(r)(r − r P ) · ˆn|r − r P | 3 dS +∫∫γ(r)+c ○|r − r P | dS.Bestäm konstanterna a, b och c.SLedning: Använd Greens andra teorem på skalärfälten1|r − r P |och T(r).Betrakta området mellan sfären |r − r P | = ε och randytan S.138. 138 Potentialen i punkten r P från en dipol med dipolmomentet a, vilken befinnersig i punkten r, ges som bekant avφ(r P ) = a · (r P − r)|r P − r| 3 .Låt S vara en yta med randkurvan L. Ytan är likformigt belagd med infinitesimaladipoler så att summan av alla dipolmomenten i ytelementet ˆn dS ges avvektornσˆn dS,där σ är en konstant. Potentialen i punkten r P från dipolytan blir i så fall∫∫σˆn · (r P − r)φ(r P ) =|r P − r| 3 dS.Sa) Visa att φ(r) är proportionell mot den rymdvinkel Ω som L upptar då denbetraktas från punkten r P .b) Hur ändras potentialen då man passerar genom dipolytan? Studera specielltfallet att S är en sluten yta.139. 139 De slutna kurvorna C 1 och C 2 omsluter ytorna S 1 resp. S 2 . Visa att∫) )(r 1 − r 2 )∫C 2 dr 1 · dr 2 = −4 dS 1 · dS 2 .1 C 2(∫∫S 1(∫∫S 2r 1 (r 2 ) är ortsvektorn för en punkt på C 1 (C 2 ). dr 1 (dr 2 ) är linjeelement på C 1(C 2 ).

31Kroklinjiga koordinater140. 140 Beräkna skalfaktorer och enhetsvektorer för följande koordinattransformation,och kontrollera att basvektorerna är ortogonala:x = u 1 + u 2 + 7u 3 , y = u 1 − 3u 2 + u 3 , z = 2u 1 + u 2 − 4u 3 .141. 141 Beräkna volymsintegralen∫∫∫Vφ(x, y, z)dVgenom att göra det föreskrivna variabelbytet:a) φ(x, y, z) = x 2 + yz och V : ellipsoiden (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 ≤ 1.Variabelbyte: x = au 1 , y = bu 2 , z = cu 3 .b) φ(x, y, z) = (x + yz) och V : tetraedern som begränsas av koordinatplanenoch planet x+y+z = 6. Variabelbyte: x = 6−2u 2 , y = 2u 2 −2u 1 , z = 2u 3 .142. 142a) Bestäm de normerade basvektorerna i det kroklinjiga koordinatsystemet⎧u ⎪⎨ 1 = x 2 − y 2u 2 = xy .⎪⎩ u 3 = zoch visa att de är ortogonala.b) Uttryck divergensen av ett vektorfält A = A(u 1 , u 2 , u 3 ) i derivator av fältetskomponenter längs dessa basvektorer. (Svaret skall endast innehålla koordinaternau 1 , u 2 och u 3 .)143. 143 Paraboliska koordinater u, v, ϕ, definieras av ekvationerna:⎧x = uv cosϕ⎪⎨y = uv sin ϕ⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )a) Bestäm u, v, ϕ som funktioner av de kartesiska koordinaterna x, y, z. Angevariationsområdena för u, v, ϕ.b) Ange ekvationerna för koordinatytor och koordinatlinjer samt skissera derasutseende.c) Visa att de paraboliska koordinaterna är ortogonala.

32d) Ställ upp gradienten i paraboliska koordinater.e) Bestäm sambandet mellan basvektorsystemene u , e v , e ϕ och e x , e y , e z .f) Referera ortsvektorn r samt punktkällans vektorfälttill paraboliska koordinater.e rr 2144. 144 Betrakta de kroklinjiga koordinaterna u, v och w definierade genom⎧⎪⎨⎪⎩u = r sin 2 θ 2v = r cos 2 θ 2w = 2ϕ,där r, θ, ϕ är de sfäriska koordinaterna.a) Visa att u, v, w är ortogonala koordinater och bestäm skalfaktorerna h u ,h v och h w .Ledning: Bestäm först ∇u, ∇v och ∇w.b) Bestäm divergensen av vektornA = e u√u2 + uv + e v√v2 + uv.145. 145 För godtyckliga kroklinjiga koordinater kan man skriva∇φ = ∂φ∂u 1∇u 1 + ∂φ∂u 2∇u 2 + ∂φ∂u 3∇u 3 . (1)a) Visa detta och använd (1) för att bestämma det villkor u 1 , u 2 och u 3 måsteuppfylla för att ∇ 2 φ ska få den enkla formen∇ 2 φ = 1 h 2 1∂ 2 φ∂u 2 + 1 ∂ 2 φ1 h 2 2 ∂u 2 + 1 ∂ 2 φ2 h 2 3 ∂u 2 ,3därh i = 1|∇u i | .b) Bestäm u 1 (r), u 2 (θ), u 3 (ϕ) så att ∇ 2 φ får denna form och ge slutligenuttrycket för ∇ 2 φ uttryckt i dessa koordinater.

33146. 146 De kroklinjiga koordinaterna u, v och w är definierade genom⎧x = a coshu cosv⎪⎨y = a sinhusinv .⎪⎩ z = wBestäm basvektorer och skalfaktorer samt sök den lösning till ekvationen∇ 2 φ = 0som enbart beror av u, och på ellipsernax 225 + y29 = a2och16x 225 + y216 = a29antar värdena 0 och 2 respektive. (u > 0, 0 ≤ v < 2π.)147. 147 Ett kroklinjigt koordinatsystem (ξ, η, ζ) är givet genom⎧ξ ⎪⎨2 = ρ − y − ∞ < ξ < ∞η 2 = ρ + y 0 ≤ η < ∞ .⎪⎩ ζ = zHär är ρ = √ x 2 + y 2 och tecknet på ξ definieras genom x = ξη.a) Bestäm de normerade basvektorerna e ξ , e η och e ζ samt transformationskoefficienternaa ik = e i ′ · e k i ′ = ξ, η, ζ.Är (ξ, η, ζ) ett ortogonalt system?b) Bestäm skalfaktorerna och divA, därA =(1 ξ√ξ2 + η 2 2 (3η2 + ξ 2 )e ξ + η )2 (3ξ2 + η 2 )e η .148. 148 Betrakta de ortogonala kroklinjiga koordinaterna⎧u = r(1 − cosθ)⎪⎨v = r(1 + cosθ) .⎪⎩ w = ϕHur ser gradienten av ett fält φ och ortsvektorn r ut i det nya basvektorsystemete u , e v , e w ?149. 149

34a) Transformera Laplaces ekvation till paraboliska koordinater u, v, ϕ.b) Bestäm den allmänna lösningen på formen φ = φ(u).c) Referera denna lösning till sfäriska koordinater samt verifiera att den satisfierarLaplaces ekvation i sfäriska koordinater.150. 150 Ett skalärfält φ, som enbart beror avu 2 = r + z = √ x 2 + y 2 + z 2 + zsatisfierar Laplaces ekvation ∇ 2 φ = 0 jämte randvillkoren⎧x = 3a ⎪⎨φ = 0 för y = 0 och φ = φ 0 för⎪⎩ z = 4a⎧⎪⎨⎪⎩x = 0y = 0z = aFör att bestämma φ används lämpligen koordinaterna u, v, ϕ definierade ur⎧⎧x = uv cosϕ 0 ≤ u < ∞⎪⎨⎪⎨y = uv sinϕ 0 ≤ v < ∞ .⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )⎪⎩ 0 ≤ ϕ < 2πVisa att dessa är ortogonala, bestäm skalfaktorerna och uppställ sedan ekvationenför φ samt bestäm φ.Tensorräkning151. 151a) Visa att transformationen x ′ i = L ikx k med⎛− √ 1 02 1(L ik ) =2⎜⎝ 12är en rotation.1√2− 1 √2121√212b) Bestäm komponenterna Tik ′ om⎛ ⎞0 1 0(T ik ) = ⎜ 1 0 1 ⎟⎝ ⎠ .0 1 0⎞⎟⎠

35152. 152 En tensor har komponenterna A 11 = 1, A ik = 0 om i ≠ 1 eller k ≠ 1,relativt det kartesiska koordinatsystemet K. Ange tensorns komponenter relativtkoordinatsystemet K ′ , som är vridet vinkeln α relativt K kring den med Kgemensamma x 3 -axeln.153. 153 Tensorn A ↔ har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemetK:⎧⎨ 1 i + j = 4A ij =⎩ 0 i + j ≠ 4Bestäm A ′ ij i ett koordinatsystem K′ som är vridet vinkeln α relativt K kringden med K gemensamma x 1 -axeln.154. 154 En andragradsyta har ekvationenA ij x i x j + B i x i = 0i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K ′ blir ekvationenA ′ ij x′ i x′ j + B′ i x′ i = 0.Visa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer.155. 155 Beräknaa) δ ii .b) δ ij ε ijk .c) ε ijk ε ljk .d) ε ijk ε ijk .156. 156 Visa att tensorer med följande komponenter är isotropa.a) A ijkl = δ ij δ klb) B ijkl = δ ik δ jl + δ il δ jkc) C ijkl = ε nij ε nkl157. 157 A ij och B ij är kartesiska komponenter av tensorfält. Visa att följande storheterär kartesiska komponenter av tensorfält och ange deras ordning.a) A ij B klb) A ij B jic) ∂A ij∂x k

36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫∫A ij A jk dx 1 dx 2 dx 3V158. 158 Använd tensormetoder för att omforma följande uttryck. Resultaten skallöversättas till gängse vektorbeteckningar.a) div rotAb) (A × B) · rotCc) rotrotAd) rot(A × B)e) div(r × gradφ)f) rot(r × gradφ)g) rot(r × rotA)h) div(gradφ × gradψ)i) ∇ × ((r · ∇)B)j) ∇ · ((r × ∇) × B)k) (A · ∇)(B × C)159. 159 Visa att((r × ∇) × (r × ∇))φ = −(r × ∇)φ.160. 160 Använd tensormetoder för att omvandla följande linjeintegraler till ytintegraler:∮a) A × drC∮b) AB · drC∮c) ε ijk A ij ds k där A ij är ett kartesiskt tensorfält.C161. 161 Låt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma∫∫A × ∇φ · dStill en linjeintegral.S

37162. 162 Omforma ∫∫(gradφ × GradA) · dSStill en lineintegral. Med gradφ × GradA avses(gradφ × GradA) il = ε ijk∂φ∂x j∂A l∂x k.163. 163 Omforma med tensormetoder följande integraler till ytintegraler:∫∫∫a) ∇ × (∇ × A)dVV∫∫∫b) (gradφ × ∇) · A dVV164. 164 Skriv ∫∫∫(B · ∇)A dVVsom en ytintegral om B är ett källfritt fält.165. 165 I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket∫∫ ∫∫∫∫○ (dS · ∇)E + ○ dS × (∇ × E) − ○ dS(∇ · E),SSSdär E är ett vektorfält och S en glatt yta. Visa att uttrycket blir noll.166. 166 I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften påvolymselementet dV är dådF = j × B dV,där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gällerdivB = 0,rotH = j,B = µ 0 H.Skriv kraften på en delvolym V som en ytintegral av formen∫∫e i ○ T ij dS joch bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij .S

38167. 167 En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna⎛ ⎞1 0 0(T ik ) = ⎜ 1 1 1 ⎟⎝ ⎠ .0 0 1Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K ′ så atta)⎛ ⎞λ 1 0 0(T ik ′ ) = ⎜ 0 λ⎝ 2 0 ⎟⎠ ?0 0 λ 3b)⎛(T ik ′ ) = ⎜⎝0 a bc 0 de f 0⎞⎟⎠ ?c)(T ′ik) =⎛⎜⎝a b cb 0 0c 0 0⎞⎟⎠ ?168. 168 Den s.k. centifugalkraftendefinierar en vektorvärd funktion av r.F = −mω × (ω × r)a) Visa att man kan associera denna med en tensor och bestäm tensorns komponenter.b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.169. 169 Potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagneter medmagnetiska momenten m 1 och m 2 placerade på avståndet r från varandra kanskrivasφ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .a) Visa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyllerekvationenφ = M ij m 1i m 2j .

39b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.170. 170 KraftenF = ev × Bsom verkar på en laddad partikel i ett magnetfält B utgör en vektorvärd funktionav partikelns hastighet v.a) Visa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion.b) Visa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde = 0.Bestäm egenvektorn, som svarar mot det senare.171. 171 I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Denelektriska kraften på volymselementet dV ärρ(r)E(r)dV,där E(r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att⎧⎨⎩där φ är den elektriska potentialen.divE = 1 ε 0ρE = − gradφVisa att totala kraften på en delvolym V kan skrivas∫∫F = e i ○ T ik n k dS,därST ik = D i E k − 1 2 D jE j δ ik .172. 172 Använd tensormetoder för att skriva∫∫∫(A divA − A × rotA)dVsom en ytintegral över den yta S som omsluter V .användas dels påVResultatet skall sedana) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A = E där E lyder⎧⎪⎨ rotE = 0⎪⎩ divE = ρ(r)ε 0

40b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A = B där Blyder⎧⎨ divB = 0,⎩ rotB = µ 0 i(r)med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten.Blandade vektortal173. 173 Den potentiella energin mellan två dipoler med dipolmomenten m 1 och m 2på avståndet r kan skrivas:φ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .Utveckla uttrycket så att beroendet av vinklarna mellan vektorerna m 1 , m 2 ochr framgår. Bestäm värdet på φ för det fall attm 1 · e r = 1 2 |m 1|,m 2 · e r = 1 2 |m 2|,m 1 · m 2 = − 1 2 |m 1||m 2 |.174. 174 Vektorpotentialen från en magnetisk dipol ges avA = µ 0 m × r4π r 3 ,där dipolmomentet m är en konstant vektor och r är ortsvektorn. µ 0 är enkonstant. Ur vektorpotentialen beräknas den magnetiska induktionen B enligtBestäm B för r ≠ 0.B = rotA.175. 175 En elektrisk dipol i origo omger sig med potentialfältet2 sinθ cosϕV = −r 2 .a) Hur snabbt ökar potentialen V om man utgående från punktenrör sig i riktningen e r − e ϕ ?P : r = 1, θ = π/4, ϕ = 0b) I vilken riktning utgående från P ökar potentialen snabbast, och hur storär den maximala potentialökningen per längdenhet?

41176. 176 Sambandet mellan laddningstätheten ρ(r) och den elektriska fältstyrkan E(r)i ett statiskt elektriskt fält ges avdär ε 0 är en konstant.divE = 1 ε 0ρ(r),Antag att man på ytan S av en sfär med radien a och centrum i origo mätt uppfältstyrkan och funnitE S = ρ 0a 2 ( xsε 0 a 2 , y sb 2 , z )sc 2 (1)I (1) är (x s , y s , z s ) koordinater för punkter på S. Observera att fältstyrkan ipunkter (x, y, z) inuti sfären ej nödvändigtvis ges av (1). Bestäm laddningeninom sfären.177. 177 I en stel kropp, som roterar kring en fix punkt kan hastighetsfältet skrivasv(r) = ω × roch accelerationsfälteta(r) = ˙ω × r + ω × (ω × r).Bestäm divv, rotv, diva och rota. (ω och ˙ω är funktioner endast av tiden.)178. 178 I ett plasma av hög täthet gäller att krafttätheten f kan skrivasf = i × B − gradp,där i är strömtätheten, B magnetfältet och p trycket.Mellan i och B råder relationen rotB = µ 0 i. Vidare gäller divB = 0. Visa attf = 1 )(B · ∇)B − grad(p + B2.µ 0 2µ 0179. 179 Kraften på en enhetsladdning från en dipol med dipolstyrkan p ges av()2 cosθ sin θF = p e rr 3 + e θr 3förutsatt att origo valts i dipolen och z-axeln i dipolmomentets riktning. BestämdivF och rotF för r ≠ 0.Arbetet skall utföras i sfäriska koordinater.180. 180 VektorfältenA = (2x 2 − y 2 , yz + z 2 , xy 2 ),B = (−y, x, 0)är givna. Beräkna

42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A · ∇)B.d) ∇ 2 A.181. 181 Beräkna integralen ∫∫∫VA · rotBdV,där vektorfältet A har en potential i området V , vars begränsningsyta är enekvipotentialyta för denna potential.182. 182 Beräkna flödet av vektorfältetA = grad a · rr 3ut ur en kub med kantlängden 1, medelpunkten i origo och en rymddiagonalparallell med den konstanta vektorn a.183. 183 Vektorfälten A(r) och B(r) är kontinuerligt deriverbara i det enkelt sammanhängandeområdet V . De båda fälten har samma divergens och rotation i V .Vidare är deras normalkomponenter på V :s begränsningsyta S identiska. VisaattA(r) ≡ B(r)i V .184. 184 Ytan S begränsas av en kurva C, som är ekvipotentialkurva till ett skalärfältφ, dvs.φ(r) = konstant för r ∈ C.Visa att∫∫S(∇φ × ∇ψ) · dS = 0,där ψ = ψ(r) är ett godtyckligt skalärfält. φ och ψ förutsätts kontinuerligtderiverbara.185. 185 För vilka värden på n uppfyller vektorfältetA = ρ n e ρekvationen∇ 2 A − m ρ 2A = 0för ρ ≠ 0. Använd relationen rotrotA = . . .Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater.

43186. 186 Ett vektorfält av formenF(r) = f(r)e rär källfritt för r ≠ 0. Vidare gäller att∫∫○ F · dS = Q,där S är ytan av sfären |r| = R.a) Bestäm f(r) och rotF.b) Beräkna ∫där C är kurvangenomlöpt från ϕ = 0 till ϕ = 2π.SCF · dr,r = a(e x sin ϕ + e y 4 cosϕ + e z32π ϕ)187. 187 En partikels rörelse beskrivs i cylinderkoordinater av ekvationerna:⎧ρ = 1 ⎪⎨ϕ = π + sin ωt2⎪⎩z = cosωt.ω är en konstant och t är tiden. Beräkna beloppet av accelerationsvektorn.De totala differentialerna av de cylindriska basvektorerna ärde ρ = e ϕ dϕ,de ϕ = −e ρ dϕ,de z = 0.188. 188 VektorfältenA =B =1r 2 + a 2r,(a 2 − r 2 )a × r + r 2 rär givna. Bestäm ∫∫∫A · rotB dVdär V är sfären |r| ≤ a.Ledning: Genomför partiell integration först.V

44189. 189 Använd Stokes’ sats för att beräkna integralen∮(a × r) × dr,Cdär C är en enhetscirkel som ligger i planet b · r = p. a och b är konstantavektorer och p är en konstant.Utnyttjade operatorformler skall uppställas med indexräkning.190. 190 Visa att omF = − 1 r cotθ e ϕoch φ = φ(ϕ) så gäller för varje yta S som omsluter volymen V att∫∫ ∫∫1○ φF × dS = ○SS r∫∫∫VφdS − 1r ∇φdV.191. 191 Vektorfältet A är homogent av graden n, dvs.a) Visa att (r · ∇)A = nA.Ledning: Derivera (1) m.a.p. λ.b) Beräkna div(r(r · A)).A(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) (1)192. 192 Visa att ytintegralen∫∫○Se r · ˆnr 3 e r dSkan omformas till en volymsintegral av typen∫∫∫gradφdVVöver det av S omslutna området V , samt beräkna φ. Origo är en yttre punkttill V .Ledning: Använd på lämpliga ställen att e r = r/r.193. 193 Vektorerna Eoch B uppfyllerE = gradφ,B = rotA.Visa att∫∫∫E · B dV = 0om begränsningsytan till V är en ekvipotentialyta till φ.V

45Ledning: Studeraomsorgsfullt.∫∫∫Vdiv(φB)dV194. 194 Bestäm den allmänna lösning A till ekvationen∇ 2 A = 0som har rotationssymmetri kring z-axeln samt translationssymmetri m.a.p. förflyttningi z-riktningen.Ledning: Varje vektorfält A som har de ovannämnda symmetriegenskaperna kanskrivasA = A ρ (ρ)e ρ + A ϕ (ρ)e ϕ + A z (ρ)e z .195. 195 Beräkna integralen ∫∫e ϕ × ˆn dS,där S är ytanx 2 + y 2 + z 2 = 1 x, y, z ≥ 0, ˆn · e z ≤ 0a) direkt.b) med hjälp av en integralsats. Låt V vara områdetx 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.S196. 196 Vektorfältet A är virvelfritt på ytan S samt antar värdet noll på S:s randkurvaC. Visa att ∫∫A × ˆn dS = 0.Ledning: Tillämpa Stokes’ sats på vektorfältetS(e · r)A,där e i tur och ordning sätts lika med e x , e y och e z .197. 197 Det två gånger kontinuerligt deriverbara, källfria vektorfältet A satisfierarLaplaces ekvation i V och på V :s begränsningsyta S gäller att A × ˆn = C, därC är ett givet vektorfält som är definierat på S.Visa att för varje källfritt vektorfält B som är kontinuerligt deriverbart tvågånger i V samt satisfierar randvillkoret B × ˆn = C på S gäller att∫∫∫∫∫∫(rotB) 2 dV ≥ (rotA) 2 dV.VLedning: Sätt B = A + D och använd formeln ∇ · (A × B) = . . .V

46198. 198 Vektorfältet A har kontinuerliga andraderivator. Visa att om A satisfierarekvationenrotA = αA (α ≠ 0),där α är en konstant, så följer därav att A satisfierar ekvationen(∇ 2 + α 2 )A = 0.Utnyttjade operatorformler skall ställas upp med indexräkning.199. 199 Beräkna den allmänna lösning u(x, y, z) till den biharmoniska ekvationen∇ 2 (∇ 2 u) = 0som hara) cylindersymmetri, dvs. u = u( √ x 2 + y 2 ).b) sfärisk symmetri, dvs. u = u( √ x 2 + y 2 + z 2 ).200. 200 Beräkna integralen ∫∫∫VA · B dV.Vektorfältet A är virvelfritt i området V och vektorfältet B har en vektorpotentialsom är ortogonal mot V :s begränsningsyta S.Ledning: Använd formeln div(A × B) = . . ., som skall uppställas med hjälp avindexräkning.201. 201 Beräknaa) med användning av Gauss’ satsb) genom direkt integrationintegralendär∫∫I(R) = ○ ∇φ · dS,Sφ = e−λrroch S är ytan av en sfär med radien R och centrum i origo. Vilka blir värdenaavlimR→∞λ≠0I(R) och lim I(R)λ→0R

47202. 202 En partikel rör sig i en spiralliknande bana på enhetssfärens yta så att dessläge vid tiden t (0 ≤ t ≤ π) ges av⎧r = 1 ⎪⎨θ = 1 (π − t)2⎪⎩ϕ = 2tBestäm partikelns hastighetsvektor och accelerationsvektor refererad till det lokalabasvektorsystemet e r , e θ , e ϕ .De totala differentialerna av de sfäriska basvektorerna är:de rde θde ϕ= e θ dθ + sin θ e ϕ dϕ,= −e r dθ + cosθ e ϕ dϕ,= − sinθ e r dϕ − cosθ e θ dϕ.

48Svar och lösningsanvisningar1. 1 -2. 2 -3. 3a) (x, y, z)/ √ x 2 + y 2 + z 2b) |x|(x, y, z)/ √ x 2 + y 2 + z 2c) −(x, y, z)d) 3|xy|(1, 2, 3x)/ √ 5 + 9x 24. 4a) Avståndet = √ a 2 cos 2 ωt + b 2 sin 2 ωtb) v = (−aω sinωt, bω cosωt) a = −(aω 2 cosωt, bω 2 sin ωt) = −ω 2 r5. 5a) (1, 1, 1)/ √ 3b) (−2x, −2y, 1)/ √ 1 + 4zc) (x, 0, z)d) (−x/z, −y/z, 1)/ √ 2e) (x/a, y/b, z/c)f) (u + v, v − u, −2)/ √ (u + v) 2 + (v − u) 2 + 46. 6 b) Två plan som har olika värden på d är parallella, och har därför sammaenhetsnormal.7. 7 Normalriktningen: (0, −1, 1/5); Tangentplanets ekvation: −10y+2z+25 = 08. 8 En konyta; n = (0, 1, 1)/ √ 2; ej definierad (konens spets).9. 9 d(R2 )du= 2R · (A × R) = 0, dvs. R2 = konstant.

4910. 10 r = (u 2 /4, u, u 2 + u 4 /16), u : 0 → 2, t = (1/2, 1, 9/4).11. 11a) r = ( √ 6 coshu, √ 3sinhu, v) eller r = (± √ 6 + 2u 2 , u, v).b) r = (u, v, (u 2 − 2v 2 )/2).12. 12 r = (2, 1, 1) + u(−2, 2, 1), −2x + 2y + z = −1.13. 13a) (1, 1, 1)b) (1, 2, 3)c) −(1, 1, 1)/(x + y + z) 2d) 3(x + y + z) 2 (1, 1, 1)e) 2(x, y, z) = 2rf) (x, y, z)/ √ x 2 + y 2 + z 2g) −2(x, y, z)/(x 2 + y 2 + z 2 ) 2h) (yz, xz, zy)14. 1424/ √ 615. 15a) Nivåytor: φ = c, gradient: (yz, xz, xy)/2φb) Ledning: Visa att gradφ är ortogonal mot tangentvektorerna ∂(x, y, c 2 /xy)/∂xoch samma för y.16. 16 gradf = (ye xy ln z, xe xy ln z, e xy /z)17. 17 a) −1; b) 2/(e √ 3)18. 18 (1, 1)19. 19a) (2, 4, 1)b) 5 ◦ C/s

5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x 2 − 2y 2 − 2z = 0.n P = (gradφ) P = (4, −4, −2). Tangentplanets ekvation blir −2x + 2y + z =−1.21. 21 π/222. 22 s ≈ ∆φ| gradφ| = 3 √510 −623. 23( ) dTdsP 0= (gradT) P0 · e = | gradT| P0 e 0 · e = | gradT| P0 cosα(gradT) P0 = (4, −1, −2)( ) dTdse 0 =( gradT| gradT|)P 0=(4, −1, −2)√21= −2 = | gradT| P0 cosα = √ 21cosαP 0(α = arccos − √ 2 )2124. 24a) 0b) 2πc) π/2d) −1/2e) 5/325. 25 (a) 23(b) 126. 26a) 3/2b) (8π 3 − 2)/327. 27 A = gradxy/z, integralen = −5/3

5128. 28a) φ = x 2 yz + y + Cb) potential saknas29. 29a) 14/3b) 14/330. 30 φ(−1, 10, −2) − φ(0, 1, 0) = −1131. 31∫A · dr =C=∫∫CC{(b · r)(a · dr) + (a · r)(b · dr) + (a · b)(r · dr)} =d{(a · r)(b · r) + (a · b) r22 } == (a · b)(b · b) + (a · b) b2 2= 3 2 (a · b)(b2 − a 2 )− [(a · a)(b · a) + (a · b)a22 ] =ty r(0) = a och r(π/2) = b.32. 32 Man inser att F = grad(xyz) dvs.∫CF · drär oberoende av vägen och∫F · dr = (xyz) P − (xyz) 0 =C= abc2 sinh 5 4(− a √2) (− b √2)c sinh 5 4 =33. 33a) −8/3b) 3πc) 16π/3d) 0

52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 32336. 36 π (π − 1)237. 37a) div A = 3, rot A = 0b) div A = 3, rot A = (1, 1, 1)c) div A = 0, rot A = 0d) div A = 1/x + 1/y + 1/z, rot A = 0e) div A = 0, rot A = e yz (0, y, −z) + e zx (−x, 0, z) + e xy (x, −y, 0)f) div A = − sinz, rot A = (0, 0, siny − sinx)38. 38 (0, 0, 0)39. 39 040. 40 −2e −(x2 +y 2 +z 2) (y − z, z − x, x − y)41. 41 −x + z, −y + x, −z + y)42. 42 (a) i) a) 2ye y , b) 2xe z , c) 2, d) 1, e) 2xz, f) -2e yii) a) y 2 z 3 e x +2xyz 3 e y +3xy 2 z 2 e z , b) −(x+3z 2 )e x +ye y −x 2 e z , c) 2xz 3 +6xy 2 z,d) 3, e) −x 2 −2xy +y 2 +yz −x 3 +x 2 y −x 2 z −3xz 2 −3yz 2 +z 3 , f) 2(x −3z)e y43. 43 Därför att ∂Fx∂y = ∂Fy∂x = 4x/√ y; b) φ = 4x 2√ y44. 44a) 0b) 8πc) 162πd) 8/3

53e) 2176π/1545. 45 54π46. 46 4πR 347. 47∫∫SF · dS == 3 2∫∫∫∫∫∫divFdV =V∫ 2π ∫ π ∫ RAv symmetriskäl kan nämligen000∫∫∫V3(x 2 + y 2 + z 2 )dV =r 2 r 2 dr sinθ dθ dϕ = 3 2 4πR5 5 = 6π 5 R5V3r 2 dVöver halvsfären sättas = 1/2 gånger motsvarande integral över hela sfären.48. 48 2 3 π49. 49 S sluten, A kontinuerligt deriverbar, dvs. Gauss’ sats kan användas.divA =∫∫○ A · dS =S3y 2 + 2y − x + 2z∫∫∫(3y 2 + 2y − x + 2z)dVx = 0 symmetriplan till V , −x antisym. m.a.p. planet x = 0z = 0 symmetriplan till V , 2z antisym. m.a.p. planet z = 0∫∫∫⇒ (−x + 2z)dV = 0V har y-axeln till rotationsaxelVV⇒⇒ dV = πr 2 (y)dy = π(y 2 + 2y)dy∫∫ ∫ 4○ A · dS = (3y 2 + 2y)(y 2 + 2y)π dy =S0= 4 4 71π15

5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel i xz-planet med radie √ 3 och centrum i origo.∫∫ ∫∫∫○ A · dS = (2y + 2x + z + 8z 3 )dVS+S ∗ Vdär endast den första termen i integranden ger ett bidrag ≠ 0. De övriga termernaär antisymmetriska antingen m.a.p. planet x = 0 eller m.a.p planet z = 0,och V är symmetrisk med avseende på båda dessa plan.Som integrationselement väljs en tunn cirkulär skiva med tjockleken dy på avståndety från xz-planet, dvs.dV = π(4 − (y − 1) 2 )dy∫∫(x 2 , 2, 2z 4 ) · (0, −1, 0)dS = −2π( √ 3) 2 = −6πS ∗∫∫S∫∫∫=V∫∫−= 45S 2 ∗π − (−6π) =572 π51. 51∫∫∫∫∫○ (2x + x 3 z)ˆndS = {”Gauss’ sats”} = (2 + 3x 2 z, 0, x 3 )dV =SV∫∫∫= {symmetri i x, z} = (2, 0, 0)dV =V( ) 8π=3 , 0, 052. 52∫∫∫∫∫0 = ○ xA · dS = {Gauss’ sats} = ∇ · (xA)dV =SV∫∫∫∫∫∫= [(∇x) ·A + x ∇V } {{ } } {{· A}]dV = e x · A dVVe x=0Således är x-komponenten av den sökta integralen = 0. På analogt sätt visas attäven y- och z-komponenterna är = 0.53. 53∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫○ A · dS = divAdV = 3(x 2 + y 2 + (z − 1) 2 )dVSVVByt variabler x ′ = x, y ′ = y, z ′ = z − 1, samt inför r ′ = √ x ′2 + y ′2 + z ′2 :∫∫∫3 r ′2 dV = {dV = 4πr ′2 dr ′ } = 12π5r ′ ≤1

5554. 54 S omsluter det område i vilket div gradφ > 0, dvs. sfärenMaximala flödet = 12π √ 30/125.x 2 + y 2 + z 2 < 3 1055. 55a) −2πb) 1/6c) 3/456. 56 13/1257. 57 −π58. 58 − π√ 2459. 59 C är randkurva till ytan S 1 + S 2 därS 1 : x = 0, 0 ≤ z ≤ √ 1 − y 2 , ˆn 1 = (−1, 0, 0)S 2 : z = 0, 0 ≤ x ≤ min{1 + y, 1 − y}, ˆn 2 = (0, 0, −1)∫∫rotA = (x − 2, x − y, y 2 )rotA · ˆn 1 dS 1 = 2 πS 12∫∫∫∫rotA · ˆn 2 dS 2 = −y 2 dxdy = −2S 2 S 2Alltså:∮A · dr = π − 1C 6∫ 10(1 − y)y 2 dy = − 1 660. 60∮CA · dr =∫∫rotA = ae zSrotA · dSSom S kan vi välja cylinderns mantelyta plus botten. På mantelytan är rotA ·dS = 0. Vi får alltså:∮ ∫∫∫∫A · dr = ae z · dS = a dxdy = πa 3bottenCbotten

5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1), ger Stokes’ sats tillämpad på den yta som utgörsav koordinatplanen och begränsas av ellipsoiden:∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫A · dr = dxdy + dy dz + dz dx =S 1 S 2 S 3C= π (ab + bc + ca)462. 62rotA = (x + 4, 2, y − 1 − z)ˆn = − √ 1 (1, 1, 0) 2∮A · dr = − √ 1 ∫∫(x + 6)dS = − √ 6 π · 2 · 2 √ 2 = −24π2 2CS63. 63a) r/r = e rb) 2r 3 (x + y + z) + 3r(x 3 + y 3 + z 3 )c) 3r(yz 2 − zy 2 , zx 2 − xz 2 , xy 2 − yx 2 )d) (2xz + z 2 , 3y 2 , x 2 + 2xz)e) 0f) (x 2 − 2zy − 3z 2 , −2yz − 2xy, −3x 2 − 2xy + z 2 )g) (z 2 , y 2 , x 2 ) (här finns ingen indexräkning att göra!)h) (x 2 − z 2 )(−1, 0, 1)64. 64a)[∇ × (φA)] i = ǫ ijk ∂ j (φA k ) == ǫ ijk (∂ j φ)A k + φǫ ijk (∂ j A k ) == [gradφ × A + φrotA] ib)[∇ × (A × B)] i = ǫ ijk ∂ j (A × B) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (A l B m ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )((∂ j A l )B m + A l (∂ j B m )) == (∂ m A i )B m + A i (∂ m B m ) − (∂ l A l )B i − A j (∂ j B i ) == [(B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)B] i

57c) ∇ · (∇ × A) = ∂ i ǫ ijk ∂ j A k = 0d)[(B × C) · (∇ × A)] i = (ǫ ijk B j C k )(ǫ ilm ∂ l A m ) == (δ jl δ km − δ jm δ kl )B j C k (∂ l A m ) == B l C k (∂ l A k ) − B m C l (∂ l A m ) == [C · (B · ∇)A − B · (C · ∇)A] ie)[(B · ∇)(φA)] i = B j ∂ j (φA i ) == B j (∂ j φ)A i + φB j (∂ j A i ) == [A(B · ∇φ) + φ(B · ∇)A] if)[(B · ∇)(A × B)] i = B j ∂ j (ǫ ikl A k B l ) == ǫ ikl B j {(∂ j A k )B l + A k (∂ j B l )} == −ǫ ilk B l B j ∂ j A k + ǫ ikl A k B j ∂ j B l == [−B × (B · ∇)A + A × (B · ∇)B] ig)[A × (∇ × A)] i = ǫ ijk A j (∇ × A) k = ǫ ijk ǫ klm A j ∂ l A m == (δ il δ jm − δ im δ jl )A j ∂ l A m == A m ∂ i A m − A j ∂ j A i = 1 2 ∂ i(A m A m ) − A j ∂ j A i =h)= [ 1 2 gradA2 − (A · ∇)A] i[(A × ∇) × A] i = = ǫ ijk (∇ × A) j A k= ǫ ijk ǫ jlm A l ∂ m A k = (δ kl δ im − δ km δ il )A l ∂ m A k == A k ∂ i A k − A i ∂ k A k == [ 1 2 gradA2 − A divA] i (jfr g)65. 65 a-g saknash) alt. I:[rot((a × r) × b)] i = ǫ ijk ∂ j ((a × r) × b) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (a × r) l b m == ǫ ijk ǫ klm ǫ lpq a p b m ∂ j r q == (δ il δ jm − δ im δ jl )ǫ lpq a p b m ∂ j r q == ǫ ipq a p b m ∂ m r q − ǫ jpq a p b i ∂ j r q == ǫ ipq a p b m δ mq − ǫ jpq a p b i δ jq = [a × b] i

58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((a × r) × b) = {(8.24)} = (b · ∇)(a × r) − b(∇ · (a × r)) == {ex. 64 f) och (8.23)} == a × (b · ∇)r + b(a · (∇ × r)) = a × b()∂(b · ∇)r = b x∂x + b ∂y∂y + b ∂z (x, y, z) = (b x , b y , b z ) = b∂z∇ × r =∣e x e y e z∂ ∂ ∂∂x ∂y ∂zx y z= 0∣rot((a × r) × b) = rot(b × (r × a)) = rot((b · a)r − (b · r)a) == {(8.22)} = (b · a)(∇ × r) −(∇(b · r)) × a =} {{ }=0= −b × atyeller∇(b · r) =( ∂∂x , ∂ ∂y , ∂ )(b x x + b y y + b z z) = (b x , b y , b z ) = b∂z∇(b · r) = {(8.25)} = (b · ∇)r +b × (∇ × r)} {{ } } {{ }=b =066. 66a)[grad(a · gradφ)] i = ∂ i (a j ∂ j φ) = a j ∂ i ∂ j φ = [(a · ∇)∇φ] ib)[rot(a × gradφ)] i = ǫ ijk ∂ j (a × ∇φ) k =Alltså: A = −B = (a · ∇)∇φc) Medblir= ǫ ijk ǫ klm ∂ j (a l ∂ m φ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )a l ∂ j ∂ m φ == a i ∂ m ∂ m φ − a l ∂ l ∂ i φ = [a ∇ 2 φ −(a · ∇)∇φ]}{{}i=0∇φ = e x yz + e y xz + e z xyA = e x (a y z + a z y) + e y (a x z + a z x) + e z (a x y + a y x)

5967. 67därA = (∇r k ) × (r × a) + r k ∇ × (r × a)∇r k = kr k−1 e r = kr k−2 r∇ × (r × a) = (a · ∇)r −a(∇ · r) = −2a} {{ } } {{ }a 3⇒ A = kr k−2 r × (r × a) −r k 2a =} {{ }(a·r)r−r 2 a= kr k−2 (a · r)r − (k + 2)r k aA ‖ r⇒ k = −268. 68 069. 69 Enligt Stokes’ sats är∮∫∫a × (b × r) · dr =CS∇ × (a × (b × r)) · ˆn dSdär vi kan välja S så att ˆn ‖ c om C ligger på en nivåyta till φ.∇ × (a × (b × r)) = ∇ × ((a · r)b − (a · b)r) == ∇(a · r) ×b − (a · b) ∇ × r = a × b} {{ } } {{ }=a=0Linjeintegralen är noll om och endast om (a ×b) ·c = 0, dvs. om och endast oma, b och c ligger i samma plan.70. 70∇ × A = k (B 0 · ∇)r} {{ }−kB 0 (∇ · r)} {{ }=B 0 =3Alltså: B 0 = rotA om vi väljer k = −1/2.+ ∇ × ∇ψ = −2kB} {{ } 0=071. 71 v(r) ⊥ ˆn och r.|v(r)| = ωr sinθω, r, v(r) bildar ett högersystem, dvs.v(r) = ω × rrotv = rot(ω × r) = ∇ × (ω × ṛ) == −(ω · ∇)r + ω(∇ · r) = −ω + 3ω = 2ω

6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r) = {Gauss’ universalsats} == 1 ∫∫∫∇ × (a × r)dV =2 V= 1 ∫∫∫(a(∇ · r) − (a · ∇)r)dV =2 V= 1 ∫∫∫2adV = aV2V73. 73 Linjeintegralens i:e komponent =∮ ∮= e i · r × dr = (e i × r) · dr =CC∫∫∫∫= rot(e i × r) ·ˆn dS = e i · 2ˆndSS } {{ }S2e i74. 74 Den i:e komponenten av V.L. är =∫∫∫∫∫∫= e i · r × rotAdV = rotA · (e i × r)dV =VV∫∫∫= [div(A × (e i × r)) + A · rot(e i × r)]dV =V∫∫ ∫∫∫∫∫∫= ○ · · · + A · 2e i dV = 0 + e i · 2 A dV == i:e komponenten av H.L.S VV75. 75∫∫∫ ∫∫∫∫∫(∇φ) · B dV = (∇ · (φB) − φ ∇} {{· B})dV = ○ φB · dS =VVS=0∫∫ ∫∫∫= φ 0 ○ B · dS = φ 0 ∇ · B dV = 0SV76. 76 Med hjälp av Gauss’ universalsats erhålls∫∫∫∫∫○ (a × r) × dS = − rot(a × r) dV =SV } {{ }2a∫∫∫= −2a dV = − 8 3 πaV

6177. 77 ∮ ∫∫(a · r)dr =CSdS × grad(a · r)} {{ }=a∫∫= −a ×dSS} {{ }±(b/b)π= ±π b × ab78. 78 4π 3(0, 2, −5)79. 79 (−π, 0, 0). Observera att S ej är sluten, varför man måste dra bort bidragenfrån de plana ändytorna då man använder en integralsats.80. 80 i:e komponenten =∫∫∫∫= e i · ○ (A · ˆn)B dS = ○ (e i · B)A · ˆndS =SS∫∫∫∫∫∫= div(B i A)dV = . . . = e i · [(A · ∇)B + B divA]dVVVA och B ska vara kontinuerliga i V ∪ S samt kontinuerligt deriverbara i V .81. 81divA = 7Denna ekvation har partikulärlösningenA p = 7xe xAnsätt den allmänna lösningenA = A p + Rdär R satisfierardivR = 0Alltså: R = rotB där B är ett godtyckligt vektorfält.82. 82 Integrera rot(φA) = . . . där φ → φ, A → gradψ eller φ → ψ, A → gradφ. Idet första fallet erhålls ∮φgradψ · drsom är = 0, eftersomCgradψ · dr = 0I det andra fallet erhålls∮∮− ψ gradφ · dr = −ψ 0 gradφ · dr =CC∫∫= −ψ 0 rotgradφ · dS = 0S

6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, sin ϕ, 1 + cosϕ)dr = a(− sin ϕ, cosϕ, − sinϕ)dϕ∮r × dr =C= a 2 (−∫ 2π0= a 2 (−2π, 0, 2π)(1 + cosϕ)dϕ, −∫ 2π0sinϕdϕ,∫ 2π0)dϕ =b)ger∮C∮C∫∫r × dr =∫∫dr × r = (dS × ∇) × rSS∫∫[(∇ · r)dS − ∇(r · dS)] = 2 dSSProjektionen av S i xy-planet är en cirkel med radie a. Så även i yz-planet,medan projektionen i xz-planet är en rät linje.∫∫⇒ 2 dS = (−2πa 2 , 0, 2πa 2 )S84. 84rot(ψ gradφ) = gradψ × gradφ + ψ rotgradφ == − gradφ × gradψIntegrera båda leden över V :∫∫∫∫∫∫gradφ × gradψ dV = − rot(ψ gradφ)dV =V∫∫V= − ○ ˆn × (ψ gradφ)dS =S∫∫= −ψ 0 ○ ˆn × gradφdS =S∫∫∫= −ψ 0 rotgradφdV = 0Ovanstående operationer är tillåtna om ψ har kontinuerliga förstaderivator ochφ har kontinuerliga andraderivator i V . ψ och φ ska vara kontinuerliga i V ∪ S.V

6385. 85 i:e komponenten av integralen är∮∮e i · I = e i · r × (r × dr) = e i · (r × (r × dr)) =CC∮∮= ((r × dr) · (e i × r)) = ((e i × r) × r) · dr =CC∫∫= [∇ × ((e i × r) × r)] ·dSS } {{ }RdärR = ∇ × [(r · e i )r − r 2 e i ] == ∇(r · e i ) ×r + (r · e i ) ∇ × r −} {{ } } {{ } }{{}∇r 2 ×e i ==e i =0 =2r= 3e i × rAlltså:dvs.∫∫e i · I =S∫∫3(e i × r) · dS = e i · 3r × dSS∫∫I =S3r × dS86. 86Här ärvilket gerAlltså:∮e i · M = −I e i · (r × (B × dr)) =C∮∮= −I (B × dr) · (e i × r) = −I ((e i × r) × B) · dr =CC∫∫= {enl. Stokes’ sats} = −I rot((e i × r) × B) ·dSS } {{ }=AI specialfallet ärA = rot[(e i · B)r − (B · r)e i ] == (e i · B)rotr}{{}− grad(B · r) ×e i = −B × e i} {{ }=0 =B∫∫∫∫e i · M = I (B × e i ) · dS = Ie i · dS × BSS∫∫M = −IB × dSSM = πR 2 Iˆn × B

6487. 87 Linjeintegralens i:e komponent =∮= e i · ∇ 1 ∮C r × dr = (e i × ∇ 1C r ) · dr =∫∫= ∇ × (e i × ∇ 1 ) · ˆn dSrIntegranden kan skrivas−(e i · ∇)∇ 1 r + e i∇ · ∇ 1 rYtintegralen blir följaktligen∫∫e i ·SS=∂ r∂x i r 3 + 0 = e ir 3 − r 3 x ir 4 r == e ir 3 − 3(e i · r)rr 5( ) ˆn− (r · ˆn)3rr3 r 5 dSAlltså är linjeintegralen och ytintegralen lika omψ = φ = 1 r 388. 88 Låt S ′ vara en cirkelskiva parallell med xy-planet med radie 1 och centrum i(0, 0, 1) och med normalen e z .∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫φdS = ∇φdV = (2z 2 + y, x, 4xz + 3z 2 )dVS+S ′ VVVolymsintegralerna över x, y och xz är = 0 av symmetriskäl. Som integrationselementi de återstående integralerna används en cirkelskiva som utskärs av detvå plan ortogonala mot z-axeln på avstånden z resp. z + dz från xy-planet.Cirkelskivans volym är πz 2 dz och vi finner∫∫∫Ytintegralen över S ′ blir∫∫Vz 2 dV =∫ 10πz 4 dz = π 5S ′ (2x + xy + 1)e z dS = πe zDen sökta integralen blir följaktligen∫∫φdS = π 5 (2, 0, 3) − π(0, 0, 1) = 2π (1, 0, −1)5S

6589. 89grad(ρ − cosϕ)grad(z − ρ sinϕ)sinϕ= e ρ + e ϕρ= − sin ϕe ρ − cosϕe ϕ + e zI den givna punkten:±ˆn 1 = 1 √2(e ρ + e ϕ )±ˆn 2= − 1 2 (e ρ + e ϕ ) + e z√2|ˆn 1 · ˆn 2 | = cosα = 1 √2⇒ α = π 490. 90∇T = 2ρe ρ − 2 ρ z2 sin ϕcosϕe ϕ + 2z cos 2 ϕe z(∇T) P = 4e ρ − 1 2 e ϕ + e zdTds( ) dTdsmax= (∇T) P · eρ − 2e ϕ√ = √ 5 5√69= |(∇T) P | = i riktn. (∇T) P291. 91 div gradφ ≡ 0, dvs. flödet = 0 om ytan ej skär z-axeln där fältet är singulärt.92. 92 Potentialen φ bestäms av ekvationssystemet∂φ∂ρ = z2 sin 2 ϕ (1)(1) har lösningen(4) → (2) ger:som har lösningen1 ∂φρ ∂ϕ = z2 sin 2ϕ − z sinϕ (2)ρ∂φ∂z = cosϕ + 2ρz sin2 ϕ (3)φ = ρz 2 sin 2 ϕ + F(ϕ, z) (4)∂F∂ϕ= −z sin ϕF = z cosϕ + G(z) (5)

66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.∫ QPG = CdGdz = 0(konst.)φ(ρ, ϕ, z) = ρz 2 sin 2 ϕ + z cosϕ + CA · dr = φ(5, π 2 , −1) − φ(1, π √19 3, 1) =6 4 − 293. 93ger∇ 2 A = graddivA − rotrotA =( ) 1 ∂= grad0 − rotρ ∂ρ (ρf)e z == d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρf) e ϕ = 01 dρ dρ (ρf) =aρf = aρ22 + bf = a 2 ρ + b ρ94. 94 rotA ≡ 0, dvs. cirkulationen = 0 för alla kurvor som ej omkretsar z-axeln,där fältet är singulärt.95. 95a) v = ω × r = ωρe ϕb)c)medför att v har en vektorpotential.divv = 1 ∂ρ ∂ϕ (ωρ) = 0kräverrotA = ∂A ρ∂z e ϕ − 1 ∂A ρρ ∂ϕ e z = ωρe ϕ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∂A ρ∂z = ωρ∂A ρ∂ϕ = 0

67som gerdär F är en godtycklig funktion.A ρ = ωρz + F(ρ)96. 96a)divB = Iµ 02πrotA = − 1 ρ( )1 ∂ 1= 0ρ ∂ϕ ρ⇒ A z (ρ) = − Iµ 02π lnρ + C∂A z (ρ)ρe ϕ = B = Iµ 0 e ϕ∂ρ 2π ρb) rotB = 0 visas enkelt.Betrakta en cirkel, Γ, som är koncentrisk med cylindern och som har radienR 1 > R.∮ΓB · dr = {dr = R 1 dϕe ϕ på Γ} = Iµ 02π∫ 2π0R 1 dϕR 1= Iµ 0 ≠ 0(Det område som Γ omsluter är inte enkelt sammanhängande.)97. 97 ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · e ϕ = 0ger∇ × e ϕ = 1 ρ e z∇ ×( 1ρ e z)= e ϕρ 2∇ 2 e ϕ = − e ϕρ 298. 98a)∂ψ∇ψ = e r∂r + e 1 ∂ψθr ∂θ = 2 cosθr 3 e r + sinθr 3 e θ

68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sinθe r re θ r sinθ e ϕ∂ ∂ ∂=∂r ∂θ ∂ϕsin 2 θ∣ 0 0 ∣r(2 sinθ cosθ sin 2 )θe r + re θr r 2 == 2 cosθr 3 e r + sin θr 3 e θ = ∇ψ∇ · ∇ψ = ∇ · (∇ × A) = 0∇ × (∇ × A) = ∇ × (∇ψ) = 099. 99a) ∇ 2 A = graddivA − rotrotAb) Man erhåller rote r = 0 och dive r = 2/r.graddive r = − 2 r 2e r ⇒ ∇ 2 e r = − 2 r 2e rc) Man finner attVidare ärdive ϕ = 0rote ϕ = 1 r cotθ e r − 1 r e θrotrote ϕ = − 1 dr 2e ϕdθ (cotθ) = 1r 2 sin 2 θ e ϕ⇒ ∇ 2 1e ϕ = −r 2 sin 2 θ e ϕ100. 100n P= gradr(3 + cosθ) = (3 + cosθ)e r + 1 r r(− sin θ)e θr P= re rcosα = n P · r P|n P ||r P | = 3 + cosθ√(3 + cosθ) 2 + sin 2 θα= arccos3 + cosθ√10 + 6 cosθ

69101. 101gradp = 2r sin θ cosϕe r + r cosθ cosϕe θ − r sin ϕe ϕ(gradp) P = 2 √ 2e r − √ 2e ϕRiktningsderivatan i den givna riktningen ärdpds( ) dpdsmaxom riktningen är ‖ gradp.= (2 √ 2e r − √ 2e ϕ ) ·= | gradp| = √ 101√2(e r + e ϕ ) = 1102. 102i riktningen −4e r − e θ .(∇T) PdTds( ) dTdsmax= − 1 2 e r − 1 8 e θ= (∇T) P · er + e ϕ√2= − 12 √ 2= |(∇T) P | = 1 8√17103. 103dvs.(4) insatt i (2) ger:gradφ = A∂φ∂r = 3 cos2 θ − 1r 4 (1)1 ∂φr ∂θ = sin2θr 4 (2)1 ∂φr sinθ ∂ϕ = 0 (3)(3) ⇒ φ = φ(r, θ)(1) ⇒ φ = − 3 cos2 θ − 13r 3 + F(θ) (4)6 cosθ sin θ3r 4∫ QP+ 1 r F ′ (θ) = sin2θr 4 ⇒ F(θ) = CA · dr = φ(Q) − φ(P) = 1 81 − (− 1 6)= 29162104. 104

70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin θc) Ja, eftersom rotF = 0. gradψ = F ger⎧∂ψ⎪⎨∂r = − 1 r 3 sin2θvilket ger⎪⎩1 ∂ψr ∂θ = 1 r 3 cos2θψ = 1 sin 2θ2 r 2 + C105. 105gerrot(A ϕ e ϕ ) = 1r sinθOm (2) sätts in i (1) fåsdvs.ger A ϕ oberoende av ϕ, dvs.∂∂θ (A ϕ sin θ)e r − 1 r∂∂r (rA ϕ)e θ = e rr 21 ∂sin θ ∂θ (A ϕ sinθ) = 1 r(1)rA ϕ = F(θ, ϕ) (2)∂(F sin θ) = sin θ∂θF sin θ = − cosθ + G(ϕ)div(A ϕ e ϕ ) =1 ∂r 2 sin θ ∂ϕ (rA ϕ) = 0G(ϕ) = konst.Alltså:A = C − cosθr sin θ e ϕvilket ej är definierat på z-axeln.106. 106 Eftersom rotationen av vektorfältet ≡ 0, och området är enkelt sammanhängande,existerar en potential φ. Man finnerφ = lnr + ϕ + Cdär man måste välja variationsområdet för ϕ så att −π ≤ ϕ ≤ π för att potentialenska bli kontinuerlig.Linjeintegralen == ∇ 2 φ = ln 3 − π

71107. 107A = sin θ e θ + sin θ e ϕ ⇒ rotA = 2 cosθ e r − . . .∮ ∫∫rA · dr = rotA · dS =CS= {S är sfärytan, dS = r 2 sin θ dθ dϕe r , r = 1} ==∫ π/2dϕ∫ π/20 02 sin θ cosθ dθ = π 2förutsatt att en betraktare i origo ser en medurs orienterad kurva.108. 108∫∫Se θ dS =∫ π/2 ∫ π/2(cosθ cosϕe x + cosθ sin ϕe y −0 0( 1− sinθ e z )sin θ dθ dϕ =2 , 1 )2 , −π2 8109. 109 Rotationen = 0, dvs. cirkulationen = 0.110. 110 Koordinatsystemet väljs så att linjen θ = 0 blir parallell med vektorn a. Iså fall gällera · r =a × r =ar cosθar sin θ e ϕa)grad(a · r) = a cosθ e r − a sinθ e θ = ab)c)div(a × r) =rot(a × r) =1 ∂r 2 (rar sin θ) = 0sin θ ∂ϕ1r 2 sinθ∣e r re θ r sin θe ϕ∂∂r∂∂θ∂∂ϕ0 0 ar 2 sin 2 θ= 2a cosθ e r − 2a sinθ e θ = 2a=∣

72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 112∇ 2 e θ = graddive θ − rotrote θ1 ∂dive θ =r 2 sinθ ∂θ (r sin θ) = 1 cosθ( )r sinθ1 cosθgrad = ∂ ( ) 1 cosθe r + 1 ( )∂ 1 cosθe θ =r sinθ ∂r r sinθ r ∂θ r sin θ= − 1 cosθr 2 sin θ e r − 1 1r 2 sin 2 θ e θe r re θ r sin θ e ϕ1rote θ =∂ ∂ ∂r 2 sinθ∂r ∂θ ∂ϕ= 1 r e ϕ∣ 0 r 0 ∣e r re θ r sin θ e ϕ)1rot(r e 1∂ ∂ ∂ϕ =r 2 = 1 cosθsinθ∂r ∂θ ∂ϕr ∣ 0 0 r sin θ 1 2 sinθ e r∣rAlltså:∇ 2 e θ = − 2 r 2 cosθsin θ e r − 1 r 2 1sin 2 θ e θ113. 113a) divA = 0 i sfären. Detta borde ge∫∫∫divAdV = 0medan ytintegralen∫∫○S∫∫A · dS = 1/R 2 ○ dS = 4πSb)∫∫ ∫∫ ∫∫○ A · dS = ○ A · dS + ○ A · dSS 1+S 2 S 1 S 2där den yttre sfären har utåtriktad normal medan den inre sfären harinnåtriktad normal. Detta ger nettoresultatet 4π − 4π = 0.c) Ytan S får inte omsluta fältets singularitet i origo.

73114. 114 Den första termen representerar flödet från en punktsänka, som befinner sigi området. Den ger bidraget −4πq. Den andra termen bidrar med∫ 2c−2c12pz 2 4πc 2 dz = 256πpc 5115. 115 Den första termen är en punktsänka i punkten (3, −1, 0), vars avstånd frånsfärens medelpunkt är√(3 − 2)2 + (−1 − 1) 2 + (0 − 1) 2 = √ 6 < 3Punktsänkan ligger således inuti sfären och ger bidraget −4π. Gauss’ sats gerbidraget från den andra termen:∫∫∫6xy dVVDenna integral beräknas i koordinatsystemet K ′ vars origo ligger i sfärens medelpunkt:∫∫∫Alltså: Flödet = 428π.Vx ′ = x − 2, y ′ = y − 1 z ′ = z − 16(x ′ + 2)(y ′ + 1)dV = 12V = 12 4 3 π33 = 432π116. 116 divA = 0. Fältet är singulärt i origo. Flödet genom en godtycklig yta sominnesluter origo = flödet genom en sfär med radien ε == 1 ε 4 ∫∫(3 cos 2 θ − 1)ε 2 sin θ dθ dϕ = 0117. 117a) Fältet är en superposition av en linjekälla och en punktsänka. Flödet =2π2 − 4π = 0.b)A · ˆn ==( 1ρ e ρ −) ( )1(ρ 2 + z 2 ) (ρe ρe ρ + ze z3/2 ρ + ze z ) · √ =ρ2 + z 21√ρ2 + z − 12 ρ 2 + z 2 = 0 då ρ2 + z 2 = 1118. 118

74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS ==→f(θ) =∫∫∫∫∫∫2πε≤r≤f(θ)ε≤r≤f(θ)∫ π012 − cosθsin θ dθdiv( 1r e r)∫∫1dV + ○r=ε r dS =1r 2 r2 sin θ dr dθ dϕ + 4πε →∫ f(θ)0dr = 2π ln 3∫∫ 1r r2 sin θ dθ dϕ = 2π ln 3e r · ˆn dS= r 2 sin θ dθ dϕe r /r 2 skulle ge 4π.119. 119 8π120. 120 divA = 2z. Fältet är singulärt på z-axeln, varifrån området tillförs flödetTotala flödet =∫√2+ 4−ε 2limε→02− √ z ε2 − 12πε dz =4−ε ε 2∫∫∫V∫ 42z dV − 16π = 80π30(−2πz)dz = −16π121. 121 Cirkulationen längs kurvanρ = ρ 0 , z = z 0 , ϕ : 0 → 2πär∮A ·ˆt ds = {ˆt = e ϕ , ds = ρ 0 dϕ} ==∫ 2π0sin ϕρ 2 ρ 0 dϕ = 00122. 122 En dipol består av en punktkälla och en punktsänka. Flödena från dessaadderas så lösningen följer behandlingen av punktkällan i kompendiet.a)∫∫○= 4πq + (−4πq) = 0

75b)∫∫○= 4πq + 0 = 4πqc)∫∫○= 0 + 0 = 0123. 123 Vi låter z-axeln vara parallell med e samt inför sfäriska koordinater:A = sin2 θr 2 e rFältet är källfritt för r ≠ 0 ty( )1 ∂divA =r 2 r 2 sin θ sin2 θsin θ ∂r r 2 = 0Flödet ut genom S är lika stort som flödet ut genom en sfär S ε med radien ε ochmedelpunkten i origo.∫∫ ∫∫sin 2 θ○ A · dS = ○S εε 2 e r · dS = {dS = e r ε 2 sin θ dθ dϕ} =S=∫ π0sin 3 θ dθ∫ 2π0dϕ = 8 3 π124. 124 Inför cylinderkoordinaterA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ) = 2ρze ρ − ρ 2 e zFältlinjernas differentialekvationer blir:dρ2ρz = −dz ρ 2 , dϕ = 0med lösningen:⎧⎨⎩ρ 2 = −2z 2 + aϕ = bFör fältlinjen genom (1, 1, 1) (ρ = √ 2, ϕ = π/4, z = 1) gäller att a = 4 ochb = π/4.Dess skärningspunkter med planet x + y = 1:ρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = ± √72

76125. 125 Differentialekvationerna är:De satisfieras avdρρ cosϕ = ρdϕρ 2 = dzρ sin ϕ⎧⎨⎩För den sökta fältlinjen gäller a = b = 2.ρ = a + sin ϕz = b − cosϕy = 0 ⇒ ϕ = 0 dvs. ρ = 2, z = 1 ellerϕ = π dvs. ρ = 2, z = 3126. 126 Den sökta fältlinjen har ekv.: r = 4a sin 2 θ, ϕ = 0.r max = 4a för θ = π/2.127. 127 φ(x) = φ 0 x/d128. 128 φ(r) = φ 0 (1/r − 1/R 1 )/(1/R 2 − 1/R 1 )129. 129 0 Ledning: Använd medelvärdessatsen.130. 130I specialfallet erhålls:∂d∂t + 1 ∂ρ ∂ρ (ρv ρd) + 1 ∂ρ ∂ϕ (v ϕd) = κ(d = kρ ( ) ) 20 ρ2 −4v 0 ρ 0131. 131T = T 0 + T d − T 0xd132. 132V =V 2 − V 1ln(R 2 /R 1 ) ln(ρ/R 1) + V 1E = − V 2 − V 1 e ρln(R 2 /R 1 ) ρ

77133. 133RV = V 0rRE = V 0r 2e r134. 134⎧⎪⎨ − γρ 06 (3R2 − r 2 ) 0 ≤ r ≤ Rφ =⎪⎩ − γρ 0R 3R ≤ r < ±∞3rφ och ∂φ/∂r är kontinuerliga för r = R.135. 135 Sätt ψ = φ + ϕ, ϕ = 0 på S∫∫∫∫∫∫(gradψ) 2 dV − (gradφ) 2 dV =VV∫∫∫= (2 gradφ · gradϕ + (gradϕ) 2 )dV =V∫∫∫∫∫ ∫∫∫= 2 ○ ϕgradφdS − 2 ϕ∇ 2 φdV + (gradϕ) 2 dV =SVV∫∫∫= 0 + (gradϕ) 2 dV ≥ 0V136. 136∇ 2 φ = 0e z · gradφ = 0∇ 2 lnρ = 0gradlnρ = 1 ρ e ρ∫∫∫0 ==∫∫S∫∫−ε≤ρ≤R−h≤z≤h(φ 1 ρ − ∂φρ=ε−h≤z≤hemedan integranden = 0 på ytorna z = ±h.∫ 2π(φ∇ 2 lnρ − lnρ∇ 2 φ)dV =)∂ρ lnρ dS −(φ 1 ρ − ∂φ )∂ρ lnρ ρ dϕdz∫ 2π∂φ2h φ(ε, ϕ)dϕ − 2hε lnε00 ∂ρ dϕ == 1 ∫∫ ∫∫∂φφdS − lnRR SS ∂ρ dS == 1 ∫∫ ∫∫∫φdS − lnR ∇ 2 φdVRSV

78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =γ =1 ∫∫φdSR S14πhR137. 137 Lägg origo i punkten r P : R ≡ r − r P .Sätt in φ = T, ψ = 1/R i Greens sats II:(T ∇∫∫∫V 2 1 R − 1 )R ∇2 T dV = ○(T ∇∫∫S−S 1 ∗ εR − 1 )R ∇THär är∇ 2 1 R = 0· ˆndS∇ 2 T∇ 1 RR= − 1 k κ i V ∗= −e RR 2= ε på S ε∫∫= ○S− θe R · ˆnR 2∫∫dS + ○Sˆn = e R på S ε∫∫∫κ⇒kR dV =V ∗∫∫γkR dS + ○T e R · e RS εR 2∫∫dS + ○1S εR∇T · ˆn dS (1)För de båda sista termerna i H.L. finner vi följande med hjälp av medelvärdessatsen:∫∫1ε 2 ○ T dS = 1S εε 2 T(P ′ )4πε 2 → 4πT(P)1ε∫∫S ○ ∇T · ˆn dS = {enl. Gauss’ sats} = 1 ∫∫∫∇ 2 T dV =εε V ε= − 1 ∫∫∫κ dV = − 1 kε V εkε κ(P ′′ ) 4 3 πε3 → 0Således blir (1) i limes då ε → 0:T(P) = 1 ∫∫∫4πkdvs.VκR dV + 14π∫∫S○ θR · ˆnR 3 dS − 14πk∫∫S○a = 14πk , b = 14π , c = − 14πkγR dS138. 138

79a) Konstruera volymen V som begränsas av dipolytan S, den av de räta linjernafrån P till randkurvan L genererade ytan S k samt S s , som är en delav en sfäryta (radie a).SVLPS sS kFältetA = −σ r − r P|r − r P | 3är en punktsänka i P. Således gäller∫∫○ A · ˆn dS = 0S+S k +S sMenty A · ˆn = 0 på S k .∫∫⇒S∫∫S k= 0∫∫ ∫∫dS s= − = −σS s S sa 2 = −σΩdär Ω är den rymdvinkel under vilken S s ses, dvs. den sökta rymdvinkeln.b) Om L upptar rymdvinkeln Ω 0 från en punkt P på dipolytan så är potentialen≈ −σΩ 0i en punkt omedelbart under ytan, ochi en punkt omedelbart över ytan≈ +σ(4π − Ω 0 )⇒ ∇ 2 φ = 4πσ

80139. 139 Integralen ==∮C 1∮∮C 1∮C 2(r 2 1 − 2r 1 · r 2 + r 2 2)dr 1 · dr 2 = [1] == − 2(r 1 · r 2 )dr 1 · dr 2 =C∮2∮= −2 dr 1 · (r 1 · r 2 )dr 2 = [2] =C 1 C∮ ∫∫2= −2 dr 1 · ˆn 2 × ∇ 2 (r 1 · r 2 )dS 2 = [3] =C 1 S∮ ∫∫ 2= −2 dr 1 · ˆn 2 × r 1 dS 2 =C 1 S∮ (2)= 2 dr 1 · r 1 × ˆn 2 dS 2 =C 1∫∫S( )2= 2 dr 1 × r 1 · ˆn 2 dS 2 = [4] =∮C 1 S∫∫ ∫∫ 2= −4 ˆn 1 dS 1 · ˆn 2 dS 2S 1 S∮2∮ ∮[1] : r1dr ∮C 2 1 · dr 2 = r1dr 2 1 · dr 2 = 01 C 2 C 1 C∮2[2] : Integralsatsen φdr = . . . har använts.[3] : ∇ 2 opererar bara på r 2 .[4] : Resultatet av ex. 73 har använts.C140. 140 e 1 = (1, 1, 2)/h 1 ,e 2 = (1, −3, 1)/h 2 ,e 3 = (7, 1, −4)/h 3 , h 1 = √ 6, h 2 =√11, h3 = √ 66141. 141a) a 3 bc4π/15b) 594/5142. 142a)⎧u ⎪⎨ 1 = x 2 − y 2u 2 = xy⎪⎩ u 3 = z

ger ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩e 1 /h 1 = ∇u 1 = 2(xe x − ye y )81e 2 /h 2 = ∇u 2 = ye x + xe ye 3 /h 3 = ∇u 3 = e zAlltså: ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩e 1 = (xe x − ye y )/ √ x 2 + y 2e 2 = (ye x + xe y )/ √ x 2 + y 2e 3 = e zb)Uppenbart gäller e i · e j = δ ij .h 1 =12 √ x 2 + y = 12 2(u 2 1 + 4u2 2 )1/4h 2 =1(u 2 1 + 4u2 2 )1/4h 3 = 1Alltså:divA =√(= 2 u 2 1 + ∂ A 14u2 2∂u 1 (u 2 1 + + ∂ A 24u2 2 )1/4 ∂u 2 2(u 2 1 + + 4u2 2))1/4+ ∂ A 3∂u 3 2 √ u 2 1 + 4u2 2143. 143a)⎧⎪⎨⎪⎩√ √x2u = + y 2 + z 2 + z 0 ≤ u < ∞√ √x2v = + y 2 + z 2 − z 0 ≤ v < ∞tan ϕ = y/x0 ≤ ϕ < 2πb)(u 2 0 − x2 + y 2), rotationsparaboloiderz = 1 2 u 2 0z = 1 ( x 2 + y 22 v02 − v02y = xtan ϕ 0 , halvplan genom z-axeln), rotationsparaboloider

82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2 ∂u e u + ∂φ )∂v e v + 1 ∂φuv ∂ϕ e ϕe u =1√ (v cosϕ, v sinϕ, u)u2 + v2 e v =1√ (u cosϕ, u sinϕ, −v)u2 + v2 e ϕ = (− sin ϕ, cosϕ, 0)r = 1 2 grad(x2 + y 2 + z 2 ) = 1 ( u 22 grad + v 2 ) 2=2√u2 + v=2(ue u + ve v )2e rr 2 = − grad 1 r = 4(u 2 + v 2 ) (ue 5/2 u + ve v )144. 144a)∇u = e r sin 2 θ 2 + e θ sin θ 2 cos θ 2∇v = e r cos 2 θ 2 − e θ sin θ 2 cos θ 22∇w =r sin θ e 1ϕ =r sin θ 2 cos θ 2Ortogonaliteten framgår av dessa uttryck och eftersom e i = h i ∇u i får vi:√1 u + vh u =sin θ =u2√1 u + vh v =cos θ =v2e ϕh w= r sin θ 2 cos θ 2 = √ uvb)=√ ( √uv 1 ∂ (u2 + uv)(u + v)uv(u + v) 2 +uv ∂u v+ ∂ √ )(v2 + uv)(u + v)uv=∂v u1(2u + v + 2v + u) = 3u + v

83145. 145a) Använd ∇ψ · dr = dψ med ψ = φ och ψ = u i i uttrycketoch vi får∇ 2 φ =∑ i= ∑ i= ∑ idφ = ∑ i∇φ = ∑ i∂φ∇ 2 u i + ∑ ∂u ii∂φ∇ 2 u i + ∑ ∂u ii∂ 2 φ∂u 2 |∇u i | 2i∂φ∂u idu i∂φ∂u i∇u i (1)( ) ∂φ∇ · ∇u i = {enl. (1)} =∂u i∑j∂ 2 φ∂u i ∂u j∇u i · ∇u j =Detta ger två villkor:a) ∇ 2 u i = 0b) ∇u i · ∇u j = δ ij |∇u i | 2b) ∇ 2 u i = 0 tillämpat på u 1 , u 2 och u 3 ger med det enklaste valet av integrationskonstanter:u 1 = 1 ru 2 = lnu 3 = ϕSkalfaktorerna fås ur ∇u i = e i /h i :(tan θ )2h 2 1 = 1 u 4 , h 2 2 = h 2 3 =11u 2 1 cosh2 u 2Alltså:∇ 2 φ = u 4 ∂ 2 (φ∂1∂u 2 + u 2 2 )φ1 cosh2 u 21∂u 2 + ∂2 φ2 ∂u 2 3146. 146r = a(coshu cosv e x + sinhu sin v e y ) + we z∂r∂u = a(sinhucosv e x + coshu sin v e y )∂r∂v= a(− coshu sin v e x + sinhucosv e y )∂r∂w = e z

a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ − y84Tydligen ortogonala.h u = a√cosh 2 u sin 2 v + sinh 2 u cos 2 v = a√cosh 2 u − cos 2 vDärför blirh v = h uh w = 1∇ 2 φ = 0 har därför lösningen∇ 2 φ = 1 ∂h u h v ∂uh v∂φh u ∂u = 1 ∂ 2 φh u h v ∂u 2φ = Au + BEllips 1:Ellips 2:gerAlltså:54 = coshu⎫⎪ ⎬⇒ e u = 2 ⇒ u = ln 234 = sinhu ⎪ ⎭53 = coshu⎫⎪ ⎬⇒ e u = 3 ⇒ u = ln 343 = sinhu ⎪ ⎭⎧⎨ Aln 2 + B = 0⎩ Aln 3 + B = 22A =ln 3 − ln 2B = − 2 ln2ln 3 − ln 2φ =2(u − ln 2)ln 3 − ln 2147. 147har viη 2 = ρ + yζ = z⎧⎪ ⎨⎪ ⎩2ξ∇ξ = e ρ − e y2η∇η = e ρ + e y∇ζ = e z

85Alltså:∇ξ = 1 e ξ = 1 1h ξ 2ξ ρ (xe x − (ρ − y)e y )∇η = 1 e η = 1 1h η 2η ρ (xe x + (ρ + y)e y )Då|∇ξ| = 1√1 √ 2ρ(ρ − y)x2 + y|ξ| 2ρ2 + ρ 2 − 2ρy =|ξ|2ρty ρ − y = ξ 2 , har vih ξ = √ ξ 2 + η 2e ξ = 1 ξh η = √ ξ 2 + η 2e η =e ζ = e z1√ 2ρ(ξηe x − ξ 2 e y ) = 1 √ 2ρ(ηe x − ξe y )1√ 2ρ(ξe x + ηe y )= 1 √ 2ρb)⎛(a ij ) = √ 1⎜ 2ρ ⎝⎞η −ξ 0ξ η 0 ⎟√⎠0 0 2ρTydligen är basvektorerna ortogonala. Enl. a) ärh ξ = √ ξ 2 + η 2 = √ 2ρh η = √ ξ 2 + η 2h ζ = 1varavdivA = 1 ( ( ∂ ξ2ρ ∂ξ 2 (3η2 + ξ ))2 + ∂ ( η) )∂η 2 (3ξ2 + η 2 ) == 1 ( 32ρ 2 (ξ2 + η 2 ) + 3 2 (ξ2 + η ))2 = 3eftersom 2ρ = ξ 2 + η 2 .Alternativt kan A transformeras till (x, y, z) där man finnervarav resultatet följer trivialt.A = (2xe x + ye y )

86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin ϕsin θ, r cosθ)Bilda v − u = 2r cosθ och vu = r 2 (1 − cos 2 θ) = r 2 sin 2 θ.⇒r = ( √ vu cosw, √ vu sin w, (v − u)/2)h u =h v =h w =√ ∂rv + u∣∂u∣ = 2 √ u√ ∂rv + u∣∂v∣ = 2 √ v∂r∣∂w∣ = √ vuBilda u + v = 2r.⇒ gradφ = 2√ u√ v + u∂φ∂u e u + 2√ v√ v + u∂φ∂v e v + 1 √ vu∂φ∂w e w⇒ r = 1 2 (u + v)grad 1 (u + v) =2= 1 ( √ 2 u2 (u + v)1 √ e u + 2√ )v√ e v =2 v + u v + u= 1 2√u2 + uve u + 1 2√v2 + uv e v149. 149a)b)∇ 2 φ =( (1 ∂uv(u 2 + v 2 uv ∂φ )+ ∂ (uv ∂φ )+ u2 + v 2 ∂ 2 )φ) ∂u ∂u ∂v ∂v uv ∂ϕ 2 = 0φ = φ(u) ⇒ d (u dφ )= 0 ⇒ φ = a lnu + bdu duc)φ = a 2 lnr + a ln(1 + cosθ) + b2150. 150 Ortogonaliteten framgår av att ∂r/∂u, ∂r/∂v och ∂r/∂ϕ är inbördes ortogonala.h u = h v = √ u 2 + v 2 , h ϕ = uvEkvationen för φ:(du dφ )= 0du du

87Lösningen blir (sedan randvillkoren använts):1φ = φ 0ln √ ln u2 3 √ a3151. 151a) Det räcker med att konstatera att kolumnerna i (a ik ) är ortogonala samtatt det(a ik ) = 1.b)⎛⎞0 0 0T ′ = aTa T = ⎜ 0 − √ 2 0 ⎟⎝√ ⎠0 0 2152. 152 ⎛⎜⎝cos 2 α − sinαcosα 0− sinα cosα sin 2 α 00 0 0⎞⎟⎠153. 153 ⎛⎜⎝0 sin α cosαsin α cos 2 α − sinαcosαcosα − sinα cosα sin 2 α⎞⎟⎠154. 154 Vi harByt i, j mot r, s i (1):A ij x i x j + B i x i = 0 (1)A ′ ij x′ i x′ j + B′ i x′ i = 0 (2)A rs x r x s + B r x r = {x r = a ir x ′ i , x s = a js x ′ j } == a ir a js A rs x ′ ix ′ j + a ir B r x ′ i = 0Jämförelse med (2) ger A ′ ij = a ira js A rs och B ′ i = a irB r , dvs. A ij och B i ärkomponenter av tensorer.155. 155a) δ 11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3

88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε ijk ε ljk= ε i12 ε l12 + ε i13 ε l13 + ε i23 ε} {{ l23 +}δ il+ ε i21 ε l21 + ε i31 ε l31 + ε i32 ε} {{ l32 = 2δ} ilδ ilAlternativt:ε ijk ε ljk = ε jki ε jkl = δ kk δ il − δ kl δ ik = 3δ il − δ il = 2δ ild) ε ijk ε ijk = antal jämna permutationer + antal udda = 6Alternativt:ε ijk ε ijk = δ jj δ kk − δ jk δ kj = 3 · 3 − δ jj = 9 − 3 = 6156. 156a)A ′ ijkl = a ir a js a kt a lu δ rs δ tu = a ir a jr a kt a lt = {a ik a jk = δ ij } == δ ij δ kl = A ijklb)B ijkl ′ = a ir a js a kt a lu (δ rt δ su + δ ru δ st ) == a ir a js a kr a ls + a ir a js a ks a lr == δ ik δ jl + δ il δ jk = B ijklc) C ijkl = ε nij ε nkl = δ ik δ jl −δ il δ jk . Nu kan samma metod som i b) användas.157. 157a) Yttre produkten av tensorerna A ij och B kl , en tensor av fjärde ordningen.b) A ij B ji erhålls som inre produkten mellan A ij och B kl . Ordningstalet ärnoll (skalär).c) Denna tensor erhålls som partiella derivatan m.a.p. x k . Ordningstalet ärtre.d) Erhålls efter derivering av A ij m.a.p. x k resp. x l åtföljd av en kontraktion,l = i. Ordningstalet är två.e) A ij A jk är en tensor av andra ordningen. Volymsintegrering ger en ny tensorav samma ordning.158. 158

89a) div rotA = (ε ijk A k,j ) ,i = ε ijk A k,ji = 0 eftersom ε ijk är antisymmetrisk ochA k,ji symmetrisk vid byte av ordningen mellan i och j.b) B · ((A · ∇)C) − A · ((B · ∇)C)c) graddivA − ∇ 2 Ad) (B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)Be) 0f) −2 gradφ + r∇ 2 φ − (r · ∇)gradφg) −2 rotA − (r · ∇)rotAh) 0i) rotB + (r · ∇)rotBj) −2 divB + r · ∇ 2 B − (r · ∇)divBk) B × ((A · ∇)C) − C × ((A · ∇)B)159. 159(((r × ∇) × (r × ∇))φ) i == (ε ijk (ε jlm x l ∂ m )(ε knp x n ∂ p ))φ == ε jlm (δ in δ jp − δ ip δ jn )x l (x n,m φ ,p + x n φ ,pm ) = {x n,m = δ mn } == ε jlm x l (δ im φ ,j + x i φ ,jm − δ jm φ ,i − x j φ ,im ) == −ε ilj x l φ ,j + 0 − 0 − ε jlm x l x j φ ,im = −(r × ∇φ) i} {{ }=0160. 160a)(∮C)A × dri===∮ ∫∫ε ijk A j dx k = ε klm ε ijk A j,m dS l =CS∫∫(δ il δ jm − δ im δ jl )A j,m dS l =S∫∫(A j,j n i − A j,i n j )dSSb)c)∫∫((B · (ˆn × ∇))A + A(ˆn · rotB))dSS∫∫(A ij,j n i − A ij,i n j )dSS

90161. 161∮− φA · drC162. 162(∫∫)(gradφ × GradA) · dSSl∫∫= ε ijk φ ,j A l,k dS i =S∫∫= ε ijk ((φA l,k ) ,j − φA l,kj )dS i =S= {ε ijk A l,kj = 0} =∮= φA l,k dx kC163. 163a)b)∫∫∫V∫∫∫(∇ × (∇ × A)) i dV = ε ijk ε klm A m,lj dV =V∫∫= ○ (δ il δ jm − δ im δ jl )A m,l dS j =S∫∫= ○ (A j,i − A i,j )dS jS∫∫○ (A × ∇φ) · dSS164. 164∫∫○ A(B · dS)S165. 165((ˆn · ∇)E + ˆn × (∇ × E) − ˆn(∇ · E)) i == n j E i,j + ε ijk n j ε klm E m,l − n i E j,j == n j E i,j + n j E j,i − n j E i,j − n i E j,j == n j E j,i − n i E j,j = ε mlk ε mji n l E j,kNu kan Stokes’ sats användas, men eftersom en sluten yta saknar randkurva, blirresultatet noll.

91166. 166 T ij = µ 0 (H i H j − δ ij H 2 /2)167. 167a) Nej, ty om T ik ≠ T ki i K så är T ′ik ≠ T ′ ki i alla K′ .b) Nej, ty SpT ↔ = 3, men SpT ↔′ = 0.c) Nej, samma argument som i a).168. 168a) F i är kontraktionen av T ij = m(ω 2 δ ij − ω i ω j ) och x j .b) Varje vektor i xy-planet är egenvektor med egenvärde mω 2 . Varje vektorparallell med e z är egenvektor med egenvärde noll. Detta gäller med ω =(0, 0, ω).169. 169a) M ij = (3x i x j − r 2 δ ij )/r 5b) λ 1,2 = −1/r 3 , λ 3 = 2/r 3 , e 3 ‖ r170. 170a) F i = A ij v j , A ij = eε ijk B kb) λ 1,2 = ±ieB, λ 3 = 0, e 3 ‖ B171. 171∫∫∫ ∫∫∫F i = ρE i dV = ε 0 E j,j E i dV =VV∫∫∫= ε 0 ((E j E i ) ,j − E j E i,j )dV =V= {E i = −φ ,i dvs. E i,j = −φ ,ij = −φ ,ji = E j,i } =∫∫∫= ε 0 ((E j E i ) ,j − 1V2 (E jE j ) ,i )dV = {Gauss’ sats} =∫∫= ○ ε 0 (E k E i − 1 2 δ ikE j E j )dS kSD i = ε 0 E i

92172. 172∫∫∫(A div A − A × rotA) i dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − ε ijk A j ε klm A m,l )dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − (δ il δ jm − δ im δ jl )A j A m,l )dV =V∫∫∫= e i (A i A j,j − A j A j,i + A j A i,j )dV =V∫∫∫= e i (A i A j − 1V 2 δ ijA k A k ) ,j dV =∫∫= e i ○ (A i A j − 1S 2 δ ijA k A k )dS j =∫∫= e i ○ T ij dS jSFör A = E finner vi att medT ij = E i E j − 1 2 δ ijE k E kgäller∫∫∫∫∫1ρ(r)E i (r)dV = ○ T ij dS jV ε 0 SFör A = B finner vi att medT ij = B i B j − 1 2 δ ijB k B kgäller∫∫∫V∫∫µ 0 (i × B) i dV = ○ T ij dS jS173. 173 Med ∇r = e r får manGivna värden insatta gerφ = 3(m 1 · e r )(m 2 · e r ) − m 1 · m 2r 3φ = 5 |m 1 ||m 2 |4 r 3174. 174 Kan utföras på ett flertal sätt, t.ex.:(∇ × m × r )r 3 =(∇ 1 )r 3 × (m × r) + 1 ∇ × (m × r) =r3 = − 3rr 5 × (m × r) + 1 (m(∇ · r) − (m · ∇)r) =r3 = − 3 r 5 (mr2 − r(m · r)) + 1 (3m − m) =r3 3r(m · r)=r 5 − m r 3

93varavB = µ 0 3r(m · r) − mr 24π r 5Viktigt alternativ: Välj e z ‖ m ⇒ m = me zMed sfäriska koordinater:A =rotA =µ 0m sin θ4π r 2 e ϕµ (0m 2 cosθ4π r 3 e r + sin θ )r 3 e θ175. 175a)dVds = ∇V · ŝ = 2b)i riktningen 2e r − e θ .( ) dV= |∇V | = √ 10dsmax176. 176 Enligt Gauss’ sats gäller∫∫ ∫∫∫○ E · dS =Alltså ärMenAlltsåSVdivEdV = 1 ε 0∫∫∫Vρ(r)dV = 1 ε 0Q∫∫Q = ε 0 ○ E · dS = ε 0ρ 0 a 2 ( )x2S ε 0 a∫∫S○ a 2 + y2b 2 + z2c 2 dS∫∫○S∫∫x 2 dS = ○S= 1 ∫∫3 ○∫∫y 2 dS = ○ z 2 dS =S(x 2 + y 2 + z 2 )dS = 1 ∫∫3 a2 ○ dS =S= 4πa43Q = ρ 04πa 33(1 + a2b 2 + a2c 2 )S

94177. 177∇ · (ω × r) = r · (∇ × ω) − ω · (∇ × r) = 0 + 0∇ × (ω × r) = ω(∇ · r) − (ω · ∇)r = 3ω − ω = 2ω∇ · a = ∇ · ( ˙ω × r) + ∇ · (ω × (ω × r)) == 0 + ∇ · (ω(ω · r) − ω 2 r) == ω · ∇(ω · r) − ω 2 ∇ · r = ω · ω − 3ω 2 = −2ω 2∇ × a = ∇ × (ω(ω · r) − ω 2 r) = ∇(ω · r) × ω − ω 2 ∇ × r == ω × ω + 0 = 0178. 178 Eftersomi = 1 µ 0∇ × Bhar vii × B = 1 (∇ × Ḅ) × B = 1 ((B · ∇)Ḅ − ∇(Ḅ · B)) =µ 0 µ 0= 1 ( )) 1((B · ∇)B − ∇µ 0 2 B · BAlltså ärf = 1 µ 0(B · ∇)B − ∇(p + 12µ 0B 2 )179. 179( (p ∂divF =r 2 r 2 sin θ 2 cosθ )sin θ ∂r r 3 + ∂ (r sin θ sin θ ))∂θ r 3 == −p 2 cosθr 4 + p 2 cosθr 4 = 0e∣ r re θ r sin θ e ϕ∣rotF =1r 2 sin θ∣∂∂r2 cosθr 3∂∂θ∂∂ϕsin θr 2 0= (0, 0, 0)∣Kommentar: F = gradφ 1 + gradφ 2 där φ 1 och φ 2 är potentialer från plus- ochminusladdning, ger1) rotF = 0 ty rotgradφ = 02) ∇ · F = 0 ty ∇ 2 φ 1 = ∇ 2 φ 2 = 0180. 180

95a) (2xy − y − 2z, −y 2 , 2y)b) (−6xy, xz, 2x 2 y − y 3 )c) (−yz − z 2 , 2x 2 − y 2 , 0)d) (2, 2, 2x)181. 181 Sätt A = gradφ.div(φrotB) = gradφ · rotB + φdiv rotB == gradφ · rotB∫∫∫∫∫∫∫A · rotB dV = ○ φrotB · ˆn dS = φ S ○ rotB · ˆn dS =VSS∫∫∫= φ S div rotB dV = 0V182. 182 Lägg z-axeln parallellt med a och inför sfäriska koordinater:Fältet är singulärt i origo.A = grad a cosθr 2A = grad a cosθr 2= −2a cosθr 3divA = 0 då r ≠ 0e r − a sin θr 3 e θFlödet ut genom kuben = flödet ut genom en sfär kring origo.∫∫○ A · e r dS = − 2a ∫ πR 2π cosθ sin θ dθ = 0r=R0183. 183 Bilda D(r) ≡ A(r) − B(r). Vi vet attrotD = 0 ⇒ D = gradφVidare gällerdivD = div gradφ = 0 (1)På S gällerD · ˆn = 0 dvs. gradφ · ˆn = 0 (2)(1) och (2) leder till att φ = C, dvs.D ≡ 0 i V

96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = (−∇ × (ψ∇φ) + ψ∇ × ∇φ) · dSSSMen ∇ × ∇φ = 0 och enligt Stokes’ sats är∫∫∮∇ × (ψ∇φ) · dS = ψ∇φ · drSOm nu C är en ekvipotentialkurva till φ så gäller där ∇φ ⊥ dr eller ∇φ · dr = 0.Alltså∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = 0SC185. 185∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · A = (n + 1)ρ n−1∇(∇ · A) = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ∇ × A = 0Detta geroch ekvationen blirdvs.∇ 2 A = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ(n 2 − 1 − m)ρ n−2 = 0n = ± √ 1 + m186. 186a)UrerhållsdivF = 1 r 2 ddr r2 f(r) = 0 ger f = C r 2∫∫C○S r 2e r · dS = QC = Q 4πb)∫CF · dr = Q 4π∫Cr · drr 3= Q 4π∫ r1Oberoende av vägen (rotF = 0 för |r| ≠ 0). Man får∫r 0= a √ 0 + 16 + 0 = 4ar 0drr 2r 1 = a √ 0 + 16 + 9 = 5aF · dr = Q (− 1C 4π 5a + 1 )= Q4a 80πa

97187. 187 |a| = ω 2√ 1 + cos 4 ωt188. 188 ∫∫∫På S ärVidare ärVi har alltsåV∫∫∫∫∫A · rotB dV = ○ (B × A) · dS + B · rotAdVSVB = 0 + a 2 r ⇒ B × A = 0 på S( ) 1 1rotA = ∇r 2 + a 2 × r +r 2 + a 2 ∇ × r = 0 + 0∫∫∫VA · rotB dV = 0189. 189 Vi beräknar integralens komponent i e i -riktningen (i = 1, 2, 3):∮ ∮e i · · · · = e i · (a × r) × dr =CC∮= e i × (a × r) · dr = {enl. Stokes’ sats} =C∫∫= rot(e i × (a × r)) · dSS∇ × (e i × (a × ṛ)) = (∇ · (a × ṛ))e i − (e i · ∇)(a × ṛ) == −(a · (∇ × ṛ) )e i − a × (e i · ∇)ṛ} {{ } } {{ }=0=e∮ ∫∫∫∫i⇒ e i · · · · = − (a × e i ) · dS = e i · a × dSCSSDen sökta integralen är således∫∫ ∫∫a × dS = ±SSa × b b× bdS = ±a πbˆn = ± b b190. 190 Enligt Gauss’ universalsats har vi:∫∫∫∫∫○ φF × dS = − rot(φF)dV =SV∫∫∫∫∫∫= − (∇φ × F)dV −V∫∫∫= φ∇ 1V r dV =∫∫∫ (= ∇ φ 1 ) ∫∫∫dV −rVVVφ e rr 2 dV =1r ∇φdV

98Här har vi utnyttjat att∇φ ‖ F och rotF = e rr 2 = − grad 1 rEnligt en annan variant av Gauss’ sats är∫∫∫ (∇ φ 1 ) ∫∫dV = ○ φ 1 r r dSoch vi har∫∫○SV∫∫φF × dS = ○ φ 1 ∫∫∫S r dS − VS1r ∇φdV191. 191a) Ur A(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) får man genom derivering(x ∂A∂x + y∂A ∂y + z ∂A )= nλ n−1 A(x, y, z)∂zI limes då λ → 1 gäller därförb) Vi behöver(r · ∇)A = nA∇(r · A) = (r · ∇)A + (A · ∇)r + r × (∇ × A) + A × (∇ × r) =och får nu= nA + A + r × (∇ × A) + 0∇ · (r(r · A)) = (∇ · r)(r · A) + r · ∇(r · A) == 3(r · A) + (n + 1)(r · A) + r · (r × (∇ × A)) == (n + 4)(r · A)192. 192∫∫e i · ○S∫∫· · · = ○=e i · e rS r 3 e r · ˆn dS = {Gauss’ sats} =∫∫∫∇ · (e i · e r )e rr 3 dVV∇ · (e i · r)e rr 4 = e rr 4 · ∇(e i · r) +(e i · r) ∇ · er} {{ }} {{r 4}=e i(= e i · − e ) ( )r1r 4 = e i · grad3r 3e i bryts ut ur integralen och då i = x, y och z inses att∫∫ ∫∫∫ ( ) 1○ · · · = grad3r 3 dVSV=−2/r 5 =

99193. 193ty∫∫∫Vdiv(φB)dV ==∫∫∫∫∫∫VV∫∫∫∇φ · B dV + φdivBdV =VE · B dVdivB = div rotA = 0 (1)Gauss’ sats ger å andra sidan∫∫∫∫∫ ∫∫div(φB)dV = ○ φB · dS = φ ○ B · dS =VS∫∫∫S= φ divBdV = 0Venligt (1). Alltså∫∫∫VE · B dV = 0194. 194∇ 2 A = graddivA − rotrotA == d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρA ρ) e ρ + d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρA ϕ) e ϕ ++ 1 (dρ dA )ze z = 0ρ dρ dρ( )d 1 ddρ ρ dρ (ρA ρ) = 0 ⇒ 1 dρ dρ (ρA ρ) = a ⇒⇒ d dρ (ρA ρ) = aρ ⇒ ρA ρ = c 1 ρ 2 + c 2 ⇒P.s.s. erhålls⇒ A ρ = c 1 ρ + c 2ρA ϕ = c 3 ρ + c 4ρ(dρ dA )z= 0 ⇒ ρ dA zdρ dρdρ = c 5⇒Dvs.⇒ A z = c 5 lnρ + c 6A = (c 1 ρ + c 2ρ )e ρ + (c 3 ρ + c 4ρ )e ϕ + (c 5 lnρ + c 6 )e z195. 195

100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫= {ˆn = −e r } = −∫ π/2 ∫ π/2Se θ dS == − (cos θ cosϕ, cosθ sin ϕ, − sinθ)sin θ dθ dϕ =0 0=(− 1 )2 , −1 2 , π28b) Låt S xy , S xz och S yz vara sidoytorna i xy-, xz- resp. yz-planet.∫∫○ e ϕ × ˆn dS =−S+S xy+S xz+S yz∫∫∫∫∫∫1= − ∇ × e ϕ dV = −VV ρ e z dV =∫∫∫1= −r sin θ e zr 2 sin θ dr dθ dϕ == −∫ 10∫ π/2∫ π/2r dr dθ dϕe z = − π20 0 8 e z∫∫ ∫∫· · · =S xz· · · = 0S yzeftersom ˆn ‖ e ϕ på S xz och S yz .∫∫e ϕ × ˆn dSS xy=∫∫e ϕ × e θ dS = −S xy∫∫e r dS =S xy∫∫S∫ 1 ∫ π/2= − (cosϕ, sin ϕ, 0)r dr dϕ =0 0=(− 1 )2 , −1 2 , 0∫∫ ∫∫· · · = − · · · +−S+S xy· · · =S xy(− 1 )2 , −1 2 , π28196. 196 rotA = 0 på S, A = 0 på C∮∫∫0 = ((e · r)A) · dr = {Stokes’ sats} = rot((e · r)A) · dS =CS∫∫= (grad(e · r) ×A + (e · r)rotAS } {{ } } {{ }) · ˆn dS =e=0∫∫∫∫= ˆn · (e × A)dS = −e · (ˆn × A)dSSS

101e = e x ,e y ,e z⇒∫∫S(A × ˆn)dS = 0197. 197(rotB) 2 = (rotA) 2 + (rotD) 2 + 2 rotA · rotD (1)div(D × rotA) = rotD · rotA − DrotrotA (2)rotrotA = graddivA − ∇ 2 A = −∇ 2 A = 0 (3)D × ˆn = 0 ty A × ˆn = B × ˆn = C (4)∫∫∫=====V∫∫∫(rotB) 2 dV − (rotA) 2 dV = {(1)} =V∫∫∫((rotD) 2 + 2 rotA · rotD)dV = {(2)} =V∫∫∫((rotD) 2 + 2 div(D × rotA) + 2D · rotrotA)dV = {(3)} =V∫∫∫∫∫(rotD) 2 dV + 2 ○ (D × rotA) · ˆn dS =VS∫∫∫∫∫(rotD) 2 dV + 2 ○ (ˆn × D) · rotAdS = {(4)} =VS∫∫∫(rotD) 2 dV ≥ 0V198. 198rotA = αA ⇒ α 2 A = rotrotADessutom ärrotrotA = graddivA − ∇ 2 Avilket medför att( ) 1∇ 2 A + rotrotA = (∇ 2 + α 2 )A = graddivA = gradα div rotA = 0199. 199a)∇ 2 ∇ 2 u = 1 (dρ d ( ( 1 dρ du )))= 0ρ dρ dρ ρ dρ dρ∇ 2 u = 1 (dρ du )= a lnρ + bρ dρ dρu= Aρ 2 lnρ + Bρ 2 + C lnρ + D

102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (dr 2 dr1r 2 ddrr 2 d ( 1 ddr r 2 dr(r 2 du )= a dr r + bAr 2 + Br + C r + D(r 2 du )))= 0dr200. 200 Sätt B = rotC.∫∫∫A · rotC dV =V∫∫∫= (div(C × A) + C · rotA} {{ })dV = {enl. Gauss’ sats} =V=0∫∫∫∫= ○ (C × A) · ˆn dS = ○ (ˆn × C) · A dS = 0SS201. 201a) Man får∇ · ∇φ = 1 rd 2dr 2 rφ = 1 d 2r dr 2 e−λr = λ2r e−λrför r ≠ 0. För r = 0 är ∇ 2 φ ej definierad. Utesluts origo genom att betraktavolymen mellan r = R och r = ε ger Gauss’ sats:∫∫ ∫∫∫∫∫ 1○ ∇φ · dS + ∇φ · dS = λ 2S εr e−λr dVVi får alltsåI(R) =Sλ 2 4π−∫ Rε∫ 2π ∫ π00e −λr r dr −(e −λε − 1 ε 2 − λ )e r · (−e r ε 2 )sin θ dθ dϕ =ε= 4π(e −λε (1 + ελ) − e −λR (1 + Rλ) − e −λε (1 + λε))= −4πe −λR (1 + Rλ)b)( 1∇φ = −r 2 + λ )e −λr e rrdS =e r R 2 sin θ dθ dϕgerI(R) = −(1 + Rλ)e −λR 4π

103Vi noterar attlimR→∞λ≠0I(R) = 0 medan lim = −4πλ→0R