Exempelsamling Vektoranalys

21Sfäriska koordinater98. 98 Låt ψ = − cos θr, A = sin θ2 re 2 ϕ ,där (r, θ, ϕ) är sfäriska koordinater, definierade genom⎧x = r sinθ cosϕ⎪⎨y = r sin θ sinϕ⎪⎩ z = r cosθBeräknaa) ∇ψ.b) ∇ × A.c) ∇ 2 ψ och ∇ × (∇ × A).99. 99 Genom att tillämpa indexräkning på rotrotA kan man få ett uttryck på ∇ 2 A.a) Genomför detta.Använd det erhållna uttrycket för att bestämmab) ∇ 2 e r .c) ∇ 2 e ϕ .Beräkningarna skall utföras i sfäriska koordinater.100. 100 Punkten P ligger på rotationsellipsoiden3r =3 + cosθ .Beräkna vinkeln mellan ellipsoidens normal n P i P och ortsvektorn r P från origotill P som funktion av vinkeln mellan r P och z-axeln.101. 101 Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternap = r 2 sin θ cosϕ.r = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är denmaximala tryckökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.