Exempelsamling Vektoranalys

78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =γ =1 ∫∫φdSR S14πhR137. 137 Lägg origo i punkten r P : R ≡ r − r P .Sätt in φ = T, ψ = 1/R i Greens sats II:(T ∇∫∫∫V 2 1 R − 1 )R ∇2 T dV = ○(T ∇∫∫S−S 1 ∗ εR − 1 )R ∇THär är∇ 2 1 R = 0· ˆndS∇ 2 T∇ 1 RR= − 1 k κ i V ∗= −e RR 2= ε på S ε∫∫= ○S− θe R · ˆnR 2∫∫dS + ○Sˆn = e R på S ε∫∫∫κ⇒kR dV =V ∗∫∫γkR dS + ○T e R · e RS εR 2∫∫dS + ○1S εR∇T · ˆn dS (1)För de båda sista termerna i H.L. finner vi följande med hjälp av medelvärdessatsen:∫∫1ε 2 ○ T dS = 1S εε 2 T(P ′ )4πε 2 → 4πT(P)1ε∫∫S ○ ∇T · ˆn dS = {enl. Gauss’ sats} = 1 ∫∫∫∇ 2 T dV =εε V ε= − 1 ∫∫∫κ dV = − 1 kε V εkε κ(P ′′ ) 4 3 πε3 → 0Således blir (1) i limes då ε → 0:T(P) = 1 ∫∫∫4πkdvs.VκR dV + 14π∫∫S○ θR · ˆnR 3 dS − 14πk∫∫S○a = 14πk , b = 14π , c = − 14πkγR dS138. 138