Exempelsamling Vektoranalys

1783. 83 Bestäm integralen ∮r × dr,Cdär C är ellipsen ⎧⎨ x 2 + y 2 = a 2⎩ z = a + xmed sådan omloppsriktning att projektionen i xy-planet genomlöps moturs,a) genom direkt beräkning.b) genom att använda Stokes’ universalsats.84. 84 Den slutna ytan S är en nivåyta till skalärfältet ψ(x, y, z). Beräkna integralen∫∫∫gradφ × gradψ dVVöver det av S inneslutna området V . Vilka förutsättningar rörande skalärfältenφ och ψ måste man göra?Ledning: Utveckla rot(ψ gradφ).85. 85 Omforma linjeintegralen ∮Cr × (r × dr)till en ytintegral över en yta S, som är inspänd i kurvan C. r = (x, y, z) ärortsvektorn.86. 86 En sluten ledare C, som genomflyts av en elektrisk ström med styrkan I,befinner sig i det homogena magnetfältet B (B = konstant vektor). Kraftmomentetpå ledaren är ∮M = −I r × (B × dr),Cdär r betecknar ortsvektorn.Omforma M till en ytintegral, som skall förenklas så mycket som möjligt. Studerasärskilt specialfallet att C är en cirkel med radien R som ligger i planet r ·ˆn = p.Stokes’ sats skall användas.Ledning: Skalärmultiplicera M med e i (i = x, y, z).87. 87 Bestäm skalärfälten ψ(r) och φ(r) så att ytintegralen∫∫((r · ˆn)gradψ + φˆn)dSblir lika med linjeintegralen ∮grad 1 r × drSC