Exempelsamling Vektoranalys

45Ledning: Studeraomsorgsfullt.∫∫∫Vdiv(φB)dV194. 194 Bestäm den allmänna lösning A till ekvationen∇ 2 A = 0som har rotationssymmetri kring z-axeln samt translationssymmetri m.a.p. förflyttningi z-riktningen.Ledning: Varje vektorfält A som har de ovannämnda symmetriegenskaperna kanskrivasA = A ρ (ρ)e ρ + A ϕ (ρ)e ϕ + A z (ρ)e z .195. 195 Beräkna integralen ∫∫e ϕ × ˆn dS,där S är ytanx 2 + y 2 + z 2 = 1 x, y, z ≥ 0, ˆn · e z ≤ 0a) direkt.b) med hjälp av en integralsats. Låt V vara områdetx 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.S196. 196 Vektorfältet A är virvelfritt på ytan S samt antar värdet noll på S:s randkurvaC. Visa att ∫∫A × ˆn dS = 0.Ledning: Tillämpa Stokes’ sats på vektorfältetS(e · r)A,där e i tur och ordning sätts lika med e x , e y och e z .197. 197 Det två gånger kontinuerligt deriverbara, källfria vektorfältet A satisfierarLaplaces ekvation i V och på V :s begränsningsyta S gäller att A × ˆn = C, därC är ett givet vektorfält som är definierat på S.Visa att för varje källfritt vektorfält B som är kontinuerligt deriverbart tvågånger i V samt satisfierar randvillkoret B × ˆn = C på S gäller att∫∫∫∫∫∫(rotB) 2 dV ≥ (rotA) 2 dV.VLedning: Sätt B = A + D och använd formeln ∇ · (A × B) = . . .V