Exempelsamling Vektoranalys

31Kroklinjiga koordinater140. 140 Beräkna skalfaktorer och enhetsvektorer för följande koordinattransformation,och kontrollera att basvektorerna är ortogonala:x = u 1 + u 2 + 7u 3 , y = u 1 − 3u 2 + u 3 , z = 2u 1 + u 2 − 4u 3 .141. 141 Beräkna volymsintegralen∫∫∫Vφ(x, y, z)dVgenom att göra det föreskrivna variabelbytet:a) φ(x, y, z) = x 2 + yz och V : ellipsoiden (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 ≤ 1.Variabelbyte: x = au 1 , y = bu 2 , z = cu 3 .b) φ(x, y, z) = (x + yz) och V : tetraedern som begränsas av koordinatplanenoch planet x+y+z = 6. Variabelbyte: x = 6−2u 2 , y = 2u 2 −2u 1 , z = 2u 3 .142. 142a) Bestäm de normerade basvektorerna i det kroklinjiga koordinatsystemet⎧u ⎪⎨ 1 = x 2 − y 2u 2 = xy .⎪⎩ u 3 = zoch visa att de är ortogonala.b) Uttryck divergensen av ett vektorfält A = A(u 1 , u 2 , u 3 ) i derivator av fältetskomponenter längs dessa basvektorer. (Svaret skall endast innehålla koordinaternau 1 , u 2 och u 3 .)143. 143 Paraboliska koordinater u, v, ϕ, definieras av ekvationerna:⎧x = uv cosϕ⎪⎨y = uv sin ϕ⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )a) Bestäm u, v, ϕ som funktioner av de kartesiska koordinaterna x, y, z. Angevariationsområdena för u, v, ϕ.b) Ange ekvationerna för koordinatytor och koordinatlinjer samt skissera derasutseende.c) Visa att de paraboliska koordinaterna är ortogonala.