Exempelsamling Vektoranalys

9a) A(x, y, z) = rot(e xy , arctanz, (x + y + z) 7/2 z 2 ) och S : enhetssfären.b) A(x, y, z) = (x, 2y, 3z) och S : enhetssfärenc) A(x, y, z) = (4x, −2y, z) och S : cylindern x 2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 6d) A(x, y, z) = (x(y + z 2 ), 0, 0) och S : randen av kuben |x|, |y|, |z| ≤ 1e) A(x, y, z) = (xz 2 , x 2 y, xyz) och S : sfären (x − 1) 2 + (y − 2) 2 + (z + 3) 2 = 445. 45 Verifiera att Gauss sats gäller för vektorfältet A = (xz, 2yz, 3xy) och volymenV : cylindern x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3.46. 46 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet i ex. 34.47. 47 Beräkna ∫∫där fältet A ärSA · dS,A = (x 3 , y 3 , z 3 )och S är ytan som omslutar halvsklotet⎧⎨ x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2⎩x + y ≥ 0.48. 48 Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetA = (xz 2 , 2xy, z 2 + 2)ut ur den cylindriska burk som avgränsas av ytornax 2 + y 2 = 1, z = 1, z = −1.Kontrollera resultatet genom att beräkna flödet direkt.49. 49 Beräkna med hjälp av Gauss’ sats flödet av vektorfältetA = (2xy, y 3 − xy, z 2 )ut ur den ändliga volym som begränsas av ytornay 2 + 2y = x 2 + z 2 och y = 4.