Exempelsamling Vektoranalys

39b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.170. 170 KraftenF = ev × Bsom verkar på en laddad partikel i ett magnetfält B utgör en vektorvärd funktionav partikelns hastighet v.a) Visa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion.b) Visa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde = 0.Bestäm egenvektorn, som svarar mot det senare.171. 171 I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Denelektriska kraften på volymselementet dV ärρ(r)E(r)dV,där E(r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att⎧⎨⎩där φ är den elektriska potentialen.divE = 1 ε 0ρE = − gradφVisa att totala kraften på en delvolym V kan skrivas∫∫F = e i ○ T ik n k dS,därST ik = D i E k − 1 2 D jE j δ ik .172. 172 Använd tensormetoder för att skriva∫∫∫(A divA − A × rotA)dVsom en ytintegral över den yta S som omsluter V .användas dels påVResultatet skall sedana) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A = E där E lyder⎧⎪⎨ rotE = 0⎪⎩ divE = ρ(r)ε 0