Exempelsamling Vektoranalys

15Integralsatser72. 72 En kropp med den glatta begränsningsytan S har volymen V . Beräkna integralen12∫∫S○ dS × (a × r),där r är ortsvektorn och a en konstant vektor.73. 73 Omforma linjeintegralen ∮r × drtill en ytintegral över en yta S, vilken har C som sin randkurva.Hur skall S:s och C:s orienteringar vara relaterade?C74. 74 Visa att ∫∫∫V∫∫∫r × rotAdV = 2 A dVVom A = 0 på randytan S till integrationsområdet V .75. 75 Beräkna integralen ∫∫∫VA · B dV.Vektorfältet A har en skalär potential i området V och V :s begränsningsyta ären ekvipotentialyta för denna potential. Vektorfältet B är källfritt i V .Ledning: Integrera formeln div(φB) = . . . över V .76. 76 Beräkna ytintegralen∫∫○ (a × r) × dS,Sdär a är en konstant vektor, r är ortsvektorn och S är ytan av en enhetssfär medcentrum i punkten b.77. 77 Beräkna integralen ∮(a · r)dr,Cdär C är en cirkel med radien 1, vilken ligger i planet r · b = 0. a och b ärkonstanta vektorer och r är ortsvektorn.