Exempelsamling Vektoranalys

33146. 146 De kroklinjiga koordinaterna u, v och w är definierade genom⎧x = a coshu cosv⎪⎨y = a sinhusinv .⎪⎩ z = wBestäm basvektorer och skalfaktorer samt sök den lösning till ekvationen∇ 2 φ = 0som enbart beror av u, och på ellipsernax 225 + y29 = a2och16x 225 + y216 = a29antar värdena 0 och 2 respektive. (u > 0, 0 ≤ v < 2π.)147. 147 Ett kroklinjigt koordinatsystem (ξ, η, ζ) är givet genom⎧ξ ⎪⎨2 = ρ − y − ∞ < ξ < ∞η 2 = ρ + y 0 ≤ η < ∞ .⎪⎩ ζ = zHär är ρ = √ x 2 + y 2 och tecknet på ξ definieras genom x = ξη.a) Bestäm de normerade basvektorerna e ξ , e η och e ζ samt transformationskoefficienternaa ik = e i ′ · e k i ′ = ξ, η, ζ.Är (ξ, η, ζ) ett ortogonalt system?b) Bestäm skalfaktorerna och divA, därA =(1 ξ√ξ2 + η 2 2 (3η2 + ξ 2 )e ξ + η )2 (3ξ2 + η 2 )e η .148. 148 Betrakta de ortogonala kroklinjiga koordinaterna⎧u = r(1 − cosθ)⎪⎨v = r(1 + cosθ) .⎪⎩ w = ϕHur ser gradienten av ett fält φ och ortsvektorn r ut i det nya basvektorsystemete u , e v , e w ?149. 149