Exempelsamling Vektoranalys

13Indexräkning63. 63 Låt f = r 3 , g = 1/r 2 , A = (x 2 , y 2 , z 2 ) och B = (z, y, x). Förenkla följandeuttryck, dels genom att använda direkt beräkning, dels genom indexräkning:a) grad(fg)b) div(fA)c) rot(fA)d) grad(A · B)e) div(A × B)f) rot(A × B)g) (A · ∇)Bh) (A × ∇) × B64. 64 Använd indexräkning för att ställa upp formlerna:a) rot(φA) = . . .b) rot(A × B) = . . .c) div rotA = . . .d) (B × C) · rotA = . . .e) (B · ∇)(φA) = . . .f) (B · ∇)(A × B) = . . .g) A × (∇ × A) = . . .h) (A × ∇) × A = . . .65. 65 Visa atta) gradφ(r) = dφ rdr rb) grad(a · r) = ac) divr = 3d) div(φ(r)r) = 3φ(r) + r dφdre) div(a × r) = 0f) div((r × a) × r) = −2a · rg) rot(φ(r)r) = 0h) rot((a × r) × b) = −b × ar = (x, y, z) är ortsvektorn, r = √ x 2 + y 2 + z 2 är ortsvektorns belopp, a och bär konstanta vektorer.