Exempelsamling Vektoranalys

29133. 133 En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialenV 0 . Potentialen V (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplacesekvation i den omgivande rymden.Bestäm V (r) samt e = − gradV .134. 134 Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G = − gradφ, där potentialfunktionenφ satisfierar ekvationen:∇ 2 φ = γρ,där γ är en konstant och ρ är masstätheten.Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär(radie R) med konstant masstäthet ρ 0 .135. 135 Skalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i V , och på V :s begränsningsytaS gällerφ = f,där f är en given funktion. Visa att för varje funktion ψ sådan attgäller att∫∫∫Vψ = f på S∫∫∫(gradψ) 2 dV ≥V(gradφ) 2 dV.φ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger.136. 136 Skalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i helarummet. Visa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas∫∫φ(0, −) = γ φdS,där S är cylinderytanBestäm konstanten γ.ρ = R, −h ≤ z ≤ h.Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över detområde som begränsas av ytornaρ = R, ρ = ε, z = h, z = −h.S137. 137 Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp V satisfierarPoissons ekvation∇ 2 T = − 1 k κ(r).