Exempelsamling Vektoranalys

19Cylinderkoordinater89. 89 Beräkna vinkeln mellan ytornaρ = cosϕ och z = ρ sinϕi punktenρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = 1 2 .Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater.90. 90 Temperaturfördelningen i en cylinder beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternaT = ρ 2 + z 2 cos 2 ϕ.ρ = 2, ϕ = π 4 , z = 1.Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e ρ − 2e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?91. 91 Ett vektorfält har potentialen( aρ + bρ )sin ϕ,där a och b är konstanter. Beräkna vektorfältets flöde ut genom en sluten yta,som ej skärs av z-axeln.92. 92 Visa att vektorfältetA = z 2 sin 2 ϕe ρ + (z 2 sin 2ϕ − z ρ sin ϕ)e ϕ + (cosϕ + 2ρz sin 2 ϕ)e zhar en skalär potential φ(ρ, ϕ, z).Beräkna sedan linjeintegralen∫ QPA · dr,där P och Q har koordinaterna:⎧⎪⎨ ρ P = 1, ϕ P = π 6 , z P = 1⎪⎩ρ Q = 5, ϕ Q = π 2 ,z Q = −1