Exempelsamling Vektoranalys

11a) A(x, y, z) = (x + 2y, y − 3z, z − x) och C : enhetscirkeln i xy-planet, orienteradmoturs.b) A(x, y, z) = xye y och C : triangeln med hörn i punkterna (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),orienterad moturs sett mot origo.c) A(x, y, z) = (0, x 2 , z 2 ) och C : gränskurvan till delen av ytan x 2 +y 3 +z 4 = 1som ligger i första oktanten, orienterad moturs sett mot origo.56. 56 Verifiera att Stokes sats gäller för vektorfältet A = (z, x 2 , y 3 ) och ytan S: detre trianglarna i koordinatplanen med hörn i (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),orienterad moturs sett mot origo.57. 57 Beräkna linjeintegralen av vektorfältetlängs den slutna kurvanA = (y + 2x, x 2 + z, y)r = (cosu, sinu, f(u)),u : 0 → 2πsom går ett varv runt cylindern x 2 +y 2 = 1 men för övrigt är godtycklig, f(0) =f(2π).a) direkt.b) med hjälp av Stokes’ sats.58. 58 Beräkna medelst Stokes’ sats cirkulationen av vektorfältetlängs skärningslinjen C mellan ytornaA = (yz + y − z, xz + 5x, xy + 2y)x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + y = 1.C är orienterad så att dess positiva riktning i punkten (1, 0, 0) ges av vektorn(0, 0, 1).59. 59 Beräkna med hjälp av Stokes’ sats linjeintegralen av vektorfältetA = (xz, xy 2 + 2z, xy + z)längs kurvan C som sammansätts av delarnaC 1 : x = 0, y 2 + z 2 = 1, z > 0, y : −1 → 1C 2 : z = 0, x + y = 1, y : 1 → 0C 3 : z = 0, x − y = 1, y : 0 → −1