Exempelsamling Vektoranalys

5Linjeintegraler24. 24 Beräkna ∮för följande vektorfält A och kurvor CCA(r) · dra) A(x, y) = ye x + xe y och C: enhetscirkeln i moturs riktning.b) A(x, y) = −ye x + xe y och C: enhetscirkeln i moturs riktning.c) A(x, y) = x 2 ye x + (x 3 + y 3 )e y och C: enhetscirkeln i moturs riktning.d) A(x, y) = 3xye x − ye y och C: triangeln med hörn i (0, 0), (1, 1), (0, 1) imoturs riktning.e) A(x, y) = 3(x − y)e x + x 5 e y och C: triangeln i (d).25. 25 Utnyttja att vektorfältet A har en potential för att beräkna∫ baA · dr.a) A(x, y) = (3x 2 y 2 , 2x 3 y), a = (1, 2),b = (3, −1).b) A(x, y) = e xy (1 + xy, x 2 ), a = (−1, 0),b = (0, 999).26. 26 Beräkna linjeintegralen ∫därCA(r) · dr,a) A(x, y, z) = (x, y, z), C : r(t) = (t 3 , t 2 , t) från t = 0 till t = 1.b) A(x, y, z) = (x 2 , y 2 , z 2 ), C : r(t) = (sint, cost, 2t) från t = 0 till t = π.27. 27 Visa att A(x, y, z) = (y/z, x/z, −xy/z 2 ) har en potential och använd dennaför att beräkna∫A(r) · dr,Cdär C är en styckvis slät kurva från r 1 = (1, 1, 1) till r 2 = (2, −1, 3), som intepasserar ytan z = 0.28. 28 Undersök om följande vektorfält har en potential:a) A = (2xyz, x 2 z + 1, x 2 y).b) B = (x 2 z − 2, yz, x + z).