Exempelsamling Vektoranalys

34a) Transformera Laplaces ekvation till paraboliska koordinater u, v, ϕ.b) Bestäm den allmänna lösningen på formen φ = φ(u).c) Referera denna lösning till sfäriska koordinater samt verifiera att den satisfierarLaplaces ekvation i sfäriska koordinater.150. 150 Ett skalärfält φ, som enbart beror avu 2 = r + z = √ x 2 + y 2 + z 2 + zsatisfierar Laplaces ekvation ∇ 2 φ = 0 jämte randvillkoren⎧x = 3a ⎪⎨φ = 0 för y = 0 och φ = φ 0 för⎪⎩ z = 4a⎧⎪⎨⎪⎩x = 0y = 0z = aFör att bestämma φ används lämpligen koordinaterna u, v, ϕ definierade ur⎧⎧x = uv cosϕ 0 ≤ u < ∞⎪⎨⎪⎨y = uv sinϕ 0 ≤ v < ∞ .⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )⎪⎩ 0 ≤ ϕ < 2πVisa att dessa är ortogonala, bestäm skalfaktorerna och uppställ sedan ekvationenför φ samt bestäm φ.Tensorräkning151. 151a) Visa att transformationen x ′ i = L ikx k med⎛− √ 1 02 1(L ik ) =2⎜⎝ 12är en rotation.1√2− 1 √2121√212b) Bestäm komponenterna Tik ′ om⎛ ⎞0 1 0(T ik ) = ⎜ 1 0 1 ⎟⎝ ⎠ .0 1 0⎞⎟⎠