KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING

{Tunnling genom rektangulär potentialbarriär: V (x) =V0 |x|aTransmissionssannolikhet T = |Ψ transmitterad /Ψ infallande /| 2Reflektionssannolikhet R = |Ψ reflekterad /Ψ infallande /| 2T + R = 1)E > V 0 : T = 1/(1 + (k2 −q 2 ) 2sin 2 2qa , k 2 = 2mE/ 2 , q 2 = 2m(E − V 0 )/ 24k 2 q 2)E < V 0 : T = 1/(1 + (k2 +q 2 ) 24k 2 qsinh 2 2qa2, k 2 = 2mE/ 2 , q 2 = 2m(V 0 − E)/ 2För tunnling genom en barriär med bredden d = 2a i gränsen för en bred barriär, qd ≫ 1, blir1T =1+ (k2 +q 2 ) 2sinh 2 → 16k2 q 2(kqd2 +q 2 )e −2qd ∼ e −2qd24k 2 q 2} {{ }→e 2qd /4Denna formel ger den teoretiska basen för STM metoden: Scanning Tunneling Micoscropy. En tunnelströmberor exponentiellt på avståndet mellan en atomärt skarp metallspets och en metallyta. Genomatt mäta tunnelströmmens positionsberoende vid svep med spetsen över ytan möjliggörs en bestämningav atomernas positioner på ytan med atomär upplösning.7 RörelsemängdsmomentSchrödingerekvationen i tre dimensioner är HΨ = (T + V )Ψ = EΨ(r)Rörelsemängdsoperatorn: p = −i∇Kinetiska energioperatorn: T = p22m = − 22m ∇2 . Potentiella energioperatorn: V = V (r)Studera två partiklar i r 1 , r 2 med massor m 1 , m 2 bundna av en centralpotential:H = p2 12m 1+ p2 12m 1+ V (|r 2 − r 1 |) = H CM + H rel , H CM = P 22M , H rel = p22µ + V (r),där R = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/M, M = m 1 + m 2 , P = p 1 + p 2 är masscentrumkoordinater, och r = r 2 −r 1 , p = µ(p 2 /m 2 − p 1 /m 1 ) är relativa kooordinater, samt µ är reducerade massan: µ = m 1 m 2 /M.Masscentrumrörelsen är är samma som rörelsen hos en fri partikel med massan M och har plana vågore iP·R/ som egentillstånd med konserverad rörelsemängd P och energi E = P22M. Sök stationära tillståndhos den relativa rörelsen: HΨ = − 22µ ∇2 Ψ + V (r)Ψ = EΨ(r).Rörelsemängdsmomentoperatorer: L = r × p , L 2 = L 2 x + L 2 y + L( )2 zL x = yp z − zp y = −i y ∂ ∂z − z ∂∂y, L y = −i ( z ∂∂x − x ) ( )∂∂z , Lz = −i x ∂∂y − y ∂∂xKommutatorer: [L x , L y ] = iL z (cykl. perm.), [L 2 , L x ] = [L 2 , L y ] = [L 2 , L z ] = 0.⇒ L 2 , L z har gemensamma egenfunktioner. L x , L y , L z saknar gemensamma egenfunktioner.Laplace operator i sfäriska koordinater: ∇ 2 = 1r 2( )∂∂r r2 ∂∂r +1r 2 sin θRörelsemängdsmomentoperatorer i sfäriska koordinater: L z = −i ∂( )∂∂θ sin θ∂∂θ +1r 2 sin 2 θ[∂φ , L2 = − 2 1sin θ( )SE i sfäriska koordinater: HΨ = − 2 ∂2µr 2 ∂r r2 ∂∂r Ψ +L 22µrΨ + V (r)Ψ) = EΨ(r, θ, φ)2( )Separera variabler Ψ(r) = R(r)Y (θ, φ) ⇒ 1 dR dr r2 dRdr −2µ(E − V (r)) = l(l + 1) = 1 L 2 Y2 2 Y⇒ L 2 Y = l(l + 1) 2 Y (θ, φ) Separera mera: Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)Egenfunktioner till L z : L z Φ m (φ) = mΦ m (φ) , Φ m (φ) = e imφ / √ 2πGemensamma egenfunktioner till L 2 , L z i Dirac-notation:L 2 |lm〉 = l(l + 1) 2 | lm〉, L z |lm〉 = m|lm〉.∂ 2∂φ 2( )∂∂θ sin θ∂∂θ +1sin 2 θKvanttalen l, m är heltal. l kallas rörelsemängdsmomentkvanttalet och m magnetiska kvanttalet.Möjliga värden: m = −l, −(l − 1), ..., 0, ..., (l − 1), l = 0, 1, 2, 3, ..., ∞I positionsrepresentationen: L 2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1) 2 Ylm (θ, φ) , L z Ylm (θ, φ) = mYl m (θ, φ)kallas sfäriska funktioner och finns tabellerade.Y ml]∂ 2∂φ 25