Exempelsamling Vektoranalys

121360. Beräkna integralen ∮A · dr,CdärA = e x (x 2 − a(y + z)) + e y (y 2 − az) + e z (z 2 − a(x + y))och C är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern⎧⎨ (x − a) 2 + y 2 = a 2och sfären⎩ z ≥ 0x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R 2 > 4a 2 ).Omloppsriktningen är sådan att vid x = 0 är kurvans tangentvektor parallellmed −e y .Indexräkning63. Låt f = r 3 , g = 1/r 2 , A = (x 2 , y 2 , z 2 ) och B = (z, y, x). Förenkla följandeuttryck, dels genom att använda direkt beräkning, dels genom indexräkning:a) grad(fg)b) div(fA)c) rot(fA)d) grad(A · B)e) div(A × B)f) rot(A × B)g) (A · ∇)Bh) (A × ∇) × B61. Vektorfältet A ges avA = (x 2 − y, y 2 − z, z 2 − x)och kurvan C är skärningen mellan ellipsoidenoch koordinatplanenBeräkna integralenx 2a 2 + y2b 2 + z2c 2 = 1x = 0 x ≥ 0 x ≥ 0y ≥ 0 y = 0 y ≥ 0z ≥ 0 z ≥ 0 z = 0∮CA · drom omloppsriktningen är sådan att i xy-planet (r × dr) ‖ e z .62. Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen av vektorfältetA = (yz + 2z, xy − x + z, xy + 5y)längs skärningslinjen C mellan cylindern x 2 + z 2 = 4 och planet x + y = 2.Kurvan C är orienterad så att dess tangentvektor i punkten (2, 0, 0) är (0, 0, 1).64. Använd indexräkning för att ställa upp formlerna:a) rot(φA) = . . .b) rot(A × B) = . . .c) div rotA = . . .d) (B × C) · rotA = . . .e) (B · ∇)(φA) = . . .f) (B · ∇)(A × B) = . . .g) A × (∇ × A) = . . .h) (A × ∇) × A = . . .65. Visa atta) gradφ(r) = dφ rdr rb) grad(a · r) = ac) divr = 3d) div(φ(r)r) = 3φ(r) + r dφdre) div(a × r) = 0f) div((r × a) × r) = −2a · rg) rot(φ(r)r) = 0h) rot((a × r) × b) = −b × ar = (x, y, z) är ortsvektorn, r = √ x 2 + y 2 + z 2 är ortsvektorns belopp, a och bär konstanta vektorer.