Exempelsamling Vektoranalys

9091varavB = µ 0 3r(m · r) − mr 24π r 5Viktigt alternativ: Välj e z ‖ m ⇒ m = me zMed sfäriska koordinater:A =rotA =µ 0m sinθ4π r 2 e ϕµ (0m 2 cosθ4π r 3 e r + sinθ )r 3 e θ177.∇ · (ω × r) = r · (∇ × ω) − ω · (∇ × r) = 0 + 0∇ × (ω × r) = ω(∇ · r) − (ω · ∇)r = 3ω − ω = 2ω∇ · a = ∇ · ( ˙ω × r) + ∇ · (ω × (ω × r)) == 0 + ∇ · (ω(ω · r) − ω 2 r) == ω · ∇(ω · r) − ω 2 ∇ · r = ω · ω − 3ω 2 = −2ω 2∇ × a = ∇ × (ω(ω · r) − ω 2 r) = ∇(ω · r) × ω − ω 2 ∇ × r == ω × ω + 0 = 0175. a)b)i riktningen 2e r − e θ .SdVds = ∇V · ŝ = 2( ) dV= |∇V | = √ 10dsmax176. Enligt Gauss’ sats gäller∫∫ ∫∫∫○ E · dS = divEdV = 1 ∫∫∫ε 0ρ(r)dV = 1 Qε 0Alltså ärMenAlltsåV∫∫Q = ε 0 ○ E · dS = ε 0ρ 0 a 2 ( )x2S ε 0 a∫∫S○ a 2 + y2b 2 + z2c 2 dS∫∫○S∫∫x 2 dS = ○S= 1 ∫∫3 ○∫∫y 2 dS = ○ z 2 dS =SS= 4πa434πa 3Q = ρ 03(x 2 + y 2 + z 2 )dS = 1 ∫∫3 a2 ○ dS =V(1 + a2b 2 + a2c 2 )S178. Eftersom179.har viAlltså äri = 1 µ 0∇ × Bi × B = 1 (∇ × Ḅ) × B = 1 ((B · ∇)Ḅ − ∇(Ḅ · B)) =µ 0 µ 0= 1 ( )) 1((B · ∇)B − ∇µ 0 2 B · Bf = 1 µ 0(B · ∇)B − ∇(p + 12µ 0B 2 )( (p ∂divF =r 2 r 2 sinθ 2 cosθ )sinθ ∂r r 3 + ∂ (r sinθ sinθ ))∂θ r 3 == −p 2 cosθr 4 + p 2 cosθr 4 = 0e∣ r re θ r sinθ e ϕ∣rotF =1r 2 sinθ∣∂∂r2 cosθr 3∂∂θ∂∂ϕsinθr 2 0= (0, 0, 0)∣Kommentar: F = gradφ 1 + gradφ 2 där φ 1 och φ 2 är potentialer från plus- ochminusladdning, ger1) rotF = 0 ty rotgradφ = 02) ∇ · F = 0 ty ∇ 2 φ 1 = ∇ 2 φ 2 = 0180. a) (2xy − y − 2z, −y 2 , 2y)