Exempelsamling Vektoranalys

3031Ledning: Använd Greens andra teorem på skalärfälten1|r − r P |och T(r).Betrakta området mellan sfären |r − r P | = ε och randytan S.138. Potentialen i punkten r P från en dipol med dipolmomentet a, vilken befinner sigi punkten r, ges som bekant avφ(r P ) = a · (r P − r)|r P − r| 3 .Låt S vara en yta med randkurvan L. Ytan är likformigt belagd med infinitesimaladipoler så att summan av alla dipolmomenten i ytelementet ˆn dS ges avvektornσˆn dS,där σ är en konstant. Potentialen i punkten r P från dipolytan blir i så fall∫∫σˆn · (r P − r)φ(r P ) =|r P − r| 3 dS.Sa) Visa att φ(r) är proportionell mot den rymdvinkel Ω som L upptar då denbetraktas från punkten r P .b) Hur ändras potentialen då man passerar genom dipolytan? Studera specielltfallet att S är en sluten yta.139. De slutna kurvorna C 1 och C 2 omsluter ytorna S 1 resp. S 2 . Visa att∫ ∫(∫∫ ) (∫∫ )(r 1 − r 2 ) 2 dr 1 · dr 2 = −4 dS 1 · dS 2 .C1C2r 1 (r 2 ) är ortsvektorn för en punkt på C 1 (C 2 ). dr 1 (dr 2 ) är linjeelement på C 1(C 2 ).Kroklinjiga koordinater140. Beräkna skalfaktorer och enhetsvektorer för följande koordinattransformation,och kontrollera att basvektorerna är ortogonala:x = u 1 + u 2 + 7u 3 , y = u 1 − 3u 2 + u 3 , z = 2u 1 + u 2 − 4u 3 .141. Beräkna volymsintegralen ∫∫∫VS1φ(x, y, z)dVgenom att göra det föreskrivna variabelbytet:S2a) φ(x, y, z) = x 2 + yz och V : ellipsoiden (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 ≤ 1.Variabelbyte: x = au 1 , y = bu 2 , z = cu 3 .b) φ(x, y, z) = (x + yz) och V : tetraedern som begränsas av koordinatplanenoch planet x+y+z = 6. Variabelbyte: x = 6−2u 2 , y = 2u 2 −2u 1 , z = 2u 3 .142. a) Bestäm de normerade basvektorerna i det kroklinjiga koordinatsystemet⎧u ⎪⎨ 1 = x 2 − y 2u 2 = xy .⎪⎩ u 3 = zoch visa att de är ortogonala.b) Uttryck divergensen av ett vektorfält A = A(u 1 , u 2 , u 3 ) i derivator av fältetskomponenter längs dessa basvektorer. (Svaret skall endast innehålla koordinaternau 1 , u 2 och u 3 .)143. Paraboliska koordinater u, v, ϕ, definieras av ekvationerna:⎧x = uv cosϕ⎪⎨y = uv sinϕ⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )a) Bestäm u, v, ϕ som funktioner av de kartesiska koordinaterna x, y, z. Angevariationsområdena för u, v, ϕ.b) Ange ekvationerna för koordinatytor och koordinatlinjer samt skissera derasutseende.c) Visa att de paraboliska koordinaterna är ortogonala.d) Ställ upp gradienten i paraboliska koordinater.e) Bestäm sambandet mellan basvektorsystemene u , e v , e ϕ och e x , e y , e z .f) Referera ortsvektorn r samt punktkällans vektorfälte rr 2till paraboliska koordinater.144. Betrakta de kroklinjiga koordinaterna u, v och w definierade genom⎧u = r sin 2 θ⎪⎨2v = r cos 2 θ ,2⎪⎩w = 2ϕdär r, θ, ϕ är de sfäriska koordinaterna.