Exempelsamling Vektoranalys

2627119. Beräkna linjeintegralen ∮2L ρ e ϕ · drlängs den slutna kurvan L enligt figuren.✻zFältlinjer124. Bestäm ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ).L✻Ange speciellt ekvationen för fältlinjen genom punkten (1, 1, 1) och finn denfältlinjens skärningspunkt med planetx + y = 1.✑✑✑✰ x✲y125. Ange ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetρ cosϕe ρ + ρ 2 e ϕ + ρ sinϕe z .I vilka punkter går fältlinjen genom punktenρ = 3, ϕ = π 2 , z = 2120. Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetz ρ2 − 1e ρρut ur områdetx 2 + y 2 + (z − 2) 2 ≤ 4.121. Visa att påståendet i exempel 94 gäller även om kurvan omsluter z-axeln.122. Polerna i en dipol har styrkorna ±q och sammanbinds av vektorn a (spetsen ipluspolen).Bestäm flödet av dipolfältet ut ur en sluten yta S soma) omsluter bägge polerna.b) omsluter endast pluspolen.c) inte omsluter någon pol.123. Beräkna flödet av vektorfältet(e × r) · (e × r)A(r) = rut genom en godtycklig sluten yta S som begränsar ett område V som innehållerorigo.e är en konstant enhetsvektor.Ledning: Använd sfäriska koordinater.r 5genom planet y = 0?126. Ange ekvationen för fältlinjen till dipolfältetA = grad cosθr 2 .Bestäm speciellt fältlinjen genom punktenr = a, θ = π 6 , ϕ = 0.Beräkna det största värde som avståndet mellan en punkt på denna fältlinje ochorigo kan anta.Kontinuitetsekvationen, Greens satser, Lapla- ces och Poissonsekvationer127. Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av två parallellaplattor på avstånd d. Den ena platttan har potential φ = 0 och den andraφ = φ 0 =konstant.128. Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av två koncentriskasfäriska skal med radie R 1 och R 2 > R 1 . Sfären med radie R 1 harpotential φ = 0, och sfären med radie R 2 har φ = φ 0 =konstant.