Exempelsamling Vektoranalys

5657h)65. a-g saknash) alt. I:h) alt. II:tyochh) alt. III:tyeller[(A × ∇) × A] i = = ǫ ijk (∇ × A) j A k= ǫ ijk ǫ jlm A l ∂ m A k = (δ kl δ im − δ km δ il )A l ∂ m A k == A k ∂ i A k − A i ∂ k A k == [ 1 2 gradA2 − A divA] i (jfr g)[rot((a × r) × b)] i = ǫ ijk ∂ j ((a × r) × b) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (a × r) l b m == ǫ ijk ǫ klm ǫ lpq a p b m ∂ j r q == (δ il δ jm − δ im δ jl )ǫ lpq a p b m ∂ j r q == ǫ ipq a p b m ∂ m r q − ǫ jpq a p b i ∂ j r q == ǫ ipq a p b m δ mq − ǫ jpq a p b i δ jq = [a × b] irot((a × r) × b) = {(8.24)} = (b · ∇)(a × r) − b(∇ · (a × r)) == {ex. 64 f) och (8.23)} == a × (b · ∇)r + b(a · (∇ × r)) = a × b()∂(b · ∇)r = b x∂x + b ∂y∂y + b ∂z (x, y, z) = (b x , b y , b z ) = b∂ze x e y e z∂ ∂ ∂∇ × r == 0∂x ∂y ∂z∣ x y z ∣rot((a × r) × b) = rot(b × (r × a)) = rot((b · a)r − (b · r)a) == {(8.22)} = (b · a)(∇ × r) −(∇(b · r)) × a =} {{ }=0= −b × a( ∂∇(b · r) =∂x , ∂ ∂y , ∂ )(b x x + b y y + b z z) = (b x , b y , b z ) = b∂z∇(b · r) = {(8.25)} = (b · ∇)r +b × (∇ × r)} {{ } } {{ }=b =066. a)67.68. 0b)[grad(a · gradφ)] i = ∂ i (a j ∂ j φ) = a j ∂ i ∂ j φ = [(a · ∇)∇φ] i[rot(a × gradφ)] i = ǫ ijk ∂ j (a × ∇φ) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (a l ∂ m φ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )a l ∂ j ∂ m φ == a i ∂ m ∂ m φ − a l ∂ l ∂ i φ = [a ∇ 2 φ −(a · ∇)∇φ]}{{}i=0Alltså: A = −B = (a · ∇)∇φc) Med∇φ = e x yz + e y xz + e z xydärblirA = e x (a y z + a z y) + e y (a x z + a z x) + e z (a x y + a y x)A = (∇r k ) × (r × a) + r k ∇ × (r × a)∇r k = kr k−1 e r = kr k−2 r∇ × (r × a) = (a · ∇)r −a(∇ · r) = −2a} {{ } } {{ }a 3⇒ A = kr k−2 r × (r × a) −r k 2a =} {{ }(a·r)r−r 2 aC= kr k−2 (a · r)r − (k + 2)r k aA ‖ r⇒ k = −269. Enligt Stokes’ sats är∮∫∫a × (b × r) · dr = ∇ × (a × (b × r)) · ˆn dSdär vi kan välja S så att ˆn ‖ c om C ligger på en nivåyta till φ.∇ × (a × (b × r)) = ∇ × ((a · r)b − (a · b)r) =S= ∇(a · r) ×b − (a · b) ∇} {{ } } {{× r}= a × b=a=0Linjeintegralen är noll om och endast om (a ×b) ·c = 0, dvs. om och endast oma, b och c ligger i samma plan.