Exempelsamling Vektoranalys

3637159. Visa att((r × ∇) × (r × ∇))φ = −(r × ∇)φ.160. Använd tensormetoder för att omvandla följande linjeintegraler till ytintegraler:∮a) A × drC∮b) AB · drC∮c) ε ijk A ij ds k där A ij är ett kartesiskt tensorfält.C161. Låt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma∫∫A × ∇φ · dStill en linjeintegral.162. Omforma ∫∫(gradφ × GradA) · dSStill en lineintegral. Med gradφ × GradA avsesS(gradφ × GradA) il = ε ijk∂φ∂x j∂A l∂x k.163. Omforma med tensormetoder följande integraler till ytintegraler:∫∫∫a) ∇ × (∇ × A)dVV∫∫∫b) (gradφ × ∇) · A dVV164. Skriv ∫∫∫(B · ∇)A dVVsom en ytintegral om B är ett källfritt fält.165. I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket∫∫ ∫∫∫∫○ (dS · ∇)E + ○ dS × (∇ × E) − ○ dS(∇ · E),SSdär E är ett vektorfält och S en glatt yta. Visa att uttrycket blir noll.S166. I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften påvolymselementet dV är dådF = j × B dV,där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gällerdivB = 0,rotH = j,B = µ 0 H.Skriv kraften på en delvolym V som en ytintegral av formen∫∫e i ○ T ij dS joch bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij .167. En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna⎛ ⎞1 0 0(T ik ) = ⎜ 1 1 1 ⎟⎝ ⎠ .0 0 1Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K ′ så atta)b)c)(T ′ik) =S⎛ ⎞λ 1 0 0⎜ 0 λ⎝ 2 0 ⎟⎠ ?0 0 λ 3⎛ ⎞0 a b(T ik ′ ) = ⎜ c 0 d ⎟⎝ ⎠ ?e f 0⎛ ⎞a b c(T ik ′ ) = ⎜ b 0 0 ⎟⎝ ⎠ ?c 0 0