Exempelsamling Vektoranalys

585970.∇ × A = k (B 0 · ∇)r −kB 0 (∇ · r) + ∇ × ∇ψ = −2kB} {{ } } {{ } } {{ } 0=3 =0=B0Alltså: B 0 = rotA om vi väljer k = −1/2.75.∫∫∫V∫∫∫∫∫(∇φ) · B dV = (∇ · (φB) − φ}∇{{· B})dV = ○ φB · dS =VS=0∫∫ ∫∫∫= φ 0 ○ B · dS = φ 0 ∇ · B dV = 0SV71. v(r) ⊥ ˆn och r.|v(r)| = ωr sinθω, r, v(r) bildar ett högersystem, dvs.v(r) = ω × rrotv = rot(ω × r) = ∇ × (ω × ṛ) == −(ω · ∇)r + ω(∇ · r) = −ω + 3ω = 2ω76. Med hjälp av Gauss’ universalsats erhålls∫∫∫∫∫○ (a × r) × dS = − rot(a × r) dV =SV } {{ }2a∫∫∫= −2a dV = − 8 3 πaV72.12∫∫S○ dS × (a × r) = {Gauss’ universalsats} == 1 ∫∫∫∇ × (a × r)dV =2 V= 1 ∫∫∫(a(∇ · r) − (a · ∇)r)dV =2 V= 1 ∫∫∫2adV = aV2V77.78.∮C4π(0, 2, −5)3∫∫(a · r)dr =SdS × grad(a · r)} {{ }=a∫∫= −a ×dSS} {{ }±(b/b)π= ±π b × ab73. Linjeintegralens i:e komponent =∮ ∮= e i · r × dr = (e i × r) · dr =CC∫∫∫∫= rot(e i × r) ·ˆn dS = e i · 2ˆndS} {{ }S74. Den i:e komponenten av V.L. är =∫∫∫∫∫∫= e i · r × rotAdV = rotA · (e i × r)dV =VV∫∫∫= [div(A × (e i × r)) + A · rot(e i × r)]dV =V∫∫ ∫∫∫∫∫∫= ○ · · · + A · 2e i dV = 0 + e i · 2 A dV == i:e komponenten av H.L.2eiS VVS79. (−π, 0, 0). Observera att S ej är sluten, varför man måste dra bort bidragen frånde plana ändytorna då man använder en integralsats.80. i:e komponenten =∫∫∫∫= e i · ○ (A · ˆn)B dS = ○ (e i · B)A · ˆndS =SS∫∫∫∫∫∫= div(B i A)dV = . . . = e i · [(A · ∇)B + B divA]dV81.VA och B ska vara kontinuerliga i V ∪ S samt kontinuerligt deriverbara i V .Denna ekvation har partikulärlösningendivA = 7A p = 7xe xV