Exempelsamling Vektoranalys

9293b) (−6xy, xz,2x 2 y − y 3 )c) (−yz − z 2 , 2x 2 − y 2 , 0)d) (2, 2, 2x)181. Sätt A = gradφ.∫∫∫Vdiv(φrotB) = gradφ · rotB + φdiv rotB =A · rotB dV= gradφ · rotB∫∫∫∫= ○ φrotB · ˆn dS = φ S ○ rotB · ˆn dS =SS∫∫∫= φ S div rotB dV = 0182. Lägg z-axeln parallellt med a och inför sfäriska koordinater:Fältet är singulärt i origo.A = grad a cosθr 2VA = grad a cosθr 2= −2a cosθr 3divA = 0 då r ≠ 0e r − a sinθr 3 e θFlödet ut genom kuben = flödet ut genom en sfär kring origo.∫∫○ A · e r dS = − 2a ∫ πR 2π cosθ sinθ dθ = 0r=R183. Bilda D(r) ≡ A(r) − B(r). Vi vet attVidare gällerPå S gäller(1) och (2) leder till att φ = C, dvs.rotD = 0 ⇒ D = gradφ0divD = div gradφ = 0 (1)D · ˆn = 0 dvs. gradφ · ˆn = 0 (2)D ≡ 0 i V184.185.∫∫∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = (−∇ × (ψ∇φ) + ψ∇ × ∇φ) · dSSSMen ∇ × ∇φ = 0 och enligt Stokes’ sats är∫∫∮∇ × (ψ∇φ) · dS = ψ∇φ · drSOm nu C är en ekvipotentialkurva till φ så gäller där ∇φ ⊥ dr eller ∇φ · dr = 0.Alltså∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = 0Detta geroch ekvationen blirdvs.186. a)b)UrerhållsS∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · A = (n + 1)ρ n−1∇(∇ · A) = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ∇ × A = 0C∇ 2 A = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ(n 2 − 1 − m)ρ n−2 = 0n = ± √ 1 + mdivF = 1 r 2 ddr r2 f(r) = 0 ger f = C r 2∫CF · dr = Q 4π∫∫C○S r 2e r · dS = QC = Q 4π∫Cr · drr 3= Q 4π∫ r1Oberoende av vägen (rotF = 0 för |r| ≠ 0). Man får∫r 0= a √ 0 + 16 + 0 = 4ar0drr 2r 1 = a √ 0 + 16 + 9 = 5aF · dr = Q (− 1C 4π 5a + 1 )= Q4a 80πa