Exempelsamling Vektoranalys

7071c)111. − 4 cosθr 4 e rrot(a × r) =e r re θ r sinθe ϕ1∂ ∂ ∂r 2 sinθ∂r ∂θ ∂ϕ=∣ 0 0 ar 2 sin 2 θ ∣= 2a cosθ e r − 2a sinθ e θ = 2ab)∫∫○S1+S2∫∫A · dS = ○S1∫∫A · dS + ○S2A · dSdär den yttre sfären har utåtriktad normal medan den inre sfären harinnåtriktad normal. Detta ger nettoresultatet 4π − 4π = 0.c) Ytan S får inte omsluta fältets singularitet i origo.114. Den första termen representerar flödet från en punktsänka, som befinner sig iområdet. Den ger bidraget −4πq. Den andra termen bidrar med∫ 2c−2c12pz 2 4πc 2 dz = 256πpc 5112.Alltså:∇ 2 e θ = graddive θ − rotrote θ1 ∂dive θ =r 2 sinθ ∂θ (r sinθ) = 1 cosθ( )r sinθ1 cosθgrad = ∂ ( ) 1 cosθe r + 1 ( )∂ 1 cosθe θ =r sinθ ∂r r sinθ r ∂θ r sinθ= − 1 cosθr 2 sinθ e r − 1 1r 2 sin 2 θ e θe r re θ r sinθ e ϕ1rote θ =∂ ∂ ∂r 2 sinθ= 1 ∂r ∂θ ∂ϕr e ϕ∣ 0 r 0 ∣e r re θ r sinθ e ϕ)1rot(r e 1∂ ∂ ∂ϕ =r 2 = 1 cosθsinθ∂r ∂θ ∂ϕr ∣ 0 0 r sinθ 1 2 sinθ e r∣r∇ 2 e θ = − 2 r 2 cosθsinθ e r − 1 r 2 1sin 2 θ e θ113. a) divA = 0 i sfären. Detta borde ge∫∫∫divAdV = 0medan ytintegralen∫∫∫∫○ A · dS = 1/R 2 ○ dS = 4πSS115. Den första termen är en punktsänka i punkten (3, −1, 0), vars avstånd frånsfärens medelpunkt är√(3 − 2)2 + (−1 − 1) 2 + (0 − 1) 2 = √ 6 < 3Punktsänkan ligger således inuti sfären och ger bidraget −4π. Gauss’ sats gerbidraget från den andra termen:∫∫∫6xy dVVDenna integral beräknas i koordinatsystemet K ′ vars origo ligger i sfärens medelpunkt:Alltså: Flödet = 428π.x ′ = x − 2, y ′ = y − 1 z ′ = z − 1∫∫∫6(x ′ + 2)(y ′ + 1)dV = 12V = 12 4 3 π33 = 432πV116. divA = 0. Fältet är singulärt i origo. Flödet genom en godtycklig yta sominnesluter origo = flödet genom en sfär med radien ε == 1 ε 4 ∫∫(3 cos 2 θ − 1)ε 2 sinθ dθ dϕ = 0117. a) Fältet är en superposition av en linjekälla och en punktsänka. Flödet =2π2 − 4π = 0.b)A · ˆn ==( 1ρ e ρ −)1(ρ 2 + z 2 ) (ρe 3/2 ρ + ze z )1√ρ2 + z 2 − 1ρ 2 + z 2 = 0 då ρ2 + z 2 = 1·(ρe ρ + ze z√ρ2 + z 2 )=