Exempelsamling Vektoranalys

202193. Vektorfältetsatisfierar ekvationenA(ρ, ϕ, z) = f(ρ)e ϕ∇ 2 A = 0.Bestäm f(ρ). Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken skall uppställas medindexräkning.94. Visa att cirkulationen av vektorfältetcosϕρ 2 e ρ + sinϕρ 2 e ϕrunt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll.95. En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω.a) Uttryck kroppens hastighetsfält v = v(r) i ett cylindriskt koordinatsystem,vars z-axel sammanfaller med rotationsaxeln.b) Visa att vektorfältet har en vektorpotential A.c) Beräkna den vektorpotential för v(r) som har formenoch som är så allmän som möjligt.A = A ρ (ρ, ϕ, z)e ρRäkningarna skall utföras i cylinderkoordinater.96. En elektrisk ström I flyter i en oändlig, rak cylindrisk tråd med radien R. MagnetfältetB utanför tråden ärB(r) = Iµ 0 e ϕ2π ρ , ρ > R.a) Visa att divB = 0 så att B har en vektorpotential. Bestäm en vektorpotentialav formenA = A z (ρ)e z .(Funktionen A z (ρ) skall beräknas.)b) Visa att rotB = 0 för ρ > R, men att det inte finns någon skalär potentialφ sådan att B = gradφ i området ρ > R.97. Beräkna ∇ 2 e ϕ , där e ϕ är den basvektor i cylindriska koordinater som är associeradmed vinkeln ϕ.Ledning: Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken inte behöver bevisas.Sfäriska koordinater98. Låt ψ = − cos θr, A = sin θ2 re 2 ϕ ,där (r, θ, ϕ) är sfäriska koordinater, definierade genom⎧x = r sinθ cosϕ⎪⎨y = r sinθ sinϕ⎪⎩ z = r cosθBeräknaa) ∇ψ.b) ∇ × A.c) ∇ 2 ψ och ∇ × (∇ × A).99. Genom att tillämpa indexräkning på rotrotA kan man få ett uttryck på ∇ 2 A.a) Genomför detta.Använd det erhållna uttrycket för att bestämmab) ∇ 2 e r .c) ∇ 2 e ϕ .Beräkningarna skall utföras i sfäriska koordinater.100. Punkten P ligger på rotationsellipsoiden3r =3 + cosθ .Beräkna vinkeln mellan ellipsoidens normal n P i P och ortsvektorn r P från origotill P som funktion av vinkeln mellan r P och z-axeln.101. Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternap = r 2 sinθ cosϕ.r = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är denmaximala tryckökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.