Exempelsamling Vektoranalys

8889= ε 0 ((E j E i ) ,j − E j E i,j )dV =(V∇ × m × r )= {E i = −φ ,i dvs. E i,j = −φ ,ij = −φ ,ji = E j,i } =r 3 =(∇ 1 )r 3 × (m × r) + 1 ∇ × (m × r) =r3 ∫∫∫= ε 0 ((E j E i ) ,j − 1V2 (E jE j ) ,i )dV = {Gauss’ sats} == − 3rr 5 × (m × r) + 1 (m(∇ · r) − (m · ∇)r) =r3 ∫∫= ○ ε 0 (E k E i − 1S 2 δ = − 3ikE j E j )dS kr 5 (mr2 − r(m · r)) + 1 (3m − m) =r3 3r(m · r)D i = ε 0 E i=r 5 − m r 3164.∫∫172.∫∫∫○ A(B · dS)(A div A − A × rotA) i dV =SV∫∫∫= e i (A i A j,j − ε ijk A j ε klm A m,l )dV =V165.∫∫∫= e i (A i A j,j − (δ il δ jm − δ im δ jl )A j A m,l )dV =((ˆn · ∇)E + ˆn × (∇ × E) − ˆn(∇ · E)) i =V∫∫∫= n j E i,j + ε ijk n j ε klm E m,l − n i E j,j == e i (A i A j,j − A j A j,i + A j A i,j )dV == n j E i,j + n j E j,i − n j E i,j − n i E j,j =V∫∫∫= n j E j,i − n i E j,j = ε mlk ε mji n l E j,k= e i (A i A j − 1V 2 δ ijA k A k ) ,j dV =Nu kan Stokes’ sats användas, men eftersom en sluten yta saknar randkurva, blir∫∫resultatet noll.= e i ○ (A i A j − 1S 2 δ ijA k A k )dS j =∫∫= e i ○ T ij dS j166. T ij = µ 0 (H i H j − δ ij H 2 /2)SFör A = E finner vi att med167. a) Nej, ty om T ik ≠ T ki i K så är Tik ′ ki ′ i alla K′ .Tb) Nej, ty SpT ↔ = 3, men SpT ↔′ ij = E i E j − 1= 0.2 δ ijE k E kgällerc) Nej, samma argument som i a).∫∫∫∫∫1ρ(r)E i (r)dV = ○ T ij dS jV ε 0 S168. a) F i är kontraktionen av T ij = m(ω 2 δ ij − ω i ω j ) och x j .b) Varje vektor i xy-planet är egenvektor med egenvärde mω 2 . Varje vektorparallell med e z är egenvektor med egenvärde noll. Detta gäller med ω =För A = B finner vi att medT ij = B i B j − 1 2 δ ijB k B k(0, 0, ω).gäller∫∫∫∫∫µ 0 (i × B) i dV = ○ T ij dS j169. a) M ij = (3x i x j − r 2 δ ij )/r 5b) λ 1,2 = −1/r 3 , λ 3 = 2/r 3 , e 3 ‖ rVS173. Med ∇r = e r får man170. a) F i = A ij v j , A ij = eε ijk B kb) λ 1,2 = ±ieB, λ 3 = 0, e 3 ‖ Bφ = 3(m 1 · e r )(m 2 · e r ) − m 1 · m 2r 3Givna värden insatta ger171.φ = 5 |m 1 ||m 2 |4 r∫∫∫ ∫∫∫F i = ρE i dV = ε 0 E j,j E i dV =V∫∫∫V174. Kan utföras på ett flertal sätt, t.ex.: