Exempelsamling Vektoranalys

8283∇ 2 φ = 0 har därför lösningenty ρ − y = ξ 2 , har viφ = Au + Bh ξ = √ ξ 2 + η 2Ellips 1:e ξ = 1 1√ (ξηe x − ξ5⎫⎪ 2 e y ) = √ 1 (ηe x − ξe y )ξ 2ρ 2ρ4 = coshu ⎬ h⇒ e u η = √ ξ 2 + η 2= 2 ⇒ u = ln 234 = sinhu ⎪1⎭ e η = √ (ξe x + ηe y ) 2ρeEllips 2:ζ = e z5⎫⎪3 = coshu ⎬b)⇒ e u ⎛ ⎞= 3 ⇒ u = ln 343 = sinhu ⎪ η −ξ 0⎭⎧(a ij ) = 1√ ⎜ ξ η 0 ⎟2ρ ⎝⎨√⎠Aln 2 + B = 00 0 2ρ⎩ Aln 3 + B = 2Tydligen är basvektorerna ortogonala. Enl. a) ärgerh ξ = √ ξ 2 + η 2 = √ 2ρ2A =hln 3 − ln 2η = √ ξ 2 + η 2B = − 2 ln2h ζ = 1ln 3 − ln 2varavAlltså:2divA = 1 ( ( ∂ ξφ = (u − ln 2)2ρ ∂ξ 2 (3η2 + ξ ))2 + ∂ ( η) )∂η 2 (3ξ2 + η 2 ) =ln 3 − ln 2= 1 ( 32ρ 2 (ξ2 + η 2 ) + 3 2 (ξ2 + η ))2 = 3147. a) Ureftersom 2ρ = ξ ⎧⎪ 2 + η 2 .ξ 2 = ρ − y ⎨ Alternativt kan A transformeras till (x, y, z) där man finnerη 2 = ρ + yA = (2xe x + ye y )⎪ ⎩ ζ = zvarav resultatet följer trivialt.har vi⎧⎪ 2ξ∇ξ = e ⎨ ρ − e y148.2η∇η = e ρ + e yr = (r cosϕsinθ, r sinϕsinθ, r cosθ)⎪ ⎩ ∇ζ = e zBilda v − u = 2r cosθ och vu = r 2 (1 − cos 2 θ) = r 2 sin 2 θ.Alltså:⇒ r = ( √ vu cosw, √ vu sinw, (v − u)/2)∇ξ = 1 e ξ = 1 1h ξ 2ξ ρ (xe x − (ρ − y)e y )√ ∇η = 1 e η = 1h1u =∂rv + uh η 2η ρ (xe ∣∂u∣ = 2 √ ux + (ρ + y)e y )√ h v =∂rv + u∣Då∂v∣ = 2 √ v|∇ξ| = 1√1 √ 2ρ(ρ − y)x2 + y|ξ| 2ρ2 + ρ 2 − 2ρy = = √ 1h w =∂r|ξ|2ρ 2ρ ∣∂w∣ = √ vu