Exempelsamling Vektoranalys

5051=∫Cd{(a · r)(b · r) + (a · b) r22 } =38. (0, 0, 0)= (a · b)(b · b) + (a · b) b2 2= 3 2 (a · b)(b2 − a 2 )ty r(0) = a och r(π/2) = b.32. Man inser att F = grad(xyz) dvs.C∫CF · dr− [(a · a)(b · a) + (a · b)a22 ] =är oberoende av vägen och∫F · dr = (xyz) P − (xyz) 0 =(−√ a ) (− b )√ c sinh 5 2 2 4 =33. a) −8/3b) 3πc) 16π/3d) 034. 4πR 335.36.323e) 12π/5π(π − 1)237. a) div A = 3, rot A = 0= abc2 sinh 5 4b) div A = 3, rot A = (1, 1, 1)c) div A = 0, rot A = 0d) div A = 1/x + 1/y + 1/z, rot A = 0e) div A = 0, rot A = e yz (0, y, −z) + e zx (−x, 0, z) + e xy (x, −y, 0)f) div A = − sinz, rot A = (0, 0, siny − sinx)39. 040. −2e −(x2 +y 2 +z 2) (y − z, z − x, x − y)41. −x + z, −y + x, −z + y)42. (a) i) a) 2ye y , b) 2xe z , c) 2, d) 1, e) 2xz, f) -2e yii) a) y 2 z 3 e x +2xyz 3 e y +3xy 2 z 2 e z , b) −(x+3z 2 )e x +ye y −x 2 e z , c) 2xz 3 +6xy 2 z,d) 3, e) −x 2 −2xy +y 2 +yz −x 3 +x 2 y −x 2 z −3xz 2 −3yz 2 +z 3 , f) 2(x −3z)e y43. Därför att ∂Fx∂y = ∂Fy∂x = 4x/√ y;44. a) 045. 54πb) 8πc) 162πd) 8/346. 4πR 347.48.e) 2176π/15∫∫SF · dS == 3 2∫∫∫V∫ 2π ∫ π ∫ RAv symmetriskäl kan nämligen0b) φ = 4x 2√ y∫∫∫divFdV =00∫∫∫V3(x 2 + y 2 + z 2 )dV =r 2 r 2 dr sinθ dθ dϕ = 3 2 4πR5 5 = 6π 5 R5V3r 2 dVöver halvsfären sättas = 1/2 gånger motsvarande integral över hela sfären.23 π