Exempelsamling Vektoranalys

4041där dipolmomentet m är en konstant vektor och r är ortsvektorn. µ 0 är enkonstant. Ur vektorpotentialen beräknas den magnetiska induktionen B enligtBestäm B för r ≠ 0.B = rotA.175. En elektrisk dipol i origo omger sig med potentialfältet2 sinθ cosϕV = −r 2 .a) Hur snabbt ökar potentialen V om man utgående från punktenrör sig i riktningen e r − e ϕ ?P : r = 1, θ = π/4, ϕ = 0b) I vilken riktning utgående från P ökar potentialen snabbast, och hur storär den maximala potentialökningen per längdenhet?178. I ett plasma av hög täthet gäller att krafttätheten f kan skrivasf = i × B − gradp,där i är strömtätheten, B magnetfältet och p trycket.Mellan i och B råder relationen rotB = µ 0 i. Vidare gäller divB = 0. Visa attf = 1 )(B · ∇)B − grad(p + B2.µ 0 2µ 0179. Kraften på en enhetsladdning från en dipol med dipolstyrkan p ges av()2 cosθ sinθF = p e rr 3 + e θr 3förutsatt att origo valts i dipolen och z-axeln i dipolmomentets riktning. BestämdivF och rotF för r ≠ 0.Arbetet skall utföras i sfäriska koordinater.176. Sambandet mellan laddningstätheten ρ(r) och den elektriska fältstyrkan E(r) iett statiskt elektriskt fält ges avdivE = 1 ε 0ρ(r),180. VektorfältenA = (2x 2 − y 2 , yz + z 2 , xy 2 ),B = (−y, x, 0)där ε 0 är en konstant.Antag att man på ytan S av en sfär med radien a och centrum i origo mätt uppfältstyrkan och funnitE S = ρ 0a 2 ( xsε 0 a 2 , y sb 2 , z )sc 2 (1)I (1) är (x s , y s , z s ) koordinater för punkter på S. Observera att fältstyrkan ipunkter (x, y, z) inuti sfären ej nödvändigtvis ges av (1). Bestäm laddningeninom sfären.177. I en stel kropp, som roterar kring en fix punkt kan hastighetsfältet skrivasoch accelerationsfältetv(r) = ω × ra(r) = ˙ω × r + ω × (ω × r).Bestäm divv, rotv, diva och rota. (ω och ˙ω är funktioner endast av tiden.)är givna. Beräknaa) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A · ∇)B.d) ∇ 2 A.181. Beräkna integralen ∫∫∫VA · rotBdV,där vektorfältet A har en potential i området V , vars begränsningsyta är enekvipotentialyta för denna potential.182. Beräkna flödet av vektorfältetA = grad a · rr 3ut ur en kub med kantlängden 1, medelpunkten i origo och en rymddiagonalparallell med den konstanta vektorn a.