EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

Kapitel 2
Att angripa problemet
”M˚anga ting, som inte kan övervinnas när de st˚ar tillsammans,
ger efter, när vi tar itu med dem ett och ett.”
Plutarchos, 46 - 120 e.Kr, grekisk författare och präst
2.1 Inledning
Det första problemet vi ställs inför när vi ska bevisa en sats är att se vad
som är det antagna och vad som är det p˚ast˚adda i satsen. M˚anga satser/utsagor
är p˚a formen ”Om A, s˚a B”. I dessa fall är A det antagna och B
det p˚ast˚adda. Att A är det antagna innebär att i v˚art bevis kan vi utg˚a fr˚an
att A är sant, dvs vi behöver inte bevisa att A gäller. Beviset ska istället g˚a
ut p˚a att visa att om vi har A s˚a har vi ocks˚a B.
Vi m˚aste komma p˚a ett sätt att (stegvis) f˚a dessa tv˚a att närma sig
varandra, s˚a att vi f˚ar en obruten kedja av antaganden och p˚ast˚aenden som
leder oss liksom en bro fr˚an v˚art första antagande till det slutliga p˚ast˚aendet.
Denna bro kan byggas fr˚an b˚ada h˚all; dvs vi kan utg˚a fr˚an det antagna för att
n˚a det p˚ast˚adda, eller tvärt om. Detta är principen i alla matematiska bevis.
I mitt examensarbete har jag tagit stort intryck av tv˚a matematiker:
George Polya och Daniel Solow. Här nedan beskrivs n˚agra av deras idéer
ang˚aende hur man kan arbeta med matematiska bevis. B˚ade Polyas och
Solows metoder behandlar hur man kan tänka för att lyckas finna ett sätt
att bevisa en sats. Även om deras metoder är olika, s˚a syftar de b˚ada till
att närma antagandet och p˚ast˚aendet till varandra.
B˚ada metoderna har sina fördelar och det är mest en smaksak vilken
man föredrar - men man har stor nytta av att känna till b˚ada metoderna!
6