EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

som ger mycket grundläggande information om logik. Denna bilaga hör speciellt
ihop med avsnittet om indirekta bevis och behöver bara läsas av den
som inte är bekant med logikens grunder.
M˚algruppen för uppsatsen är främst de studenter som kanske för första
g˚angen ska börja arbeta med bevis p˚a ett mer strukturerat sätt (exempelvis
p˚a kurserna Analys 3 och Analys 4 vid Stockholms Universitet). Andra
tänkbara läsare är t.ex matematiklärare p˚a gymnasiet.
1.2 Varför behövs bevis?
För att motbevisa en matematisk sats krävs endast ett enda motexempel,
s˚a har man visat att satsen inte alltid gäller.
Men för att bevisa en sats duger det inte att ge ett exempel p˚a d˚a satsen
gäller. Vi m˚aste ge ett matematiskt bevis för att satsen alltid gäller d˚a
vissa förutsättningar är uppfyllda (alternativt krävs inga förutsättningar,
utan satsen gäller alltid).
Beviset fyller flera funktioner;
Verifiering; Först och främst kan vi genom beviset verifiera att en given
sats är sann, dvs ”att p˚ast˚aendet i satsen är en logisk konsekvens av
förutsättningarna i denna” [9].
Byggstenar; Mängden av bevisade satser fungerar som byggstenar som
kan användas för att bygga vidare p˚a, utan att behöva uppfinna hjulet
p˚a nytt varje g˚ang vi behöver använda en matematisk sats.
Förutsättningar; I satsens antagande anges under vilka förutsättningar
p˚ast˚aendet gäller. I satsen anges tillräckliga villkor för att p˚ast˚aendet
ska vara sant. Ibland anges även nödvändiga villkor (se Bilaga 2 för
mer detaljer). Observera dock att satsen oftast inte säger n˚agot om
vad som händer om förutsättningarna bara delvis är uppfyllda, eller
inte alls är uppfyllda.
Generalisering; Vi kan genom beviset se att ett p˚ast˚aende i en sats inte
bara är sant i ett givet specialfall, utan att det är sant för alla tänkbara
fall - givet att förutsättningarna är uppfyllda.
Undervisning; När vi först˚ar beviset, ökar det v˚ar allmänna först˚aelse
för matematikens spelregler och för sambanden mellan olika begrepp.
M˚anga satser är p˚a formen ”om . . . - s˚a . . . ”, dvs att satsen klargör
ett samband som gäller.
4