EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

More documents

Recommendations

Info

3.5.5 Likheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5.6 Trial and error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Delproblem 41 4.1 Entydighet: Visa att ett objekt är unikt . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Kvantifikatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.1 Existens: ”Det finns” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2 Universalitet: ”För alla” . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.3 Universalitet: generalisering . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.4 Universalitet: specialisering . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.5 Blandade kvantifikatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 Kommenterade bevis 58 5.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Divisionsalgoritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3 Aritmetikens fundamentalsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Geometriskt och aritmetiskt medelvärde . . . . . . . . . . . . 65 5.5 Diskontinuerliga funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.6 Taylors sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Bilaga 1: Grundläggande logik . . . . . . . . . . . . . . 79 Bilaga 2: Tillräckligt/nödvändigt villkor . . . . . . . . . . 85 Tack! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Litteraturförteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2
Kapitel 1 Inledning ”Det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta” Essaias Tegnér, 1782-1846, författare och biskop 1.1 Bakgrund I läroböckerna inom matematik för gymnasiet förekommer ganska f˚a bevis, och det verkar över huvud taget som om gymnaisekurserna inte lägger s˚a mycket tid p˚a bevis och bevishantering. I en undersökning vid Stockholms Universitet uppgav endast cirka 30 procent av de nya studenterna vid <strong>institutionen</strong> för Matematik att de haft möjlighet att öva b˚ade muntlig och skriftlig bevisning under gymnasietiden [8]. Bevis blir en viktig del av kurserna p˚a p˚abyggnads- och fördjupningsniv˚aerna. Syftet med mitt examensarbete är därför att övergripande beskriva hur man kan arbeta med bevis, dvs hur man kan läsa och konstruera bevis. Efter inledningen följer ett kapitel där jag berättar om tv˚a olika sätt att tänka när man ska arbeta med matematiska bevis. Därefter följer ett kapitel som beskriver de vanligaste bevismetoderna, med ett flertal enklare eller mer avancerade exempel. Kapitlet avslutas med ett avsnitt om olika hjälptekniker för att underlätta bearbetandet av ett bevisproblem. I ett eget kapitel beskrivs det jag valt att kalla ”delproblem”. Här behandlar jag tekniker för att bevisa satser med olika kvantifierare och hur man bevisar entydighet. Examensarbetet avslutas med ett kapitel som inneh˚aller ett antal kommenterade bevis. Eftersom bevis bygger p˚a logik har jag även valt att ta med en bilaga 3
Page 1: EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATI
Page 5: Inneh˚all 1 Inledning 3 1.1 Bakgru
Page 9 and 10: Utveckling; Beviset ”tvingar” m
Page 11 and 12: 2.2 Polyas problemlösning George P
Page 13 and 14: 4. SE TILLBAKA För det fjärde. Gr
Page 15 and 16: Om vi kan visa att x = y s˚a är t
Page 17 and 18: Kapitel 3 Bevismetoder ”Att lära
Page 19 and 20: ”Ett bra bevis är ett bevis som
Page 21 and 22: Om man vill kan det vara lärorikt
Page 23 and 24: ”Genom att försöka med det ’o
Page 25 and 26: Ett annat exempel d˚a motsägelseb
Page 27 and 28: 3.3.4 Bevis med kontrapositiv Om vi
Page 29 and 30: ”Tänd hellre ett ljus än klaga
Page 31 and 32: Eftersom vi antagit att k 2 + k = 2
Page 33 and 34: Vilka andra element finns det i P(A
Page 35 and 36: kens fundamentalsats. Ett annat bev
Page 37 and 38: fr˚an en mängd där man säkert v
Page 39 and 40: 3.5.3 Hjälpstorheter M˚anga g˚an
Page 41 and 42: Och efter förenkling f˚ar vi: c 2
Page 43 and 44: D[F (x)g(x)] = F ′ (x)g(x) + F (x
Page 45 and 46: Kapitel 4 Delproblem ”Verkliga sv
Page 47 and 48: Proposition: Om r är ett positivt
Page 49 and 50: ”Erfarenhet är inte vad som hän
Page 51 and 52: Som synes är dessa exempel ganska
Page 53 and 54: När det gäller ”det finns” s
Page 55 and 56: Nu har vi allts˚a f˚att ett p˚as
Page 57 and 58:
med specialisering innebär att man
Page 59 and 60:
4. SE TILLBAKA Det är värt att n
Page 61 and 62:
P2: Det finns ett reellt tal y med
Page 63 and 64:
2. GÖR UPP EN PLAN Vi behöver gen
Page 65 and 66:
4. SE TILLBAKA I ovanst˚aende bevi
Page 67 and 68:
3. GENOMFÖR PLANEN Varje heltal a
Page 69 and 70:
5.4 Geometriskt och aritmetiskt med
Page 71 and 72:
Sats 1 verkar säkerställa att sam
Page 73 and 74:
m−1 ≥ a1 · · · · · am−1
Page 75 and 76:
Genom att koppla varje diskontinuer
Page 77 and 78:
För att visa existensen av ett obj
Page 79 and 80:
P (x) = f(α) + f ′ (α)(x − α
Page 81 and 82:
Om vi sätter in β istället för
Page 83 and 84:
Bilaga 1: Grundläggande logik För
Page 85 and 86:
oss fram till detta: Fall 1: A är
Page 87 and 88:
en annan ekvivalent utsaga som är
Page 89 and 90:
Bilaga 2: Tillräckligt/nödvändig
Page 91 and 92:
Tack! Jag vill framföra mitt varma
Page 93:
Litteraturförteckning [1] Beachy,
show all

EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?