EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

Jag vill göra läsaren uppmärksam p˚a att det finns stora likheter i metodiken
för bevis av existens och bevis av entydighet.
Jag ger nu n˚agra exempel p˚a tillämpningar av dessa tre metoder. Först
ett par exempel där vi använder konstruktion. Det första är hämtat fr˚an
Cupillari ([3], s.55-56).
SATS:
Mellan tv˚a olika godtyckliga rationella tal finns ett annat rationellt tal.
BEVIS GENOM KONSTRUKTION:
Om a och b är tv˚a olika rationella tal, kan vi skriva dem p˚a formen:
a = m/n och b = p/q, där m, n, p, q är heltal och n �= 0 samt q �= 0.
Eftersom medelvärdet av tv˚a tal alltid ligger mellan de tv˚a talen (bevisas
inte här), s˚a kan vi konstruera medelvärdet av dessa tv˚a tal:
c =
a + b
2
1
=
2 (m
n
p mq + np
+ ) =
q 2nq
Talet mq + np är ett heltal, eftersom m, n, p, q är heltal. Talet 2nq är
ett heltal skilt fr˚an 0, eftersom n �= 0 och q �= 0. Talet c är allts˚a ett rationellt
tal som ligger mellan de tv˚a rationella talen a och b, och beviset är klart.
Ett annat exempel har jag hämtat fr˚an Garnier & Taylor ([5], s. 187).
SATS:
Vissa primtal är p˚a formen 32n + 1, där n är ett heltal.
BEVIS GENOM KONSTRUKTION:
Det räcker att vi kan hitta ett exempel d˚a satsen är sann.
Om vi listar alla tal som kan skrivas p˚a formen 32n + 1, s˚a f˚ar vi:
1, 33, 65, 97, 129, 161, 193, . . .
Är det n˚agot av dessa tal som är ett primtal?
Talet 1 är per definition inte ett primtal.
33 = 3 × 11, s˚a 33 är inte ett primtal.
65 = 5 × 13, s˚a 65 är inte ett primtal.
Men talet 97 är ett primtal.
V˚art bevis blir allts˚a:
97 = 32 × 3 + 1 och 97 är som bekant ett primtal.
46