EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

I antagande A uttrycks triangelns area genom z 2 /4. Ett annat uttryck
för en triangels area är (basen × höjden)/2, dvs i v˚art fall: xy/2. Vi f˚ar
allts˚a följande likhet som v˚ar nya utsaga:
A1: xy/2 = z 2 /4
Genom Pythagoras sats vet vi ocks˚a (eftersom XYZ är en rätvinklig
triangel) att:
A2: x 2 + y 2 = z 2
Genom att kombinera A1 och A2 kan vi nu eliminera z; vi ersätter z 2 i
A1 med x 2 + y 2 fr˚an A2, och vi f˚ar d˚a:
A3: xy/2 = (x 2 + y 2 )/4
Vi vill nu f˚a A3 att ännu mer likna P2. Detta kan vi ˚astadkomma med
hjälp av algebra för att förenkla uttrycket:
xy/2 = (x 2 + y 2 )/4
⇕
2xy = x 2 + y 2
⇕
x 2 − 2xy + y 2 = 0
Vi f˚ar allts˚a en ny utsaga:
A4: x 2 − 2xy + y 2 = 0
Detta kan vi genast se är detsamma som:
A5: (x − y) 2 = 0
Genom att ta kvadratroten av b˚ada leden kommer vi fram till det resultat
vi ville, nämligen:
P2: x − y = 0
Vi f˚ar allts˚a följande kedja av samband:
A ⇔ A1 ⇔ A2 ⇔ A3 ⇔ A4 ⇔ A5 ⇔ P 2 ⇔ P 1 ⇔ P
Vi har därmed visat att A ⇒ P och P ⇒ A.
Ovanst˚aende omfattande bevisning kan ocks˚a skrivas p˚a en kondenserad
form:
Fr˚an antagandet och formeln för arean av en rät triangel, vet vi att arean
av XY Z = xy/2 = z 2 /4. Genom Pythagoras sats är x 2 +y 2 = z 2 och genom
att ersätta z 2 med x 2 +y 2 och därefter genomföra n˚agra algebraiska operationer
f˚as att (x−y) 2 = 0. Allts˚a är x = y, och allts˚a är triangeln XY Z likbent.
12