EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

uppfyller mängden ovanst˚aende fyra egenskaper.
V˚art antagande är nu att G är en grupp, och att x och y är tv˚a element
i G.
V˚art p˚ast˚aende är att (xy) −1 = y −1 x −1 , dvs att inversen av produkten
är lika med produkten av inverserna.
Eftersom x och y är element i G, s˚a är även xy ett element i G, enligt
axiom G1. Enligt axiom G4 är d˚a även (xy) −1 ett element i G, och vi har
att (xy)[(xy) −1 ] = e och [(xy) −1 ](xy) = e.
2. GÖR UPP EN PLAN
När det gäller grupper s˚a är endast en binär operation definierad, nämligen
multiplikation. Man kan därför inte utan vidare dividera ett tal med ett annat
tal, men däremot kan man multiplicera detta tal med inversen till det
andra talet (som ju är definierad i en grupp) - vilket i praktiken f˚ar samma
effekt som division. Vi m˚aste allts˚a använda oss av följande egenskap för
inverser: (g −1 )g = e = g(g −1 ).
För att visa att ett element i en grupp är en invers till ett annat element,
m˚aste man allts˚a visa att deras produkt (skriven p˚a b˚ada sätten) är lika med
enhetselementet e.
I v˚art fall, för att visa att y −1 x −1 är en invers till xy, m˚aste vi visa att
(xy)(y −1 x −1 ) = e och att (y −1 x −1 )(xy) = e. Till v˚ar hjälp har vi de fyra
axiomen för grupper.
3. GENOMFÖR PLANEN
Vi börjar med den första ekvationen:
(xy)(y −1 x −1 ) = (xyy −1 )x −1 [pga G2] = (x(yy −1 ))x −1 [pga G2]
= (xe)x −1 [pga G4] = xx −1 [pga G3] = e [pga G4].
Den andra ekvationen visas p˚a motsvarande sätt. Eftersom vi har visat
att (xy)(y −1 x −1 ) = e och att (y −1 x −1 )(xy) = e, s˚a följer det att
y −1 x −1 = (xy) −1 , V.S.B.
4. SE TILLBAKA
I detta bevis behövde vi g˚a tillbaka till definitionen för grupper. Med
hjälp av de axiom som ing˚ar i definitionen s˚a gick det att bevisa satsen.
För att öka sin först˚aelse kan det vara intressant att ställa sig n˚agra
följdfr˚agor, exempelvis:
Gäller det även att (xy) −1 = x −1 y −1 ?
Gäller det att (yx) −1 = x −1 y −1 ?
18