EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

3.4.6 Den starka principen, exempel med tv˚a basfall
Det är ganska vanligt att man har induktion som bygger p˚a tv˚a basfall (eller
flera). Jag visar ett exempel hämtat fr˚an Biggs ([2], s. 33).
EXEMPEL:
Visa att om un definieras genom u1 = 1, u2 = 5 och un+1 = 5un −6un−1
för n ≥ 2, s˚a är un = 3 n − 2 n för alla n ∈ N.
LÖSNING:
Basfallet:
Vi ser att utsagan stämmer för n = 1 och n = 2, eftersom
3 1 − 2 1 = 1 = u1 och 3 2 − 2 2 = 5 = u2
Induktionsantagande:
Vi antar att formeln un = 3 n − 2 n är korrekt för alla k ≤ n, och speciellt
för uk och uk−1. Vi f˚ar:
uk = 3 k − 2 k
uk−1 = 3 k−1 − 2 k−1
Induktionssteg: Vi testar om formeln är sann för uk+1. Vi har att
uk+1 = 5uk − 6uk−1
Här kan vi nu använda v˚art induktionsantagande för uk och uk−1, och
vi skriver om det högra ledet:
5uk − 6uk−1 = 5(3k − 2 k ) − 6(3 k−1 − 2 k−1 )
= (5 · 3 k − 5 · 2 k ) − (6 · 3 k−1 − 6 · 2 k−1 )
= (5 · 3 k − 6 · 3 k−1 ) − (5 · 2 k − 6 · 2 k−1 )
= (5 · 3 − 6)3 k−1 − (5 · 2 − 6)2 k−1
= 9 · 3 k−1 − 4 · 2 k−1
= 3 2 · 3 k−1 − 2 2 · 2 k−1
= 3 k+1 − 2 k+1
Slutsats:
Detta är den sökta formeln för uk+1.
Eftersom vi visat att basfallet är sant, och eftersom vi visat att induktionen
fungerar - dvs att P (uk−1) och P (uk) ⇒ P (uk+1) - vet vi genom den
starka induktionsprincipen att formeln un = 3 n −2 n stämmer för alla n ≥ 1.
3.4.7 Spridningsprincipen
Metoden med induktionsbevis är inte bara begränsad till att gälla heltal eller
naturliga tal. Generellt kan man säga att metoden innebär att man utg˚ar
32