EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

Proposition:
Om a, b, c, d, e och f är reella tal s˚adana att ad − bc �= 0 d˚a finns det
unika reella tal x och y s˚adana att ax + by = e och cx + dy = f.
Först m˚aste vi egentligen visa att talen x och y existerar, men det hoppar
vi över här. Istället koncentrerar vi oss p˚a att visa att x och y är unika. Vi
har antagandet och p˚ast˚aendet:
A: a, b, c, d, e och f är reella tal, s˚adana att ad − bc �= 0
P: D˚a finns det unika reella tal x och y s˚adana att ax + by = e och
cx + dy = f.
BEVIS GENOM ENTYDIGT UTTRYCK:
Vi har allts˚a tv˚a ekvationer att utg˚a fr˚an:
(1): ax + by = e
(2): cx + dy = f
Genom n˚agra algebraiska operationer p˚a ekvation (1) löser vi ut x, och
f˚ar en ny ekvation
(3): x = e−by
a .
Om vi sätter in detta resultat i ekvation (2) finner vi att y = af−ce
ad−bc .
Detta kan vi skriva, eftersom vi enligt antagandet har att ad − bc �= 0.
Detta uttryck för y sätter vi sedan in i ekvation (3), och f˚ar efter n˚agra
omflyttningar och förenklingar ett entydigt uttryck för x: x = de−bf
ad−bc .
Vi har allts˚a till slut följande resultat:
x =
de − bf
ad − bc
och y =
af − ce
ad − bc
Eftersom uttrycken för x och y b˚ada är entydiga (uttryckta i variablerna
a, b, c, d, e och f ), innebär detta att för varje val av reella tal a, b, c, d, e
och f, s˚adana att ad − bc �= 0, s˚a kommer x och y att vara unika!
Jag ger nu ytterligare ett exempel, där en annan sats visas b˚ade genom
ett generellt argument och genom att börja med att anta att det finns
tv˚a objekt.
42