EXAMENSARBETEN I MATEMATIK - Matematiska institutionen ...

3.4.4 Den starka principen för matematisk induktion
Ibland talar man om den starka principen för matematisk induktion
eller generell induktion. Den starka induktionsprincipen innebär:
Antag att vi har en utsaga P (n) där n är ett naturligt tal. Antag sedan
att P (n) har följande egenskaper:
1. Basfallet: P (n0) är sant, där n0 är det minsta heltal för vilket utsagan
sägs gälla.
2. Induktion: Om P (k) är sann för alla k = n0, n0 + 1, . . . , n − 1, n, s˚a
är även P (k + 1) sann.
D˚a vet vi att utsagan P (n) är sann för alla n ≥ n0.
Med den starka induktionsprincipen är vi allts˚a fria att anta att alla eller
vilka som helst av P (x) med n0 ≤ x ≤ n är sanna, och använda detta för
att visa att i s˚a fall är även P (n + 1) sann.
Oftast räcker det i praktiken att t.ex visa att om P (n − 1) och P (n) är
sanna, s˚a är ocks˚a P (n + 1) sann.
Ett par ord om skillnaden mellan den svaga och den starka induktionsprincipen:
”Om man läser den starka induktionsprincipen s˚a inser man lätt att den
svaga induktionsprincipen är en följd av den starka principen. Induktionshypotesen
i den svaga principen bygger p˚a antagandet att den givna utsagan
är sann för ett godtyckligt tal n. Induktionshypotesen i den starka principen
bygger p˚a antagandet att den givna utsagan är sann för alla tal fr˚an basfallet
upp till ett godtyckligt tal n.
I realiteten är dessa tv˚a principer ekvivalenta. Beviset för detta
är inte lätt; det best˚ar i att bevisa att var och en av de tv˚a principerna
är ekvivalent med en tredje princip, Välordningsprincipen [se avsnitt 3.5.2].
Därmed är den starka induktionsprincipen och den svaga induktionsprincipen
ekvivalenta. ” ([3], s.50-51)
Man kan alltid använda den starka induktionsprincipen i ett induktionsbevis,
men ofta räcker det att använda den svaga principen och beviset blir
d˚a kortare.
3.4.5 Den starka principen, exempel med ett basfall
Nedanst˚aende exempel är hämtat fr˚an Garnier & Taylor ([5], s.259-260)
med min översättning och mina omarbetningar. Exemplet gäller aritmeti-
30