PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

A.Ü. FEN FAKÜLTESI DÖNER SERMAYE I ŞLETMESI YAYINLARI NO: 54
GRUP GÖSTERİMLERİ I
Sait HALICIOĞLU
A.Ü. Fen Fakültesi
Matematik Bölümü
Ankara - 1999

GRUP GÖSTER İMLER İ I
Sait Hal ıc ıoğlu
Ankara Üniversitesi
Fen Fakültesi
Matematik Bölümü
ANKARA ÜN İVERSİTES İ
FEN FAKÜLTESI BASIMEVI

C)1999 Bütün hakları saklıd ır. Yazar ın yaz ılı izni olmaks ız ın bu kitab ın bir
k ısm ı veya tamam ı çoğaltılamaz ve kullan ılamaz.

Içindekiler
1 Gruplar ve Homomorfizmalar 1
1.1 Gruplar 1
1.2 Altgruplar 3
1.3 Direkt Çarp ımlar 5
1.4 Homomorfizmalar 5
1.5 Kosetler 7
1.6 Normal Altgruplar 7
1.7 Çekirdek ve Görüntü 8
1.8 Alışt ırmalar 10
2 Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler 13
2.1 Vektör Uzaylar ı 13
2.2 Vektör Uzaylar ın ın Bazlar ı 14
2.3 Altuzaylar 15
2.4 Altuzaylar ın Direkt Toplamlar ı 16
2.5 Lineer Dönü şümler 18
2.6 Çekirdek ve Görüntü 19
2.7 Tersinir Lineer Dönü şümler 20
2.8 Endomorfizmalar 20
2.9 Matrisler 21
2.10 Tersinir Matrisler 24
2.11 Ozde ğerler 25
2.12 Projeksiyonlar 26
2.13 Alışt ırmalar 30
3 Grup Gösterimleri 33
3.1 Gösterimler 33
3.2 Denk Gösterimler 35

ii
Içindekiler
3.3
3.4
Gösterimlerin Çekirde ği 37
Alışt ırmalar 38
4 FG-Modüller 41
4.1 FG-Modüller 41
4.2 Permütasyon Modülleri 47
4.3 FG-Modüller ve Denk Gösterimler 48
4.4 Alışt ırmalar 51
5 FG-Altmodüller ve İndirgenebilirlik 53
5.1 FG-Alt ınodüller 53
5.2 İndirgenmez FG-modüller 54
5.3 Alıştırmalar 56
6 Grup Cebirleri 57
6.1 Bir G Grubunun Grup Cebiri 57
6.2 Regüler FG-modül 60
6.3 Bir FG-Modül Üzerinde FG nin Etkisi 61
6.4 Alışt ırmalar 64
7 FG-Homomorfizmalar 65
7.1 FG-Homomorfizmalar 65
7.2 İzomorfik FG-Modüller 67
7.3 Direkt Toplamlar 70
7.4 Al ışt ırmalar 73
8 Maschke Teoremi 75
8.1 Maschke Teoremi 75
8.2 Maschke Teoreminin Sonuçlar ı 78
8.3 Alıştırmalar 80
9 Schur Lemmas ı 83
9.1 Schur Lemmas ı 83
9.2 Sonlu Deği şmeli Gruplar ın Gösterimleri 86
9.3 Kö şegenle ştirme 88
9.4 Schur Lemmas ının Uygulamalar ı 88
9.5 Alıştırmalar 92

Içindekiler
üi
10 İndirgenmez Modüller ve Grup Cebirleri 95
10.1 CG nin Indirgenmez Altmodülleri 95
10.2 Alıştırmalar 100
11 Izomorfizmalar ve Grup Cebirleri 101
11.1 CG-Homomorfizmalar ın Uzay ı 101
11.2 Alışt ırmalar 109
12 Eşlenik S ın ıflar ı 111
12.1 E şlenik S ınıflar ı 111
12.2 E şlenik S ın ıfları= Eleman Say ısı 113
12.3 Dihedral Gruplar ın E şlenik S ın ıflar ı 114
12.4 S, in E şlenik S ınıflar ı 116
12.5 Ar, in Eşlenik S ın ıflar ı 119
12.6 Normal Altgruplar 122
12.7 Bir Grup Cebirinin Merkezi 123
12.8 Alışt ırmalar 125

Önsöz
Bu kitap grup gösterimleri konusunda türkçe kaynak kitap ihtiyac ın ı kar şılayabilmek
amacıyla haz ırlanmışt ır. Kitab ın içeriği, A.ü.Fen Fakültesi Matematik
Bölümü'nde okutmakta oldu ğumuz Grup Gösterimleri I dersine
ders notu olmas ı amac ına uygun olarak düzenlenmi ştir. Bu ders notlar ı ,
G.D.Jaınes ve Martin Liebeck taraf ından haz ırlanmış olan "Representations
and Characters of Groups" adlı kitab ın ilk oniki bölümünün bir uyarlamas
ıd ır .
Gösterimler teorisi; genel bir ifadeyle, herhangi bir grubu, elemanlar ı
daha somut olmas ı sebebiyle i şlemler aç ısından daha rahat hareket edebileceğimiz
matrisler grubu olarak gözönüne alma imkan ı sağlar. Teori, kendi
içerisinde sahip oldu ğu güzelliklerin yan ıs ıra sonlu gruplar ı daha iyi anlayabilmek
ve analiz etmek için önemli anahtarlardan birisi olmu ştur. Örne ğin,
herhangi bir grubu somut biçimde ifade edebilmek oldukça önemlidir. Bu
problemin çözümü; verilen grubu matrislerin grubu olarak gözönüne almamızı
sağlayan grubun bir gösterimini bulmakla mümkündür. Ayr ıca gösterimler
teorisinde kullan ılan yöntemler yard ımıyla, gruplar teorisinde birçok
probleme çözüm bulmak mümkün olmaktad ır. En basit örnek olarak "p
asal olmak üzere mertebesi p 2 olan bütün gruplar de ği şmeli midir" sorusu
sadece grup teorisi kullan ılarak cevaplanabildi ği gibi gösterimler teorisinin
temel bilgileri kullan ılarak da cevaplanabilmektedir. Daha genel olarak "p
ve q asal say ılar olmak üzere pa q b mertebeli gruplar çözülebilir midir"
sorusunu gözönüne alal ım. Bu soru için Burnside taraf ından gösterimler
teorisi kullan ılarak verilen ispat, herkes taraf ından kabul edilen en iyi ispatt
ır. Ayr ıca, teori; soyut matematik s ınırlarını aşarak teorik fizik ve
kimyada birçok çözüme imzas ını atmıştır.
Daha önce belirtti ğimiz gibi bu kitap oniki bölümden olu şmaktadır. Konular,
gruplar teorisi ve lineer cebir derslerini okumu ş olan lisans öğrencilerinin
kolayca takip edebilece ği seviyede kaleme al ınmışt ır. Konular ın daha kolay
anla şılabilmesini sağlamak amac ıyla oldukça fazla say ıda örneklere yer ve;

vi
rilmi ştir. Her bölümdeki bilgiler, birkaç sat ırla özetlenmi ş ve bölüm sonlar ına •
konuyla ilgili ah şt ırmalar eklenmi ştir.
Son olarak bu kitab ın başlangıc ından basımı aşamas ına kadar her a şamas ında
büyük emekleri olan Ar ş.Gör. Muhittin Başer ve Ar ş.Gör. Zafer Ünal'a
te şekkür etmek istiyorum. Ayr ıca, UTEX kullan ımında kar şılaşt ığımız güçlükleri
aşmarnızı sağlayan Yrd.Doç.Dr.Andreas Tiefenbach'ada şükranlar ımı sunuyorum.
Oldukça titiz davranmam ıza rağmen, sonradan ortaya ç ıkacak yaz ım
hatalar ı için okuyucunun ho şgöriisüne sığınıyorum.
Sait Halıcıoğlu,
Aralık 1998, Ankara.

Bölüm 1
Gruplar ve
Homomorfizmalar
Bu bölümde gruplar ve homomorfizmalar ile ilgili bilinen bilgiler özetlenecektir.
Ayr ıca dihedral ve simetrik gruplarla ilgili örnekler incelenecektir. Bu bölümde
ilgili ayr ınt ılı bilgiler lisans seviyesinde cebir veya grup teorisi kitaplar ında
bulunabilir.
1.1 Gruplar
Bir grup, bostan farkl ı bir G kümesi ile a şağıdaki şartlar ı sağlayan ikili
i şlemden olu şmaktad ır.
(i) Her g,h,k E G için (gh)k = g(hk),
(ii) Her g E G için G nin bir e eleman ı vardır öyleki eg = ge = g,
(iii) Her g E G için G nin bir g -1 eleman ı vard ır öyleki gg-1 = e.
Genellikle G deki i şlemi çarpma olarak alaca ğız. (i) aksiyomu; birle şme
özelliğini, (ii) aksiyomu; birim eleman ın varlığın ı, (iii) aksiyomu; her elemanın
tersinin varl ığını göstermektedir.
Birim eleman ın ve her eleman ın tersinin tek oldu ğu kolayca gösterilebilir.
Genellikle G nin birim eleman ını 1 ile gösterece ğiz.
Bir g eleman ının kendisiyle çarp ımı , gg, g 2 şeklinde yaz ılır. Benzer
biçimde g3 = g2g, g-2
(9 -1)2 ve go 1 dir.
G nin eleman say ı s ı sonlu ise G ye sonlu grup, G nin eleman say ısına G
nin mertebesi denir ve 1 G şeklinde gösterilir.
1

2 Bölüm 1. Gruplar ve Homomorfizmalar
Örnek 1.1.1 n pozitif bir tamsay ı ve C kompleks say ılar cümlesi olsun. C
de birimin n. köklerinin kümesi, kompleks say ılardaki çarpma i şlemine göre
n. mertebeden bir gruptur. Bu gruba Tl- mertebeden devirli grup denir ve
C, şeklinde gösterilir.
Eğer a = e 27riin (1 < < n) ise, an = 1 ve
şeklindedir.
C, = {1,a,a2 ,...,an-1 }
Ornek 1.1.2 Z tamsay ılar cümlesi toplama i şlemine göre bir gruptur.
Ornek 1.1.3 n pozitif bir tamsay ı ve n > 3 olsun. n kenarl ı bir düzgün
poligonun tüm dönme ve yans ımalar ın ı göz önüne alal ım Bu durumda
bütün dönmeler, pk; 0 merkezi etrafında saat yönünde 2 ırk/n kadar dönmeyi
göstermek üzere Po,Pı , • • • , Pn-1 şeklinde olacakt ır. Ayr ıca 0 merkezi ve
poligonun bir köşesinden geçen doğrulara veya O merkezi ve poligonun kenarlarm
ın orta noktas ından geçen do ğrulara göre yans ımalar ın sayısı n dir.
Elde edilen dönme ve yans ımalar, fonksiyonlarm bile şke i şlemine göre bir
grup olu ştururlar. Bu gruba 2n. mertebeden ditı clral grup denir ve D, ile
gösterilir.
Poligonun bir kö şesi A olmak üzere, O ve A dan geçen do ğruya göre
yans ımay ı b, p ı dönmesini a ile gösterecek olursak; n tane dönmeyi,
ve n tane yans ımayı ,
1, a,..., an -1
b, ab, . . . , an-1 b
şeklinde ifade edebiliriz. Böylece /3„ in bütün elemanlar ı a ve b nin kuvvetlerinin
çarp ımı olarak elde edilmi ş olur.
Kolayca an = 1, b 2 = 1 ve b-lab = olduğu gösterilebilir. Bu
bağınt ılar, grubun herhangi iki eleman ının çarp ımın ın kuralın' belirler. Gerçekten;
bay = cı-3 b (ba = a- lb bağınt ısı yardım ıyla) ve
olur. Sonuç olarak
(aib)(ajb) = aibajb = ata-j bb = at-i
elde edilir.
D, =G a, b : an = b2 = 1,1)-1 ab >

1.2. , Altgruplar 3
Örnek 1.1.4 Bir n pozitif tamsay ıs ı için {1,2, ... , n} cümlesinin bütün
permütasyonlar ı, fonksiyonlardaki bile şke i şlemine göre bir gruptur. Bu
gruba simetrik grup denir ve S,„, ile gösterilir. 5„ simetrik grubunun eleman
say ıs ı n! dir.
Örnek 1.1.5 F cismi, R veya C olmak üzere, bile şenleri F den al ınan n x n
tipindeki tersinir matrislerin cümlesi, matris çarp ımına göre bir gruptur. Bu
gruba F üzerinde genel lineer grup denir ve GL(n, F) ile gösterilir. GL(n, F)
sonsuz elemanl ı bir gruptur. Bu grubun birim eleman ı birim matristir ve /-„,
veya / ile gösterilir.
Eğer her g, h E G için gh = hg ise, G ye değişmeli grup denir. Yukar ıdaki
örneklerde C, ve Z deği şmeli iken diğer örneklerdeki gruplar de ğişmeli değildir.
1.2 Altgruplar
Tan ım 1.2.1 G bir grup olsun. OHCG için H; G deki işleme göre bir
grup ise, H ya G nin altgrubu denir ve H < G şeklinde gösterilir.
H C G için kolayca gösterilebilir ki,
H < G< > V h, k E H için hk-1 e H ise.
Örnek 1.2.2 Her G grubu için {1} ve G; G nin altgruplar ıd ır.
Örnek 1.2.3 G bir grup ve g E G olsun.
< g >-= {gn : n E Z}
altcümlesi G nin altgrubudur. Bu altgruba g tarafından üretilen devirli
altgrup ad ı verilir.
Eğer bir n > 1 tamsay ıs ı için gn = 1 ise, < g > sonludur. Bu durumda
= 1 olacak şekilde bir en küçük pozitif r tamsay ısı vard ır. Bu r say ıs ı
< g > nin eleman say ısına eşittir. Bu durumda,
< g {1 , "2 gr .- 1}
şeklindedir.
Eğer bir g E G için G =< g > ise G ye devirli grup denir. Örne ğin Cn
ve 71 devirlidir.

4 Bölüm 1. Gruplar ve Homornorfizmalar
Örnek 1.2.4 G bir grup ve a, b E G olsun.
H := {ail bil . . . ain bin : n E N şi k,ik E Z, (1 < k < n)}
şeklinde tan ımlanan H, G nin bir altgrubudur. H ya a ve b tarafından
üretilen altgrup denir ve H =< a, b > şeklinde gösterilir.
Benzer biçimde G nin sonlu bir S altcümlesi için < S >; G nin S
tarafından üretilen altgrubudur.
Ornek 1.2.5 G = G L(2, (C), bile şenleri C den al ınan 2 x 2 tipindeki tersinir
matrislerin grubu ve
A =
olsun. H =< A, B >, G nin altgrubudur.
A4 /, A2
i
O
O 1 )
B = (
-1
) -
.16 ve B -1 AB = A -1
olduğu kolayca gösterilebilir.
B - 1 AB = A -1 yard ımıyla, H n ın her eleman ının formunda ve ilk
iki bağınt ıdan 0 < i < 3, 0 < j < 1 olduğu gösterilebilir. Böylece H nın
elemanlar ı
A i Bi (O < < 3, O < j < 1)
olduğundan H I= 8 dir.
H grubuna 8. mertebeden quaternion grubu denir ve Q 8 ile gösterilir. Q s
deki herhangi iki eleman ın çarp ımı yukarıdaki üç bağınt ıdan belirlenebilir.
Bundan dolay ı
şeklindedir.
Q8 =< A, B : A 4 = I, A 2 = B2 , 13 -1 AB = 24 -1 >
Ornek 1.2.6 Sn simetrik grubundaki bir transpozisyon, 1, ...,n say ılar ından
herhangi ikisinin yer de ğiştirdiği ve diğerlerinin sabit kald ığı bir permütasyondur.
Her o- E Sn permütasyonu, transpozisyonlar ın çarp ımı şeklinde
yaz ılabilir.
Bir o- permütasyonu, transpozisyonlarm ın sayısının tek veya çift olmas ına
göre tek veya çift permütasyon ad ını alır.
A n = { ı:7 E Sn : o' çift permütasyon}
altcümlesi Sn in bir altgrubudur. Bu altgruba alterne grup ad ım veriyoruz.

1.3., Direkt Çarpımlar 5
1.3 Direkt Çarp ımlar
Bu kısımda verilen gruplardan yeni bir grup in şa etme yöntemi verece ğiz.
G ve H iki grup olsun.
GxH= {(g,h):gEGvehEH)
cümlesini gözönüne alalım. g,g' E G ve h,h' E H için, G x H cümlesi
üzerinde
(gg', hh')
şeklinde tan ımlanan çarpma i şlemi ile G x H bir grup olur. Bu gruba G ile
H nın direkt çarpım grubu ad ını veriyoruz.
Genel olarak; G İ , , G, gruplar ı için G İ x x G, direkt çarp ımı
Gi X . X Gr {(gl > • • • gr) gi E Gi, 1 < i < r}
şeklindedir. Eğer bütün Gi gruplar ı sonlu ise G İ x ...x G, sonlu ve mertebesi
I G İ I ... I G„ l dir.
Örnek 1.3.1 C2 = {±1} olmak üzere C2 x ... x C2 (r-tane) grubunun
mertebesi 2' ve birim eleman d ışındaki elemanların mertebesi ise 2 dir.
1.4 Homomorfizmalar
Tan ım 1.4.1 G ve H iki grup olsun. E ğer G den H ya tan ımlanan bir O
fonksiyonu; her gi ,g2 E G için
0(gi g 2 ) = 0(gi )0(g2 )
ko şulunu sağlıyorsa O ya homomorfizma ad ı verilir.
Tersinir bir homomorfizmaya izomorfizma denir. G den H ya bir
izomorfizmas ı varsa G ve H ya izomorfiktirler denir ve G H şeklinde
gösterilir. G den H ya tan ımlanan bir O izomorfizmas ının tersi de bir izomorfizmad
ır.
Örnek 1.4.2 G = Dr, =< a,,b : an = b2 = 1,b- ıab = cı-1 > dihedral
grubunu gözönüne alal ım. H herhangi bir grup ve x, y E H için
n 2 -1 -1
X = y = , y xy = x

6 Bölüm 1. Gruplar ve Homomorfizmalar
olsun.
: H
a'b 7 --> 0(a1 b3 ) = xiy , (O < i < n - 1, O < j < 1)
fonksiyonunun bir homomorfizma oldu ğunu gösterelim. Kabul edelim ki,
O < r < n - 1, O < s < 1, O < t < n - 1, O < u < 1 olsun. Bu durumda
0 < i < n - 1, O < j < 1 için
ar b s at bu
ai bi
dir. Ayr ıca xn = y2 = 1, y-lxy = x -1 olduğundan
x r ys x tyu
x i yj
ve
0(arbsat bu) = 0(aibi) = x'y = xrysityu = O( rbs)0(cıt bu)
olur. Yani O bir homomorfizmad ır.
Örnek 1.4.3 G = S5 permütasyon grubu ve
olsun.
x = (12345), y = (25)(34)
X 5 = y2 = I, y-l xy = x -1
olduğu kolayca gösterilebilir. G nin x ve y tarafından üretilen bir altgrubu
H olsun. Yukar ıdaki bağınt ılardan
H={xy 1
:0=-=.. .' D5 olur.

1.5. Kosetler 7
1.5 Kosetler
Tan ım 1.5.1 G bir grup ve H, G nin bir altgrubu olsun. x E G için
H x = {hx : h E H}
altcümlesine H n ın G deki sağ koseti denir.
H nın G deki sağ kosetlerinin cümlesi G nin bir parçalanmas ıdır. Kabul
edelim ki G sonlu bir grup ve H nın G deki farkl ı sağ kosetleri Hx1,...,Hx,
olsun. Her 1 < i < r için kolayca gösterilebilir ki,
H -- H xi
h --> hxi
fonksiyonu birebir ve örtendir. Böylece I H 1=1 Hxi I dir.
G = _19- xi U ... U Hx, ve i j için Hxi n Hxj olduğundan
1G 1=1 Hxi 1 -F
11x, 1= r 1 H I
olur.
Teorem 1.5.2 (Lagrange Teoremi) G sonlu bir grup ve H < G ise, H
n ın mertebesi G nin mertebesini böler.
Tan ım 1.5.3 H nın G deki farkli sağ kosetlerinin say ısı olan r ye H nın G
içindeki indeksi denir ve [G : H] şeklinde gösterilir.
dir.
Böylece G sonlu ise,
[G:H]=1G1I1H1
1.6 Normal Altgruplar
Tanım 1.6.1 G bir grup ve N, G nin bir altgrubu olsun. E ğer her g E G
için g-1 N g = N ise N ye G nin normal altgrubu denir ve N

8 Bölüm 1. Gruplar ve Homomorfizmalar
N 4G ve G/N; N nin G deki sağ kosetlerinin cümlesi olsun. Her g E G
için g — iNg = N olduğundan; g, h E G için
şeklindedir. Böylece -her g,h E G için
Ngh = {xy :x E Ng ve y E Nh}
(Ng)(Nh) = Ngh
i şlemiyle G/N bir grupt ıır. Bu gruba G nin N ye göre bölüm grubu adı
verilir.
Örnek 1.6.3 A n d S„ dir. Gerçekten n > 2 ise, A, in S, deki sağ kosetleri:
Ay, .= {o- E .5'7, : a çift permütasyon}
4n (12) = {er E S, : o- tek permütasyon}
şeklindedir. Bu durumda [Sn : A n ]
, 2 ve böylece Sn /A n C2 dir.
Örnek 1.6.4 G = D4 = a, b : a4 = b 2 ----- 1, b—l ab = a-1 > ve N=< a 2 >
olsun. Bu durumda N .1 G ve
G/N = {N,Na,Nb,Nab}
olur. (Na) 2 = (Nb) 2 = (N ab) 2 = N olduğundan,
G/N
C2 X C2
dir. < a >; G nin normal altgrubu olmas ına rağmen, H =< b >; G nin
normal altgrubu de ğildir. Gerçekten b E H için, a— lba = a 2 b ve a 2 b H
dir.
1.7 Çekirdek ve Görüntü
Tan ım 1.7.1 O : G --> H bir homomorfizma olsun.
Ker0 = {g E G : 0(g) = 1H}
cümlesine B n ın çekirde ği denir. Kolayca gösterilebilir ki Kere; G nin bir
normal altgrubudur. Ayr ıca
IntO {O(g) = : g E G}
cümlesine de O n ın görüntüsü denir. Im0; H nın bir altgrubudur.

1.7. Çekirdek ve Görüntü 9
Şimdi bir grup homomorfizmas ın ın çekirdeği ile görüntüsü aras ındaki
ili şkiyi verelim.
Teorem 1.7.2 (Birinci İzomorfizma Teoremi) B : G
homomorfizmas ı olsun. Bu durumda
II bir grup
G/Ker0 = Ime
d ır.
Örnek 1.7.3
O Sn —> C2
1, g çift permütasyon ise
-
g °(g) = -1, g tek permütasyon ise
fonksiyonu bir grup homomorfizmas ıd ır. Ayr ıca Kere = A., ve
dir. Birinci Izomorfizma Teoreminden Sn/A, C2 dir.
= C2
1. Bölümün Özeti
(i) Bu bölümde verilen grup örnekleri:
C, .< a : an = 1 >,
D, =< a,b: an = b2 =1,b-l ab = >,
Q 8 =< a,b : a4 = 1, a 2 = b2 ,b-lab a-1 >,
Sn ; simetrik grubu,
An ; alterne grubu,
GL(n,(C); bile şenleri C den alman n x n tipindeki tersinir matrislerin
grubu,
Gl x x GT.; G ı , , G, gruplar ın ın direkt çarp ımı
(ii) N < G ve her g E G için g-i Ng = N ise N; G nin normal altgrubudur.
G/N bölüm grubu; Ng şeklindeki sağ kosetler ve
ikili işleminden olu şur.
(Ng)(Nh) = Ngh

10 Bölüm 1. Gruplar ve Homomorfizmalar
(iii) Bir O grup homomorfizmas ı; her y ı , g2 E G için
0(9192) = 0(91)0(92)
şart ın ı sağlayan O : G ----> H fonksiyonudur. Ker0; G nin normal
altgrubudur ve G/Ker0 bölüm grubu /mO ya izomorftur.
1.8 Al ışt ırmalar
(1) G basit olmayan de ğişmeli bir grup ise, bu durumda G nin asal mertebeden
bir devirli grup oldu ğunu gösteriniz.
(2) G ve H iki grup, G basit grup ve B : G —> H örten bir homomorfizma
olsun. Bu durumda O n ın bir izomorfizma veya s ıfır homomorfizmas ı
olduğunu gösteriniz.
(3) G; S„ simetrik grubunun A, taraf ından kapsanmayan bir altgrubu
olsun. Bu durumda G fl A n in G nin normal altgrubu ve
G /(G fl An ) = C2 olduğunu gösteriniz.
(4) G =- D4 =< a,b : a4 = b 2 = 1, b- lab = (2-1 > ve
H = Q 8 c, d e 4 e2 = d2,d- ı ed = c-1 > olsun.
(a) x = (12), y = (34), S4 ün iki permütasyonu ve K =< x, y >;
S4 ün bir altgrubu olsun. 0 < r < 3 ve 0 < s < 1 olmak üzere,
(b)
çb : G ---> K ve ı : H K
arbs --> xrys er ds --> xrys
şeklinde tan ımlanan iki fonksiyonun homomorfizma oldu ğunu gösteriniz
ve K er0 ile Kerli) yi belirleyiniz.
X =
y O
1 O
L =< X,Y >; GL(2, (C) nin altgrubu olsun. O < r < 3, O < s < 1
olmak üzere
A : G --> K ve p : H ---> K
arbs --> XrYs er xrys
şeklinde tan ımlanan fonksiyonlar ın izomorfizma olduklar ını gösteriniz.

1.8. Al ışt ırmalar 11
(5) rn tek tamsay ı olmak üzere Dem = 13,, x C2 olduğunu gösteriniz.
(6) (a) Devirli bir grubun her altgrubunun devirli oldu ğunu gösteriniz.
(b) G sonlu devirli bir grup ve n, I G I yi bölen bir tamsay ı olsun.
{9 e G : gn = 1}
cümlesinin G nin n. mertebeden devirli bir altgrubu oldu ğunu
gösteriniz.
(c) G sonlu bir devirli grup, x ve y; G nin ayn ı mertebeden elemanlar ı
olsun. x in y nin bir kuvveti olduğunu gösteriniz.
S ıfırdan farkh kompleks say ılar ın cümlesi, C* ın çarpma i şlemine göre
bir grup oldu ğunu gösteriniz. Ayr ıca C* ın her sonlu altgrubunun
devirli oldu ğunu ispatlay ınız.
Mertebesi çift olan her grubun, mertebesi 2 olan bir eleman içerdi ğini
gösteriniz.
G L(2, C) nin B 2 = A4 , B -1 AB = A-1 bağınt ılar ını sağlayan, s ıras ıyla
mertebeleri 8 ve 4 olan A ve B elemanlar ını bulunuz. < A, B >
grubunun mertebesinin 16 oldu ğunu gösteriniz.
(Yol Gösterme: Örnek 1.2.5 deki Q 8 den yararlan ınız.)
(10) H; G nin bir altgrubu ve [G : H] = 2 ise, H 4 G olduğunu gösteriniz.

Bölüm 2
Vektör Uzaylar ı ve Lineer
Dönüşümler
Gösterimler teorisinin özelliklerinden birisi de matemati ğin önemli dallar ı
olan grup teorisi ve lineer cebiri birle ştirmesidir. ileride kullanaca ğımız bilgiler
için, referans amac ıyla lineer cebirin vektör uzaylar ı , lineer dönü şümler
ve matrisler konular ın ı hat ırlatmak istiyoruz. Bu konular ın lineer cebir
derslerinden bilindi ği düşiinülerek, son k ısımda verece ğimiz projeksiyonlar
d ışında ispatlar ın çoğu verilmeyecektir.
2.1 Vektör Uzaylar ı
Tan ım 2.1.1 F reel veya kompleks say ılar cismi, V boştan farklı bir cümle
olsun. V üzerinde
: V x V ----> V
(u, v) u v
i şlemleri;
• :
F x V ---> V
(,u) ---> Au
(1) V toplamaya göre de ği şmeli bir grup,
(2) Her u, v E V ve her A, İL e F için,
(a) A(u v) = Au -I- Av,
13

14 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü ş ümler
(b) (>, i.t)u = Au
(c) (A>u)n, = A(Fin),
(d) lv = v (1, F nin çarpmaya göre birim eleman ı )
özelliklerini sa ğlıyorsa V ye F üzerinde vektör uzay ı denir. V nin toplamaya
göre birim eleman ını 0 ile gösterece ğiz.
Ornek 2.1.2 R. 2 = {(x, y) : x, y E R} cümlesi
(x, y) 4- (x', y') = (x y y')
A(x,y) = (Ax, Ay)
i şlemleri ile birlikte R üzerinde bir vektör uzay ıdır.
Ornek 2.1.3 Her n pozitif tamsay ısı için
sat ır vektörlerinin cümlesi olsun.
= {(xl, X n ) : xi E F, 1 < i < It}
(x ı,...,x n )+ (Y İ , ••• , Yn) (X1 + ı • • • ı xn Yn)
A(X İ , ..• Xn)
i şlernleriyle Fn; F üzerinde bir vektör uzay ıdır.
2.2 Vektör Uzaylar ın ın Bazlar ı
(AX1, • • • , Xn)
V; F üzerinde bir vektör uzay ı ve vi, . • ., un E V olsun.
Al, • - , An E F olmak üzere v vektörü
v =
şeklinde yaz ılabiliyorsa v ye vi , , vn vektörlerinin bir lineer kombinasyonu
denir.
V deki her vektör v i , , vn vektörlerinin bir lineer kombinasyonu şeklinde
yazılabiliyorsa vi , ..., vn vektörleri V yi geri yor denir.
Al, •-• , An E F için
Aivı
... An yn = O
olmas ı Ai katsay ılar ının tamam ın ın 0 olmas ını gerektiriyorsa {v i , , un }
cümlesine F cismi üzerinde lineer bağıms ızd ır denir.

2.3. Altuzaylar 15
Eğer vi , ..., vn vektörleri germe ve lineer ba ğımsızlık aksiyomlar ını sağlıyorsa
{v i , vn } ciimlesine V nin bir baz ı denir.
Bu kitab ın tamam ında, V; F cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör
uzay ı olarak gözönüne al ınacakt ır. Yani; V vektör uzay ı sonlu say ıda vektörden
olu şan bir baza sahip olacakt ır. V nin herhangi iki baz ındaki vektörlerin
say ısı her zaman aynıdır. V nin herhangi bir baz ındaki vektörlerin say ısına
V nin boyutu denir ve dimV ile gösterilir. Ayr ıca V = {0} ise dimV = 0 dır.
Eğer dimV = n ise V ye n-boyutlu vektör uzay ı ad ı verilir.
Örnek 2.2.1 V = Fn olsun. Bu durumda
(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1)
vektörleri V nin bir baz ıdır ve dimV = n dir. V nin bir diğer baz ı da;
(1,0,0,...,0),(1,1,0,...,0),...,(1,1,1,..., 1)
olarak alınabilir.
V nin bir {vi , , vn} baz ı verildiğinde Al, ..., An E F olmak üzere
V deki her v vektörünün,
V =
+ • • • + AnVn
yaz ılışı tek türlüdür. Böylece v vektörünü A l , , >n katsay ıları belirler.
Yukarıda da belirtildi ği gibi V = {0} durumu hariç V nin birçok baz ı
mevcuttur. Gerçekten, a şağıdaki önerme bize lineer ba ğımsız vektörlerin
nasıl bir baza tamamlanabilece ğini göstermektedir.
Önerme 2.2.2 Eğer {v i ,— , vk}; V nin lineer ba ğıms ız vektörlerinin bir
cilmlesi ise, bu durumda {v i , , vk, vk +i, , vn}; V nin bir baz ı olacak
şekilde V de vk +i, lineer bağıms ız vektörleri bulunabilir.
2.3 Altuzaylar
Tanım 2.3.1 V, F üzerinde bir vektör uzay ı ve U; V nin bir altcümlesi
olsun. Eğer U; V deki toplama ve skalerle çarpma i şlemlerine göre bir vektör
uzay ı ise, bu durumda U ya V nin altuzay ı denir.

16 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler
şart
U C V altcümlesinin V nin bir altuzay ı olmas ı için gerek ve yeter
olmas ıd ır.
(i)u,vEUiçinu+vEU
(ii) A E F, u E U için An E U (2.1)
Örnek 2.3.2 {O} ve V; V nin altuzaylar ıd ır.
Örnek 2.3.3 ur E V olsun. u ı , , ur nin tüm lineer kombinasyonlar
ının cümlesi ,5'p{u ı , , ur }; V nin bir altuzay ıdır. Bu uzaya u i , ..., ur
ından gerilen altuzay ad ı verilir.
vektörleri taraf
Şimdi Önerme 2.2.2 nin bir sonucunu verelim.
Sonuç 2.3.4 U, V vektör uzay ın ın bir altuzay ı olsun. Bu durumda
dimU < dimV dir. Ayr ıca dimU = dimV olmas ı için gerek ve yeter şart
U = V olmas ıd ır.
2.4 Altuzaylar ın Direkt Toplamlar ı
V vektör uzay ının Uİ ,
, U,. altuzaylar ın ın toplamı
+ Ur = {u i + + ur : ui E U„ 1 < i < r}
şeklinde ifade edilir. (2.1) yard ım ıyla Uı -I- • • .
kolayca gösterilebilir.
U, nin V nin altuzay ı olduğu
Tan ım 2.4.1 u, E U, (1 < i < r) olmak üzere, e ğer her u i . • • + ur
eleman ın ın yaz ılışı tek türlü belirliyse ... + U, toplam ına Ui , ..., U,
vektör uzaylar ının direkt toplam ı denir ve
şeklinde gösterilir.
Ui ^ ...® U,
Örnek 2.4.2 {vi,...,vn }; V nin bir baz ı ve 1 < i < n için Ui = Sp{
ise, bu durumda
olur.
V =
e) . . . ED Ur

2.4. Alt uzaylann Direkt Toplamlar ı 17
Örnek 2.4.3 U; V nin bir altuzay ı ve {vi , vk} ; U nun bir baz ı olsun.
Onerme 2.2.2 yard ımıyla {vi , , vk} y ı V nin bir {vi , ..., baz ına
tamamlayabiliriz. E ğer W = Sp{vk+1, • • • , vn} olarak al ın ırsa,
olur.
V=UeW
Şimdi herhangi iki altuzay ın direkt toplamıyla ilgili oldukça kullanışlı bir
sonuç verelim.
Sonuç 2.4.4 V = U + W olmak üzere {u ı ,... ,u,}; U nun ve
{'wl, • • • , w s}; W nin bir baz ı olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir.
(i)V=UeW
(ii) {ui, , ur, /Bi, ws }; V nin bir baz ıdır.
(iii) U n W = {0}.
Sonuç 2.4.5 U, W,
olmak üzere, e ğer
ve
Wı , • • ., Ws; V vektör uzay ın ın altuzayları
V=U e W
U =
ur
ise, bu durumda
w =
e • • • e ws
dir.
V = e . . Ur e Wı e • • • e ws
Şimdi vektör uzaylar ı için gruplar ın direkt çarp ımlar ının in şas ına benzer
bir in şa yöntemi verece ğiz.
Kabul edelim ki
, Ur; F cismi üzerinde vektör uzaylar ı ve
V -= {(ui, , ur ) : E Ui , 1 < < r}

18 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü ş ümler
olsun.
E F ve ui , u2 E Ui (1 < i < r) için
(u ı ,..• , ur) + (ui, • • • , u'r) = (u ı 4 ui, • • • , ur --F ulr)
A(u i , , ur) = (Att ı , • • ., Aur)
i şlemleriyle V; F üzerinde bir vektör uzay ı olur. Ayr ıca
Ui =
şeklinde tan ıınlanırsa;
v =
: u E Ui, (ui, i.bile şende)}
... e u„."
olur. Bu durumda V ye Ui , ..., Ur vektör uzaylar ının dış direkt toplam ı
denir ve
şeklinde gösterilir.
V =
• • (1) Ur
2.5 Lineer Dönü şümler
Tan ım 2.5.1 V ve W; F üzerinde vektör uzaylar ı olsunlar. Her u,v E V
ve her E F için 0 : V --> W fonksiyonu
0(u + v) = 0(u) -I- 0(v)
0(v) A0(v)
şartlar ını sağhyorsa, 0 ya V den W ya lineer dönüşüm denir.
Grup homomorfizmas ı sadece gruptaki çarpmay ı korurken, lineer dönüşüm;
toplama ve skalerle çarpmay ı da korur.
Eğer B : V ----> W bir lineer dönü şüm ve {vi , V nin bir baz ı ise,
bu durumda A l , , A n E F olmak üzere
O( ı\ i vı + ...+ A n vn)= Ale(vı )+ ...+ AnO(vn)
dir.
Yani, 0; V nin baz elemanlar ı üzerindeki etkisiyle belirlenebilir. Ayr ıca,
V vektör uzay ın ın bir {vi, , v,,} baz ı ve W vektör uzay ın ın herhangi
, tu r, vektörleri verildi ğinde 0(A ı vi An v,2 ) = A ı wi Anwn
olacak şekilde bir tek ç : V 14r, çb(vi) = wi (1 < i < n) lineer dönü şümü

2.6. Çekirdek ve Görüntü 19
vard ır. Genel olarak bir çb : V W lineer dönü şümünü tan ımlarken, q5 nin
sadece V nin baz elemanlar ı üzerindeki etkisini verecek ve bu etki "lineer
olarak genişletilsin" diyeceğiz.
2.6 Çekirdek ve Görüntü
V ve W iki vektör uzay ı ve O : V W bir lineer dönü şüm olsun. O nın
çekirdek ve görüntü cümlesi a şağıdaki gibi tammlamr:
Kere = {v E V : 0(v) = Ow}
/m0 = {0(v) EW:vE V}
Kere; V nin ve /m0; W nin altuzaylar ıd ır. Bu uzaylar ın boyutlar ı ,
şimdi verece ğimiz "Rank-Nullity Teoremi" olarak bilinen teorem yard ımıyla
hesaplanabilir.
Teorem 2.6.1 (Rank-Nullity Teoremi) V ve W iki vektör uzay ı ,
O :V ----> W bir lineer dönüşüm olsun. Bu durumda
dir.
dimV = dim(Ker8)+ dim(ImO)
Örnek 2.6.2 Eğer O : V --> W fonksiyonu her v E V için 0(v) = O ise, bu
durumda O bir lineer dönü şümdür ve
dır.
K erB = V, Ime = {O}
Örnek 2.6.3 Eğer O : V V fonksiyonu her v E V için 0(v) = 3v ise, bu
durumda O bir lineer dönü şümdür ve
dir.
Örnek 2.6.4
Kere = {0}, Ime = V
t9 : R3 --> R 2
(x , y, z) 0(x , y, z) = (x + 2y z, —y + 3z)

20 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler
şeklinde tan ımlanan B bir lineer dönü şümdür. Ayr ıca
Ker9 = {(x, y,z) E R3 : 9(x, y,z) = O}
{(x, y,z) E 1i83 : (x 2y + z,—y 4-3z) = 0}
{(x,y,z) E 118 3 : x 2y + z = O, y = 3z, x,y,z E IR}
=- {(x,y,z) E R3 : x = 3z, y = —3z, x,y,z E IR}
Sp{(7,-3,-1)}
Ime
= R2
şeklindedir. Sonuç olarak dim(Ker0) = 1 ve dim(ImO) = 2 dir.
2.7 Tersinir Lineer Dönü şümler
V ve W, F cismi üzerinde vektör uzaylan olsunlar. 9 : V --> W lineer
dönü şümünün birebir olmas ı için gerek ve yeter şart Ker9 = {0} olmas
ıdır. Böylece 9 n ın tersinir olmas ı , 9 nın örten ve Ker9 = {0} olmas ı ile
mümkündür. Ayr ıca bir lineer dönü şümün tersi de lineer dönü şümdür.
Eğer V den I/V ya tan ımlanan tersinir bir lineer dönü ş üm varsa, V ve W
ya izomorfik vektör uzaylar ı denir. "Rank-Nullity Teoremi" izomorfik vektör
uzaylar ın ın aynı boyuta sahip olduklar ın ı söyler.
Sonuç 2.7.1 O; V den V ye tan ımlanan bir lineer dönüşüm olsun. Bu
durumda aşağıdakiler denktir.
(i)
9 tersinirdir.
(ii) Kere = {0}
(iii)
Ime = V
2.8 Endomorfizmalar
Tan ım 2.8.1 V bir vektör uzay ı olmak üzere, V den V ye tan ımlanan bir
lineer dönü şüme endomorfizma denir.
9 ve O; V nin endomorfizmalar ı ve A E F olsun. Her v E V için V den V
ye tan ımlanan

2.9. Matrisler 21
(0 + )(v)
(00)(v)
(A9)(y)
=
=
=
0(v) + 0(v)
0(0(v))
A(0(y))
fonksiyonlar ı V nin endomorfizmalar ıd ır. Bundan sonra 00 yı 02 şeklinde
gösterece ğiz.
Örnek 2.8.2 Her v E V için lv : V --> V; lv(v) = v şeklinde tanımlanan
birim fonksiyon V nin bir endomorfizmas ıdır.
Eğer 0; V nin bir endomorfizmas ı ise, bu durumda her A E F için 0 —Alv
fonksiyonu da V nin bir endomorfizmas ıdır. Ayr ıca
şeklindedir.
K er(O — Alv) = {v E V : 0(v) = .Xv}
Örnek 2.8.3 V = IR 2 olmak üzere V den V ye
e(x, y) (x + y, x — 2y)
0(x,y) = (x — 2y, —2x + 4y)
şeklinde tan ımlanan fonksiyonlar ı gözönüne alalım. 0 ve O; V nin endomorfizmalar
ı d ır ve 0 + cb, Oçb, 30 ve 9 2 fonksiyonlar ı ;
şeklindedir.
(0 + 0)(x, y) = (2x — y,—x + 2y)
(00)(x, y) = (—x + 2y, 5x — 10y)
(39)(x, y) = (3x + 3y,3x — 6y)
02 (x, y) = (2x — y, —x + 5y)
2.9 Matrisler
V; F üzerinde bir vektör uzay ı , O; V nin bir endomorfizmas ı ve
B = ... ,v,„}; V nin bir baz ı olsun. Bu durumda her j için
0(vi ) = alivi + .. • + anivn
olacak şekilde aii E F (1 < i, j < n) vard ır.
Tanım 2.9.1 n x n tipindeki (ait) matrisine 0 nın B bazına göre matrisi
denir ve MB ile gösterilir.

22 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler
Örnek 2.9.2 Eğer B = lv ise, V nin bütün B bazlar ı için [0]B = In olur.
Örnek 2.9.3 V = R 2 ve
0 : V V
(x,y) ---> 0(x, y) = (x + y,x — 2y)
V nin bir endomorfizmas ı olsun. Eğer; V nin iki baz ı B = «1,0),(0,1)} ve
= «1,0),(1,1)} ise, bu durumda
olduğundan
0((1,0)) = (1,1) = 1(1,0)+1(0,1)
O((0,1)) = (1,-2) = 1(1,0) + (-2)(0,1)
0((1,0)) = (1,1) = 0(1,0)+1(1,1)
0((1,1)) = (2, —1) = 3(1,0)+ (- 1)(1,1)
[6 ]B _21 ) ve İ —1 )
şeklindedir.
Eğer bir A matrisinin bile şenleri F den alınıyorsa, bu durumda A ya F
üzerinde bir matris denir.
m x n tipindeki A = (atik), B = (bil) matrislerini gözönüne alal ım. A+B;
(i, j). bileşeni aii + bir olan m x n tipinde bir matristir.
A E F için AA matrisi, m x n tipinde ve bile şenleri, A nın her bir bile şeni
ile A nın çarp ımı olan bir matristir.
Eğer A = (ait ); m x n tipinde ve B = (bii) n x p tipinde matrisler ise,
bu durumda AB; m x p tipinde ve (i, j). bile şeni
olan bir matristir.
k=1
aikbki
—1 2) ( O — 4
Örnek 2.9.4 A = ( 3 ve B = matrisleri için
1
2 —1
( A
1 2 ) —3 6
-F B 3A =
5 O ' ( 9 3 ) '
( 4 2 ( —12 —4 )
AB = B A =
2 —13 ) ' —5 3

2.9. Matrisler 23
şeklindedir.
Herhangi bir baza göre iki endomorfizman ın toplamı ve çarp ımına kar şılık
gelen matrisler a şağıdaki gibi hesaplan ır.
Sonuç 2.9.5 Kabul edelim ki B; V nin bir baz ı, O ve O; V nin iki endomorfizmas
ı olsun. Bu durumda,
[o + 0]B = [6]B + [0]B, [00]B = [0]B[0]13
ve her A E F için
[A0]B = A M B
şeklindedir.
V vektör uzay ının bir endomorfizmas ı ve bir B bazı verildi ğinde, bu endomorfizmaya
kar şılık gelen matrisin nas ıl bulunacağını gördük. Şimdi de
bir matris verildiğinde bu matrise kar şılık gelen endomorfizmamn nas ıl bulunacağını
görelim
Kabul edelim ki, A; F üzerinde n x n tipinde bir matris ve V = Fn,
xi E F olmak üzere
X1
( n)
şeklindeki sütun vektörlerinin vektör uzay ı olsun. Her v E V için Av E V
dir. Eğer A; n x n tipinde bir matris ise, (v E Fn ) için v —k Av fonksiyonu
Fn in bir endomorfizmas ıd ır.
Örnek 2.9.6 A = 31 2
için A ya kar şılık gelen O endomorfizmas ı
)
1 –1
0(x,y)= x = (x – y,3x + 2y)
3 2 y
şeklindedir.

24 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler
2.10 Tersinir Matrisler
A; n x n tipinde bir matris olsun. E ğer AB = BA = I n olacak şekilde It x 72
tipinde bir B matrisi mevcutsa A ya tersinir matris, B ye de A n ın tersi
denir ve A -1 şeklinde gösterilir. A n ın determinant ım detA ile gösterecek
olursak, A n ın tersinir olabilmesi için gerek ve yeter şart detA 0 olmas ıdır.
Sonuç 2.9.5 den dolay ı tersinir matrisler ile tersinir endomorfizmalar
aras ında doğrudan bir ili şki vard ır.
V nin bir B bazı verildiğinde V nin O endomorfizmas ının tersinir olmas ı
için gerek ve yeter ko şul [01B matrisinin tersinir olmas ıd ır.
Tersinir matrisler bir vektör uzay ının iki baz ın ı birbirine dönü ştüriir.
Tan ım 2.10.1 B = , vn} ve B' = }; V nin bazlar ı olmak
üzere, 1 < j < n için
Vi = t ıiVi -I- • • • + tnjvn
olacak şekilde tii E F vardır. Bu durumda n x n tipindeki T = (tij) tersinir
matrisine B den B' ye baz de ğişim matrisi denir. T' matrisi de B' den B
ye baz deği şim matrisidir.
Eğer B ve B'; V nin bazlar ı ve O; V nin endomorfizmas ı ise, bu durumda
T; B den B' ye baz deği şim matrisi olmak üzere
şeklindedir.
= T -1 [0IBT
Örnek 2.10.2 V = Ik 2 , B = «1,0),(0,1)} ve B = {(1,0),(1,1)}; V nin
iki baz ı olsun. Bu durumda baz de ği şim matrisleri
T
= (
şeklindedir.
Eğer V nin bir endomorfizmas ı ;
1 O ve T_ i = (
O 1
1 —1 )
O 1
: (x, y) --> (x + y, x — 2y)
ise, bu durumda

•
2.11. Özdeğerler 25
C
O 1)( 1 -2 O 1)
olur.
▪
T -1 [0]BT
2.11 Özdeğerler
Tan ım 2.11.1 V; F üzerinde n-boyutlu bir vektör uzay ı ve O; V nin bir
endomorfizmas ı olsun. 0 v E V için
0(v) = Av
ise, A ya O n ın bir özde ğeri ve v ye de O n ın bir özvektörü adı verilir.
A E F nin O nın bir özdeğeri olmas ı için gerek ve yeter şart
K er(B - Alv) {O} olmas ıdır. Ayr ıca K er(0 - Alv) {0} olmas ı için gerek
ve yeter şart O - Alv tersinir olmamas ıdır. Böylece B; V nin bir baz ı ise O
n ın özde ğerleri olana E F ler
det([0]B - AL, 2 ) = 0
denklemini saklar. Bu denklemi çözmek; n yinci dereceden bir polinomun
köklerini bulmak demektir. Sabit olmayan kompleks katsay ıh her polinomun
C de en az bir kökü oldu ğundan a şağıdaki sonucu verebiliriz.
Sonuç 2.11.2 V; C üzerinde s ıf ırdan farklı bir vektör uzay ı ve 0; V nin bir
endomorfizmas ı olsun. Bu durumda B en az bir özde ğere sahiptir.
Örnek 2.11.3 V = C2 ve O; V nin 6,(x , y) = (-y, x) ile verilen bir endomorfizmas
ı olsun. Eğer B = {(1, 0), (0, 1)}; V nin bir baz ı ise, bu durumda
olur.
m13 ( O — 1 )
1 O

26 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler
det([0]B — A/2) = A 2 1- 1 = 0 ve böylece A l = i, A2 = O n ın
özdeğerleridir. Bunlara kar şılık gelen özvektörler ise (1, i) ve (—i, 1) şeklindedir.
Eğer V nin diğer bir baz ını B' = {(1,i),(—i, 1)} olarak seçersek,
olarak bulunur.
[0]B, =
Örnek 2.11.4 V = R 2 ve 0; V nin 0(x, y) = (—y, x) ile verilen bir endomorfizmas
ı olsun. Bu durumda V; IR üzerinde bir vektör uzay ı olmas ına rağmen
F C oldu ğundan B n ın reel bir özdeğeri yoktur.
A; n x n tipinde bir matris ve Fn sütun vektörlerinin cümlesi olsun. E ğer
O v E Fn için
Av = Av
olacak şekilde bir A E F bulunabiliyorsa, bu durumda A ya A n ın bir özde ğeri
denir. Ayr ıca
det(A — Al n ) = 0
denklemini sağlayan A E F ler A n ın özdeğerleridir.
Örnek 2.11.5 A = (aij); n x n tipinde bir matris olsun. i j için atik = 0
ise, A ya kö şegensel matris denir ve bu matris
A .=
ai 0
O A n.
formundad ır. Ayr ıca 1 < i < n için cıii = Ai ve A matrisinin özde ğerleri
- , An dir.
2.12 Projeksiyonlar
Eğer V; U ve W altuzaylar ının direkt toplam ı olan bir vektör uzay ı olsun.
Şimdi V nin V= Ue W ifadesine bağlı bir endomorfizmas ını in şa edece ğiz.

2.12. Projeksiyonlar 27
Onerme 2.12.1 V = U El) W ve Ir fonksiyonu u E U ve w E W için
ır : V
(u w) 7r(u + w) = u
olsun. ir; V nin bir endomorfizmas ıdır ve
dir.
f ın ır = U, K erır = W ve 7r 2
Ispat V = U e W olduğundan V deki her v vektörü; u E U ve w E W
olmak üzere v = u + w şeklinde tek türlü belirlidir. Böylece ir iyi tanımlı
olur.
Eğer v, v' E V ise, bu durumda u, u' E U ve w, w' E W olmak üzere
v = u + w ve v' = u' + w' şeklindedir.
Her A E F için
7r(v + vi) = 7r(u + w + u' + tv')
• 7r(u + u' + w + w')
• u + u'
• 7r(v) + 7r(v')
7r(Av) = 7r(Au+ Aw) = Au = A7r(v)
olur. Böylece ir; V nin bir endomorfizmas ıd ır.
Aç ık olarak Imir C U dur. Her u E U için ir(u) = u olduğundan u E Imir
dir. Dolay ısıyla Imir = U olur.
7r( ıı +w) O< >-u 0< >u+wEW
olduğundan Ker7r = W olur.
Son olarak, her u E U ve her w E W için
7r 2 (u + w) = 7r(7r(u+ w)) = 7r(u) = u = 7r(u + w)
olduğundan 7r 2 = 7r elde edilir.
■
Tan ım 2.12.2 7r; V vektör uzay ının ir 2 = ır özelli ğini sağlayan bir endomorfizmas
ı ise, bu durumda ir ye V nin bir projeksiyonu denir.
Örnek 2.12.3 0 : (x, y) --> (2x + 2y, —x — y) endomorfizmas ı IR. 2 nin bir
projeksiyonudur.

28 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dön üşümler
Şimdi Önerme 2.12.1 den faydalanarak, bir projeksiyon yard ım ıyla bir
vektör uzay ının, altuzaylar ının bir direkt toplam ı olarak yaz ılabilece ğini göreceğiz.
Onerme 2.12.4 Eğer ir; V nin bir projeksiyonu ise, bu durumda
dir.
V = Im ır el) Ker ır
Ispat Eğer v E V ise v = r(v) (v — r(v)) yazabiliriz. Aç ık olarak
7r(v) E Imir dir.
7r(v — 7r(v)) = 7r(v) — ır 2 (v) = 7r(v) — ır(v)= 0
olduğundan v — ır(v) E Ker ır dir. Buradan V = Ker ır olur.
Şimdi v E Im ır fl Ker ır olsun. v E Im ır ise ır(u) = v olacak şekilde bir
u E V vard ır.
ve v E Ker ır olduğundan
ır(v) = ır 2 (u) = ır(u) = v
ır(v) = 0
dır. Böylece v = 0 olup Im ır fl Ker ır = 0 dır. Sonuç 2.4.4 den
V = Im ır (1) Ker ır olur.
••
Ornek 2.12.5 Eğer 7r : (x, y)
ise, bu durumda
(2x +2y, —x—y); R 2 nin bir projeksiyonu
şeklindedir.
Im ır = {(2x,—x): x E R}
K er 7r = {(X —x) : X E R}

2.12. Projeksiyonlar 29
2. Bölümün Özeti
(i) F = C veya R olmak üzere, bu bölümde gözönüne al ınan F üzerindeki
bütün vektör uzaylar ı sonlu boyutludur. Örne ğin, F' sütun vektör
uzayı için dimFn = n dir.
gösterimi tek ise, bu durumda
(ii) Ui (1 < i < T); V nin altuzaylar ı, her v E V için v ... ur
V=U(DW< > (i) V=U+W
(ii) U n W = {O}
(ili) : V --> W lineer dönü şümü, her u,vEV ve her A E F için
0(u v) = 9(u) 4- 0(v) ve 0(Au) = A0(u)
özelliklerini sağlar. Ayr ıca Ker0; V nin ve /m0; W nin altuzaylar ı ,
d ır.
dimV = dim(Ker0)+ dim(ImO)
(iv) Bir 0 : V --> W lineer dönü şümünün tersinir olmas ı için gerek ve yeter
şart Kere = {O} ve /m0 = W olmas ıd ır.
(v) n. boyutlu bir V vektör uzay ın ın bir B baz ı verildiğinde, V nin bir 0
endomorfizmas ı ile F üzerindeki n x n tipindeki [0]B matrisi aras ında
bir e şleme vard ır.
V nin B ve B' bazlar ı ile bir 0 endomorfizmas ı verildi ğinde
= T-1 [0]BT
olacak şekilde tersinir bir T matrisi vard ır.
(vi) Bir 9 endomorfizmas ının A özdeğeri, s ıfırdan farkli v E V vektörleri
için 0(v) = Av şart ını sağlar.
(vii)
V nin bir ır projeksiyonu 71-2 = ır şart ını sağlayan bir endomorfizmad ır.

30 Bölüm 2. Vektör Uzaylar ı ve Lineer Dönü şümler
2.13 Alışt ırmalar
(1) Eğer V, W vektör uzaylar ı ve O : V W lineer dönü şümü tersinir
ise 0-1 W --> V dönü şümünün de lineer olduğunu gösterinin.
(2) O; V vektör uzay ının bir endomorfizmas ı olsun. A şağıdakilerin birbirine
denk oldu ğunu gösteriniz.
(a) B tersinirdir.
(b) Ker9 = {O}
(c) ImB = V
(3) U ve W; V nin altuzaylar ı olsun. V = U e W olmas ı için gerek ve
yeter şart V = U + W ve U fl W =O olmas ıdır. Gösteriniz.
(4) U ve W; V nin altuzaylar ı olsun. {ui , , ur}; U nun bir baz ı ve
{wi, , w s }; W nun bir baz ı ise, bu durumda V = U e W olmas ı için
gerek ve yeter şart {u ı, , ur , wı, , w s } nin V nin bir baz ı olmasıd ır.
Gösteriniz.
(5) (a) Uı , U2 , U3; V nin altuzaylar ı ve V = Ui e U2 e U3 olsun.
V = UleU2@U3 < > Uı n(U2+U3) = U2n(U ı +U3) = u3n(ul-Fu2) = {o}
(b)
olduğunu gösteriniz.
V = + U2 + U3 ve n U2 = n U3 = U2 n U2 = O }
olmas ına rağmen
V
eD U2 e U3
olacak şekilde Ui , U2, U3 altuzaylarma sahip bir V vektör uzay ı
bulunuz.
(6) Ut, , Ur; V nin altuzaylar ı ve V = Ul e...e ur olsun. Bu durumda
olduğunu gösteriniz.
dimV = dimU ı . • • + dimUr

2.13. Ah şt ırmalar 31
(7)
V = Im0 e K er0 ve V Imç e K er0
olacak şekilde bir V vektör uzay ı ve 0, 0 endomorfizmalar ı bulunuz.
(8) V bir vektör uzay ı ve O; V nin bir endomorfizmas ı olsun. 0 nın bir
projeksiyon olmas ı için gerek ve yeter ko şul; kö şegen elemanlar ı 1 veya
o olan köşegensel bir [0]B matrisi mevcut olacak şekilde V nin bir B
baz ının var olmas ıd ır. Gösteriniz.
(9) 0; V nin bir endomorfizmas ı ve B 2 = lv olsun. V= U e W ise, bu
durumda
U = {v E V : 0(v) = v} ve W {v E V : 0(v) = —v}
olduğunu gösteriniz. V nin öyle bir B baz ı vard ır ki, MB tüm kö şegen
elemanlar ı +1 veya —1 olan bir kö şegensel matristir. Gösteriniz.

32 Bölüm 2. Vektör Uzayları ve Lineer Dönü ş ümler

Bölüm 3
Grup Gösterimleri
Bir G grubunun gösterimi G yi matrislerin bir grubu gibi göz önüne alma
imkan ı verir. Bir gösterim G grubundan tersinir matrislerin grubuna tan ımlanan
bir homomorfizmad ır. Bu bölümde gösterim örnekleri ile gösterimlerin
denkli ği ve çekirde ği gibi konular ı ele alaca ğız.
3.1 Gösterimler
G bir grup, F = R veya C olsun. Birinci bölümden hat ırlanacağı gibi
GL(n, F) bileşenleri F cisminden al ınan n x n tipindeki tersinir matrislerin
grubudur.
Tan ım 3.1.1 G den GL(n, F) ye tan ımlanan p homomorfizmas ına G nin
bir gösterimi ve n say ısına da p nun derecesi denir.
p; G den GL(n, F) ye bir fonksiyon ise, bu durumda p nun bir gösterim
olmas ı için gerek ve yeter ko şul; her g, h E G için p(g h) = p(g)p(h) olmas ıd ır.
Bir gösterim homomorfizma oldu ğundan herbir p : G ----> GL(n, F)
gösterimi In ; n x n tipinde birim matris olmak üzere her g E G için;
şartlar ını Sağlar.
P( 1 ) = In ve p(g--1) = p(g)- ı
Örnek 3.1.2 G = D4 =G a, b : a4 = b 2 = 1, b-1 ab = (1-1 > dihedral grubu
olsun. A ve B matrislerini
33

34 Bölüm 3. Grup Gösterimleri
( O 1 ) ( O )
A --= ve B --=
-1 O 0 -1
olarak tammlarsak; A 4 -= B' = /2 ve B -1 AB = A -1 şartlar ı sağlan ır. Örnek
1.4.2 de verilen,
P : G G L(2, F)
a'lı3 Az 13 3 (O < < 3,0 < j

3.2. Denk Gösterimler 35
3.2 Denk Gösterimler
Verilen bir gösterim yard ımıyla yeni bir gösterimi nas ıl in şa edece ğimizi
göreceğiz. p : G ---> GL(n, F) bir gösterim ve T bile şenleri F den alman
n x n tipinde tersinir bir matris olsun. Her n x n tipindeki A ve B matrisleri
için,
(T -1 AT)(T -1 BT) = T -1 (AB)T
olduğundan, p dan yeni bira gösterimi in şa edebiliriz. o- y ı , her g E G için,
o-(g) =
şeklinde tan ımlayahm. Her g, h E G için,
olduğundan a bir gösterimdir.
p(g)T
a(gh) = T-1 p(gh)T
T -1 (P(9)P(h))T
T -1 p(g)TT -1 p(h)T
= a(g)a(h)
Tan ım 3.2.1 p : G ---> GL(m, F) ve u : G GL(n, F); G nin iki
gösterimi olsun. Eğer n = m ve her g E G için
a(g) = T-1 p(g)T
olacak şekilde n x n tipinde tersinir bir T matrisi varsa, bu durumda
p; o- ya denktir denir.
G nin her p, o-, T gösterimleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:
(i) p; p ya denktir.
(ii) Eğer p; o- ya denk ise, bu durumda o- ; p ya denktir.
(ili) Eğer p; o- ya denk ve a; T ya denk ise, bu durumda p; T ya denktir.
Sonuç olarak grup gösterimlerinin denkli ği bir denklik bağıntısıdır.

36 Bölüm 3. Grup Gösterimleri
Örnek 3.2.2 G = D4 =< a,b : a4 = b2 = 1, b-lab = a-1 > olmak üzere
Örnek 3.1.2 deki G nin p gösterimini gözönüne alal ım.
A O 1 ) ( O )
ve B =
-1 O O -1
olmak üzere p(a) = A ve p(b) = B dir. Kabul edelimki F = C ve T' AT
köşegensel olacak şekilde
T = 1 ( 1
■fi i
matrisini gözönüne alal ım. Böylece
T -1 - 1
( 1
olup,
dir. D4 ün bir o- gösterimini
(O 1 )
T -1 AT = ( ° ve T -1BT =
i 1 O
ı(a)
. ve a(b)= ( °1 ol
0 -Csı
şeklinde alırsak p ve cr birbirine denk olur.
Örnek 3.2.3 G = C2 =< a > ve
A =( -5 12 )
-2 5
olsun. Kolayca gösterilebilir ki; A 2 = 12 dir. Böylece p:1 I, a --÷ A;
G nin bir gösterimidir. Eğer,
olarak seçersek
T-
2 -3
1 -1

3.3. Gösterimlerin Çekirdeği 37
T -1 AT =
(1 )
O —1
olur. G nin bir a gösterimi
0.(1) ( ol Oi ( ol
ve cr(a)=
0
—1
şeklinde tanımlan ırsa p ve cr birbirine denk olur.
3.3 Gösterimlerin Çekirde ği
Bir p : G ---> G L(n, F) gösteriminin çekirdeği,
Kerp = {g E G : p(g) = In }
şeklindedir. Kerp; G nin bir normal altgrubudur.
Bir gösterimin çekirde ği aşağıda verilen tan ımdaki gibi G nin tamam ı
olabilir.
Tan ım 3.3.1 Her g E G için p : G GL(1,F), p(g) = (1) şeklinde
tan ımlanan gösterime, G nin aşikar gösterimi denir. Ba şka bir ifadeyle,
aşikar gösterim; G nin her eleman ın ı 1x 1 tipindeki birim matrise dönü ştürür.
Tan ım 3.3.2 p : G GL(n, F); G nin bir gösterimi ve Kerp = {1} ise,
bu durumda p ya faithfuldur denir.
Onerme 3.3.3 Sonlu bir G grubunun bir p gösteriminin faithful olmas ı
için gerek ve yeter şart Imp :=:' G olmasıd ır.
Ispat Kerp 4 G ve Birinci İzomorfizma Teoreminden GIKerp Imp
olduğunu biliyoruz. E ğer Kerp = {1} ise, bu durumda G = Imp olur.
Tersine G NImp ise, bu durumda her ikisinin de mertebesi ayn ı (sonlu)
olduğundan I Kerpi= 1 ve böylece p faithfuldur.
■
Örnek 3.3.4 D4 dihedral grubu için
p(aib3) _ _0 l ( 1 O )
1 0 0 —1

38 Bölüm 3. Grup Gösterimleri
şeklinde verilen p gösterimi faithfuldur. p(g) = /2 ko şulunu sağlayan tek
eleman G nin birimidir. Böylece
( O 1 ) ve ( O )
-1 O O -1
matrisleri tarafından üretilen grup D4 dihedral grubuna izomorftur.
Ornek 3.3.5 T-1 AT = In olmas ı için gerek ve yeter şart A = In olmas ıdır.
Böylece, faithful gösterimlere denk olan bütün gösterimler de faithfuldur.
Ornek 3.3.6 G nin aşikar gösteriminin faithful olmas ı için gerek ve yeter
şart G = {1} olmas ıdır.
Bölüm 6 da her sonlu grubun bir faithful gösterime sahip oldu ğunu
göstere-ceğiz.
3.Bölümün Ozeti
(i) G nin bir gösterimi G den GL(n, F) ye tan ımlanan bir homomorfizmad
ır.
(ii) G nin p ve o. gösterimlerinin denk olmas ı için gerek ve yeter ko şul her
g E G için,
a(g) = T-1 p(g)T
olacak şekilde tersinir bir T matrisinin var olmas ıdır.
(iii) Bir gösterim birebir ise faithfuldur.
3.4 Al ışt ırmalar
(1) G =< a : am = 1 > olsun. A E GL(n, C) için
p : G
GL(n, (C)
ar A' (O < r < m -
)
şeklinde tan ımlayalım. p nun G nin bir gösterimi olmas ı için gerek ve
yeter ko şul AM = In olmas ıdır. Gösteriniz.

3.4. Al ışt ırmalar 39
(2)
O
O ) İ.,
O
A ( O 1 ' B - O e 2 "7 / 3 ' "' - -1 -
ve G = < a : a3 = 1 > olsun.
pi
P ı
P2
P3
G
ar
ar
ar
G L (2 , (C) , (1 < i < 3)
Ar
Br ,
Cr, (O < r < 2)
şeklinde tan ımlanan fonksiyonlar ın G nin gösterimleri olduklar ını gösteriniz.
Bunlardan faithful olanlar ın ı belirleyiniz.
(3) G = D, = < a, b : an = b2 = 1, b-1 ab = a-1 >; F = veya C olsun.
p(a) = (1) ve p(b) (-1) şartlar ını sağlayan bir p : G ---> G L(1, F)
gösterimi vard ır. Gösteriniz.
(4) p; Q ve T; G nin gösterimleri olsunlar.
(a) p kendisine denktir.
(b) p; Q ya denk ise, bu durumda o- da p ya denktir.
(c) p; o- ya denk ve o- da T ya denk ise, bu durumda p; T ya denktir.
Gösteriniz.
(5) G = D6 =< a,b : a6 = b 2 = 1, b-1 ab = a-1 > ve
A _ e"13 0
) B = 01 01
c ı n o )
ı ' = o —1
matrislerini gözönüne alal ım. Bu durumda
Pk
P1
P2
P3
p4
G
ar bs
ar bs
ar bs
ar bs
G L (2 , C), (k = 1,2,3,4)
Ar Bs,
A 3r (- B)s ,
( —A )rBs ı
Cr D' , (O < r < 5,0 < s < 1)

40 Bölüm 3. Grup Gösterimleri
şeklinde tan ımlanan fonksiyonlar ın G nin gösterimleri oldu ğunu gösteriniz.
Bu gösterimlerden hangilerinin faithful, hangilerinin denk olduklar
ın ı belirleyiniz.
(6) D4 dihedral grubunun derecesi 3 olan bir gösterimini bulunuz.
(7) Eğer p; G nin derecesi 1 olan bir gösterimi ise, bu durumda G/Kerp
nun de ği şmeli bir grup oldu ğunu gösteriniz.
(8) p; G nin bir gösterimi olsun. g,h e G için;
ise, bu durumda
P(g)P(h) = P(h)P(g)
midir Ara şt ırm ı z.
gh = hg

Bölüm 4
FG-Modüller
Bu bölümde FG-modül kavram ın ı tan ımlayacak ve FG-modüller ile G nin
F üzerindeki gösterimleri aras ında yak ın bir ili şki olduğunu gösterece ğiz.
Gösterimler teorisinde önemli kolayl ıklar sağlamas ı sebebiyle, kitab ın kalan
kısmında ve-rilecek kavramlar ın çoğunluğu FG-modüllerle ifade edilecektir.
4.1 FG-Modüller
G bir grup, F; R veya C olsun. Kabul edelimki, p G ----> GL(n, F); G
nin bir gösterimi ve V = sütun vektörlerinin vektör uzay ı olsun. n x n
tipindeki p(g) matrisi ile V deki her v sütun vektörünün çarp ımı V de bir
sütun vektörüdür.
Şimdi p(g)v çarp ım ı ile ilgili baz ı temel özellikler verece ğiz. İlk olarak p
bir homomorfizma oldu ğundan, her v E V ve her g, h E G için
p(g h)v = p(g)p(h)v
dir. p(1) = İn, olduğundan her v E V için p(1)v = v dir. Son olarak her
u,v E V,> E F ve g E G için
şeklindedir.
P(g)(Av) = A(P(9)v)
p(g)(u v) = p(g)u P(g)v
Örnek 4.1.1 G = D4 =< a,b : a4 = b 2 = 1, 1)-1 ab = a-1 > olsun. G
nin Örnek 3.1.2 deki p : G --> G L(2, F) gösterimini gözönüne alal ım. Bu
durumda;
41

42 Bölüm 4. FG-Modüller
O
P(a)= ( —1
1 1
O ' P(b)= O —1
şeklindedir. v =
olarak elde edilir.
A ı
A 2
) E F2 için
P(a)v = ∎ 2, — Al)
p(b)v = —A 2 )
P(d3)v = ( — A2,A1)
Şimdi bu özellikler yard ımıyla FG-modül tan ımını verelim.
Tan ım 4.1.2 V; F üzerinde bir vektör uzay ı ve G bir grup olsun. Eğer
v E V ve g E G için gv çarp ımı her u,v E V, A E F ve g E G için;
(i) gv E V,
(ii) (gh)v = g(hv),
(iii) lv = v,
(iv) g(Av) = A(gv),
(v) g (u v) = gu gv
şartlar ın ı sağlıyorsa, bu durumda V ye bir FG-modül denir.
V; F cismi üzerinde bir vektör uzay ı ve gv çarp ım ında g E G olduğundan
F ve G harflerini kullan ıyoruz.
Tan ımdaki (i), (iv) ve (v) özellikleri her g E G için v gv fonksiyonunun
V nin bir endomorfizmas ı olduğunu gösterir.
Tan ım 4.1.3 V bir FG-modül ve B; V nin bir baz ı olsun. g E G için [9]/3
matrisine v gv endomorfizmas ının matrisi denir.
Teorem 4.1.4
(i) Eğer p : G ---> GL(n, F); G nin bir gösterimi ve V = Fn ise, bu
durumda V vektör uzay ı, g E G, v E V için
gv = p(g)v
şeklinde tan ımlanan gv çarpım ı ile bir FG-modüldür.Ayr ıca, her g E G
için p(g) [9]73 olacak şekilde V nin bir B baz ı vardır.

4.1. FG-Modüller 43
(ii) V bir FG-modül ve B; V nin bir baz ı olsun. Bu durumda g E G için
g [g]B fonksiyonu G nin bir gösterimidir.
Ispat
(i) Fn bir vektör uzay ı olduğundan her u, v E Fn ,
p gösterimi
E F ve g, h E G için
p(gh)v = p(g)p(h)v
p(1)v = v
p(g)(Av) = .N(p(g)v)
p(g)(u+ v) = p(g)u + io(g)v
şartlar ın ı saklar. Böylece her v E Fn ve g E G için gv çarp ımı
p(g)v
şeklinde tan ımlan ırsa Fn bir FG-modül olur.
Ayr ıca F' nin B baz ını
{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)}
olarak gözönüne alacak olursak her g E G için p(g) = [g]B olur.
(ii) V; B bazı ile birlikte bir FG-modül olsun. Her g,h E G ve v E V için
olur. Özel olarak her g E G için
(gh)v = g(hv) ve [glı]3 = [g]B[h]B
[ 1]13 = [g]B [g-1 ]13
şeklindedir. Her v E V için lv = v oldu ğundan, [1]B birim matristir.
Böylece her [g]B rnatrisi tersinirdir. Daha önce g ---> [g]B fonksiyonunun
G den G L(n, F) ye tan ımlanan bir homomorfizma oldu ğunu
ispatlamıştık. Sonuç olarak bu fonksiyon G nin bir gösterimidir.
■

44 Bölüm 4. FG-Modüller
Şimdi Teorem 4.1.4 ün bir uygulamas ın ı verelim.
Örnek 4.1.5 G = D4 =< a,b : a4 = b2 = 1, b=lab = a-1 > ve G nin p
gösterimi;
o ı o \
P(a)= ( -1 O) ' P(b) = O -1 j
şeklinde ve V = F 2 olsun. E ğer her v E V, g E G için gv çarp ımın ı
gv = p(g)v
şeklinde tammlarsak Teorem 4.1.4.(i) den dolay ı V bir FG-modül olur. Eğer
V nin bir baz ını ;
vi =
(
)
, V2 =
olarak alırsak,
( )
av ı = p(a)vi =
şeklindedir. Benzer şekilde
O 1 ) ( 1
1 O O
= -v2
av2 = v ı
bv ı = vi
bv2 - -v2
bulunur.
Eğer B bazını {v ı , v2} olarak seçersek g E G için g
nun kendisidir.
Örnek 4.1.6 G = Qg =< a, b : a 2 = b2 ,a4 =
Örnek 1.2.5 deki gibi
[g]B gösterimi p
= a-1 > grubunu,
A =
B = O )
-1 O
tarafından üretilen GL(2,(C) nin bir altgrubu olarak gözönüne alalım Bu
durumda G nin p gösterimi

4.1. FG-Modüller 45
i O 1
P(a) = ı O —i) ' P(b)= ( —1 O )
olarak elde edilir. Teorem 4.1.4.(i) in uygulanabilmesi için F = C olmalı d ır.
{v ı , v2 } baz ı ve
etkisiyle bir CG-modül elde ederiz.
av ı = ivı
av 2 = —iv2
i =- — V2 bv
bv2 = vi
Yukar ıdaki örnekte av ı , av2 , bvı , bv2 vektörleri her v E V, g E G için gv
çarp ımım tan ımlar. Örne ğin;
ab ( vı 2v2 (ab)vi 2(ab)v 2
)
a(bv ı )l- 2a(bv 2 )
a(—v2 )-1- 2avi
ı iv2
= 2iv
bulunur. Benzer şekilde bütün V; FG-modülleri için e ğer {vi , , v 7,}; V nin
bir baz ı ve gi ,..., yr ; G nin üreteçleri ise, bu durumda 1 < j < r, 1 < i < n
olmak üzere giv ı vektörleri her v E V, g E G için gv çarp ımını belirler.
Şimdi bir FG-modülün bir gösterim kullanmaks ız ın nas ıl inşa edilebileceğini
gösterece ğiz. Bunun için grup elemanlar ının V nin {v ı ,...,v,,} baz ı
üzerindeki etkisini V nin tümü üzerine lineer olarak geni şletece ğiz. Her
ll E G, v E V ve 1 < < n için «gvi çarp ımını ;
gv = g(A ı vı ... An Vn
= Al(gv ı ) An(gvn)
olarak tammlayacak olursak a şağıdaki sonucu verebiliriz.
Onerme 4.1.7
vr,} baz ı ile V; F üzerinde bir vektör uzay ı olsun.
1 < i < n olmak üzere her g, h E G ve her A l , • • a n E F için gvi çarpım ı;
(i) gv, E V,
(ii)
(gh)v, = g(hv,),
(iii) lv, = v„

46 Bölüm 4. FG-Modüller
(iv) gNv i ...+ >knVn) = A1(gV1)
)'n(gvn)
şartlarını sağlıyorsa, bu durumda V bir FG-modüldür.
Ispat (iii) ve (iv) den her v E V için 1v = v olur. (i) ve (iv) den her
g E G için v gv fonksiyonu V nin bir endomorfizmas ıd ır. Böylece her
u, v E V, g E G ve A E F için gv E V ve
g(Av) = A(gv)
g(u v) = gu gv
elde edilir. Bundan dolay ı her A l , ..., An E F,h E G, ui ,...,un E V için
h( th . • • + Anun ) = (kul) -F • • . An(hun) ( 4 . 1 )
dir.
Şimdi v E V, g, h E G alalım. Al, • An E F olmak üzere
v = ... A nv,,, olsun. Bu durumda;
(gh)v = (gh)(>ı v ı . • 4v,,)
= ı ((gh)v ı ) -F • .. 4((gh)v r,) ((iv) den)
Al(g(hv ı )) . . A n (g(hun)) ((ii) den)
g(Ai(hv ı ) 4- • • . An (hvn )) ((4.1) den)
g(hv)
olur. Böylece V, FG-modül aksiyomlar ım Sağlar.
Şimdi aşikar ve faithful gösterim tan ımlar ın ın modüllere uyarlanmas ı
olan a şağıdaki tan ımı verebiliriz.
Tan ım 4.1.8 V; F üzerinde 1-boyutlu bir vektör uzay ı ve her v E V, g E G
için gv = v şart ını sağlıyorsa, bu durumda V ye aşikar FG-modül denir.
Eğer her v E V için gv = v şart ım sağlayan yegane g elaman ı G nin birimi
ise, bu durumda V ye faithful FG-modül ad ı verilir.
Örnek 4.1.5 deki FD 4-rnodülü faithfuldur.
Şimdi Onerme 4.1.7 yard ımıyla simetrik gruplar ın bütün altgruplar ı için
faithful FG-modülleri in şa edeceğiz.

4.2. Permütasyon Modülleri 47
4.2 Permütasyon Modülleri
G; 5„ nin bir altgrubu ve V; F üzerinde {v i , ..., v„,} baz ı ile n-boyutlu bir
vektör uzay ı olsun.
1 < i < n olmak üzere her i ve her g E G için
gvi = vs( ı )
olsun. Bu durumda g bir permütasyon oldu ğundan gvi E V ve lvi = vi olur.
Ayr ıca g, h E G için;
(gh)vi = v( gh)(i) = vg ( h (i)) = g(hvi)
dir. G nin etkisini lineer olarak V nin tümüne geni şletecek olusak, bu durumda
A l , ..., A r, E F ve g E G olmak üzere,
9(Alvı ... Arı vn) = A ı (gvı ) An(Yvn)
dır. Böylece Önerme 4.1.7 gere ğince V bir FG-modüldiir.
Örnek 4.2.1 G = S4 ve B = {v i , v 2 , v3, v4}; V nin bir baz ı olsun. Eğer
g = (12) ise, bu durumda
gv i = v2, gv2 = vi ı
gv3 = v3, gv4 = v4
olur. g
gv dönüşümüne kar şılık gelen matris;
[g]B=
dir. Ayr ıca h = (134) ise, bu durumda
hv1 = V3, hv2 = v2, hv3 = v4 ı hv4 = vı
ve h --> hv dönü şümüne kar şılık gelen matris;
[h]B =
/ o 0 0 ı
o lo o
ı 000
\o o ı o/

48 Bölüm 4. FG-Modüller
olarak elde edilir.
Tan ım 4.2.2 G; Sn in bir altgrubu ve V; {v i , ..., v„} baz ı ile birlikte bir
FG-modül olsun. Her i ve her g E G için
gvi = vs(i)
ise, V ye permütasyon modülü ve {vi , ..., v7,} ye V nin doğal bazı denir.
Eğer V; B = {v i , ... ,vn } baz ı ile birlikte bir permütasyon modülü ise,
her g E G için [g]3 matrisi her sat ır ve sütununda bir tane 1, di ğer bile şenleri
0 olan bir matristir. Bu matrise permütasyon matrisi adı verilir.
Her vi vektörünü sabit b ırakan yegane g eleman G ııin birimi olduğundan
permütasyon modülü faithfuldur.
Cayley Teoreminden n yinci mertebeden her G grubu Sn nin bir alt
grubuna izomorf oldu ğundan G n-boyutlu faithful bir FG-modüle sahiptir.
Örnek 4.2.3 G = C3 =< a : a3 = 1 > olsun. Kolayca gösterilebilir ki G; S3
ün (123) tarafından üretilen altgrubuna izomorftur. V = Sp{v i , v2, v3};
3-boyutlu bir vektör uzay ı olsun. Bu durumda V
lvi = vı avi = v2, av ı = v3
,
2 = v2, av2 = V3, a 2 V2 = v1 1v
1v3 = V3, av3 = vi, a 2 v3 = v 2
etkisiyle bir FG-modüldür. G nin etkisi V nin tümüne lineer olarak geni şletildiğinde;
v E V ve Al , A2, E F için;
gv = g(A ı vı + A2v2 + A3v3) = > ı (gv ı ) + A2(9v2) + 4(.9v3)
olduğundan V; bir FG-modüldür.
4.3 FG-Modüller ve Denk Gösterimler
FG-modüller ile G nin denk gösterimleri aras ındaki ili şkiyi vererek bu bölümü
t amamlay ıyoruz .
Bir FG-modüle g [g],E3 formunda bir çok gösterim kar şılık gelir.
A şağıdaki sonuç bu şekildeki gösterimlerin denk olduğunu göstermektedir.
Teorem 4.3.1 V; B baz ı ile birlikte bir FG-modül ve p : g
bir gösterimi olsun.
[g]B , G nin

4.3. FG-Modüller ve Denk Gösterimler 49
(i)
Eğer B ' ; V nin bir baz ı ise, bu durumda p; G nin
: g --> [g]B ,, (g E G)
şeklinde tan ımlanan gösterimine denktir.
(ii)
Eğer cr ve p; G nin denk gösterimleri ise, bu durumda
olacak şekilde V nin bir B" baz ı vardır.
[9].13"
Ispat
(i) T; B den B' ye baz de ğişim matrisi olsun. Bu durumda her g E G için
[g]B, =
[g]BT
dir. Yani; her g E G için
dir. Böylece p; q5 ye denktir.
0(g) = T 1 P(g)T
(ii) p ve o-; G nin denk gösterimleri olsun. Bu durumda bir T tersinir
matrisi için
cr(g) = T-1 p(g)T
dir. Şimdi B"; V nin B den B" ye geçi ş matrisi T olan bir baz ı olsun.
olup, Q(g) = [g]B n dür.
= [g]B T
Örnek 4.3.2 G = C3
a : a3 = 1 > ve G nin
p(p ( 1 O ) ,‘,(a) Oi ,p(a2) _ —1 1
) O 1 P\ 1 o

IliBi
50 Bölüm 4. FG-Modüller
p gösterimini gözönüne alal ım. Bu durumda p(a 2 ) = (p(a)) 2 ve (p(a))3 =
dir.
Eğer V; C üzerinde {v ı , v2} baz ı ile birlikte bir vektör uzay ı ise,
lvı = v ı , av ı = vı , a 2 V1 = - v2
1v2 = v2, av2 = — vı — v2, a 2 v2 = vı
etkisiyle bir CG-modüldür. Böylece;
ı o ( o --1 ra 2,_
[1]B = o ı ' [alB = ı —1 ) j13
( -1 1 )
-1 O
olur.
Şimdi V nin bir ba şka baz ı B' = {u ı = vi , u2 = yı -I- v2} olsun. Bu
durumda
ve
luı = u ı , au ı = —u ı a2 u ı = —u 2
1u2 = u2, au2 = —u ı , a 2 U2 = Ul - U2
= O 1 ) = ( 1 O
)
' [a2 1/31 =
(
O
—1 —1
)
olmak üzere
[9]/3'
gösterimi elde edilir. B den B' ye geçi ş matrisi
ve her g E G için
T = ( 1 1
O 1
[9]B' = T—i [g]BT
olur. Böylece Teorem 4.3.1.(i) den p ile clı denktir.

4.4. Al ışt ırmalar 51
4.Bölümün Ozeti
(i) V; F cismi üzerinde bir vektör uzay ı olsun. Tan ım 4.1.2 deki
(i)-(v) şartlar ını sağlayan çarp ımla V bir FG-modüldür.
(ii) Bir G grubunun gösterimleri ile FG-modüller aras ında a şağıdaki ili şkiler
vardır.
(a) p : G GL(n, F); G nin bir gösterimi olsun. Bu durumda
v E F', g E G için
gv = p(g)v
çarp ımıyla Fn bir FG-modiildür.
(b) Eğer V; B baz ı ile birlikte bir FG-modül ise, bu durumda
p : G ---> [g]B, G nin bir gösterimidir.
(iii) Eğer G; Sn nin bir altgrubu ise, bu durumda her g E G ve her
1 < i < n için permütasyon FG-modülü {vi, ..., vn } baz ına ve
gvi = vg (i ) çarp ımına sahiptir.
4.4 Alışt ırmalar
(1) G = S3 ve V = Sp{v i , v2 , v3}; C üzerinde bir permütasyon modiilü
olsun. Bi = {vi , v2 , v3}, B2 = {Vi v2 v3, Vi — v2, Vi — V3} ; V nin iki
baz ı olsun. Her g E S3 için 3 x 3 tipindeki [g]B1 ve [g]B2 matrislerini
bulunuz. [g]B2 matrisi hakk ında ne söyleyebilirsiniz
(2) G = S, ve V; F üzerinde bir vektör uzay ı olsun. Her v E V için
gv
v, g çift permütasyon ise
—v, g tek permütasyon ise
şeklinde tan ımlanan gv çarp ım ı ile V nin bir FG-modül oldu ğunu
gösteriniz.

52 Bölüm 4. FG-Modüller
(3) Q8 =< a, b : a2 = b2 , a4 b- ıab = a-ı > quaternion grubunu
gözönüne alal ım. {vi , v2 , v3 , v4 } baz ıyla 4-boyutlu bir V vektör uzay ının
avi = v2, av2 = -vı , ava = -v4, av.4 = v3
V3, bv2 = V4, bv3 - vı , bv4 = -v2
bvi =
etkisiyle bir ı"Q 8-modül olduğunu gösteriniz.
(4) A; n x n tipinde bir matris ve B de A nın sat ırlar ın ın yer deği ştirmesiyle
elde edilen matris olsun. Gösteriniz ki, B = PA olacak şekilde n x n
tipinde bir P permütasyon matrisi vard ır. Ayrıca, A nın sütünlarm ın
yer değiştirmesiyle elde edilecek matris için de benzer bir sonuç bulunuz.

Bölüm 5
FG-Altmodüller ve
İndirgenebilirlik
Bu bölümde FG-modüller teorisinde önemli bir yere sahip olan indirgenmez
FG-modülleri inceleyeceğiz. İlk olarak bir FG-modülün FG-altmodülünü
t an ımlayaca ğız.
5.1 FG-Altmodüller
Tanım 5.1.1 V bir FG-modül ve W; V nin bir altcümlesi olsun. E ğer W;
V nin altuzay ı ve her g E G, w E W için gw E W ise, bu durumda W ya
FG-altmodül denir.
Yani, V nin FG-altmodülü; V nin altuzay ı olan bir FG-modüldür.
Örnek 5.1.2 Eğer V; FG-modül ise, bu durumda {O} ve V; V nin FGaltmodülleridir.
Örnek 5.1.3 G = C3 =< a : a3 = 1 > ve V; Örnek 4.2.3 de tan ımlanan
3-boyutlu FG-modül olsun. {v i , v2 , v3}; V nin baz ı olmak üzere G nin V
üzerindeki etkisi
şeklindedir.
lvı = vi , av ı = v2, a 2 v1 = v3
2 = v2, av2 = v3, a 2 v2 -- vl 1v
1v3 = v3, av3 = vi, a 2 V3 = v2
53

54 Bölüm 5. FG-Altmodüller ve İndirgenebilirlik
w v2 + v3 olmak üzere kolayca gösterilebilir ki W = S p{w}; V nin
1-boyutlu bir altuzay ıdır. Ayr ıca;
lw = aw = a 2w = w
olduğundan W; V nin bir FG-altmodülüdür. Fakat;
a(vi + v2 ) = v2 + v3 Sp{vi + v2}
olduğundan Sp{vi 4- v2}; V nin bir FG-altmodülü de ğildir.
5.2 İndirgenmez FG-modüller
Tan ım 5.2.1 Eğer bir V FG-modülünün {O} veya V den ba şka bir FGaltmodülü
yoksa V ye indirgenmez FG-modül denir.
Eğer V; {O} veya V den ba şka bir FG-altmodüle sahip ise, V ye indirgenebilir
FG-modül adı verilir.
Benzer şekilde bir p : G G L(n, F) gösterimine, v E Fn ve g E G için
gv = p(g)v
çarp ımıyla kar şılık gelen Fn; FG-modfilü indirgenmez ise, bu durumda p ya
indirgenmez gösterim, eğer Fn indirgenebilirse, p ya indirgenebilir gösterim
ad ı verilir.
V indirgenebilir bir FG-modül olsun. Bu durumda 0 < dimW < dimV
olacak şekilde bir W FG-altmodülü vard ır. W nin bir baz ın ı V nin bir
baz ına tamamlayacak olursak her g E G için [g] matrisi,
x9 o
YZg
(5. 1)
form ıına sahiptir. Burada Xg ; k x k (k = dimW) tipinde bir matristir.
Derecesi n olan bir gösterimin indirgenebilir olmas ı için gerek ve yeter
şart 0 < k < n ve X g ; k x k tipinde bir matris olmak üzere bu gösterimin
(5.1) formunda olmas ıd ır.
Uyar ı 5.2.2 (5.1) deki g X g ve g ----> Zg fonksiyonlar ı G nin gösterimleridir.
Bunu görmek için; g, h E G olmak üzere (5.1) formunda verilen
[9],B ve [h]B matrislerinin çarpım ına bakınız. Ayr ıca V indirgenebilir ise, bu
durumda kesin olarak dimV > 2 dir.

5.2. indirgenmez FG-modüller 55
Örnek 5.2.3 G = C3 =< a : a3 = 1 > ve V; {vi , v2, v3} baz ıyla, Örnek
4.2.3 deki
avı -= v2 , av2 = v3 , av3 = v ı
etkisiyle 3-boyutlu bir FG-modül olsun. W = Sp{v ı 4- v2 v3}; V nin
FG-altmodülüdür. V yi B = {v i -I- v 2 + v3 , vi , v2} baz ıyla gözönüne alacak
olursak, bu durumda
1 O O 1 o ı 1 O
{11B = 0 1 O), [a]B = o — 1 , [a 2]B = —1 1
o O 1 o 1 —1 O — 1 O
olur.
Böylece bu indirgenebilir gösterim yard ımıyla iki ayr ı gösterim bulabiliriz.
Bu gösterimlerin birincisi; g --> X g = (1) a şikar gösterimi, diğeri de
g --> Zg yani;
dir.
CO
—1 (
1 a --> a 2 -->
1 -1
-1 1 )
-1 O
Örnek 5.2.4 G = D4 ve V = F2 ; Örnek 4.1.5 deki gibi tan ımlanan
2-boyutlu FG-modül olsun. Böylece G =< a,b> ve her (A, ıl) E V için
a(A,P)= (g, b(A,P) = —P)
olur.
V nin indirgenmez FG-modül oldu ğunu göstermek istiyoruz. Bunun için
V nin U V olacak şekilde bir U; FG-altmodülü oldu ğunu kabul edelim.
Bu durumda dimU < 1 ve dolay ısıyla a,,3 E F için U = Sp{(a,)(3)} olur.
U bir FG-modül olduğundan b(a, /3); (a„ d) nın bir kat ıd ır. Buradan a = 0
ve = 0 d ır. Yine a(a, (3) da (a, /3) nın bir kat ı olacağından a = /3 = 0 ve
böylece U = {0} d ır. Dolay ıs ıyla V indirgenmezdir.
5. Bölümün Özeti
(i) Eğer V bir FG-modül ve W; V nin kendi ba şına FG-rr ıodül olan bir
altuzay ı ise bu durumda W; V nin bir FG-altmodülüdür.
(ii) V; FG-modülünün FG-altmodülleri yaln ızca {0} ve V ise, bu durumda
V indirgenmez FG-modüldür.

56 Bölüm 5. FG-Altmodüller ve İndirgenebilirlik
5.3 Al ışt ırmalar
(1) G = C2 =< a : a 2 = 1 > ve V = F 2 olsun. Her (a, E V için
1(oı ,,(3) = (a, P) ve a(a,,(3) = (0, a) tan ımlayalım. V nin bir FGmodül
olduğunu gösterip, FG-altmodüllerini belirleyiniz.
(2) p ve cş ; G nin denk gösterimleri olsun. E ğer p indirgenebilir ise, bu
durumda o- da indirgenebilirdir. Gösteriniz.
(3) Al ıştırma 3.5 de verilen D6 n ın dört gösteriminden hangisi veya hangileri
indirgenmezdir
(4 )
a = (123), b = (456), c = (23)(45)
S6 n ın permütasyonlar ı ve G =< a,b,c > olsun.
(a) a3 = b3 = c 2 , ab = ba, e-lac = c- lbc = b' ve G nin
mertebesinin 18 oldu ğunu gösteriniz.
(b) e ve ri birimin kompleks küp kökleri olsun. G nin
E 0 7] 0
pa -= pb = i , pe =-- °
( O E -1 ' O 77- 1 Ol
şeklinde bir p gösterimine sahip oldu ğunu gösteriniz.
(c) e ve ıi nın hangi değerleri için p faithfuldur
(d)
E ve 77 n ın hangi de ğerleri için p indirgenmezdir
(5) G = C13 olsun. G nin ne indirgenebilir ne de indirgenmez olan bir
CG-modülünü bulunuz.

Bölüm 6
Grup Cebirleri
Sonlıı bir G grubunun grup cebiri, G nin i şlemi yard ımıyla tan ımlanan yeni
bir çarpmayla I G i-boyutlu bir vektör uzay ıd ır ve gösterin" teorisinde bilmek
istediğimiz birçok bilgiyi içermektedir.
Grup cebirleri tamam ıyla incelendiğinde sonlu gruplar ın gösterimleri daha
kolay anla şılacakt ır. Bu sebeple grup cebirleri bizim için büyük önem
ta şımaktad ır.
Bu bölümde G nin grup cebirini tan ımladıktan sonra, G nin regüler
gösterimi olarak bilinen ve daha sonra detaylar ıyla incelenecek olan önemli
bir faithful gösterimi in şa etmek için grup cebirini kullanaca ğız.
6.1 Bir G Grubunun Grup Cebiri
G elemanlar ı gi ,
gn olan sonlu bir grup ve F = IR veya C olsun.
FG = {Alg ı_ ... Ang,, : ai E F, 1 < i < n}
olmak üzere toplama ve skalerle çarpma i şlemleri:
için
n
u = Aigi, v = E F
i=1 =1
u v
(A),i)g,
57

58 Bölüm 6. Grup Cebirleri
şeklinde tan ımlan ır. Bu i şlemlerle ve {g ı ,...,g,} baz ı ile birlikte FG; F
üzerinde n-boyutlu bir vektör uzay ı olur. baz ına FG vektör
uzay ının doğal bazı denir.
Örnek 6.1.1 G = C3 = < a : a3 = e > devirli grubu için
şeklindedir.
CG = {ele + c2a c3a 2 : ci , c2, c3 E C}
u e — a -F 2a 2 , V = - 1 e + 5a 2
için
dir.
3 , 1 1 1 2
u + v = — e + 4a + 2a`, —u = —e — —a
—a
2
2 3 3 3 3
FG nin elemanlar ını
E Agg, (>g E F)
gEG
şeklinde de ifade edebiliriz.
Ayr ıca FG nin halka yap ıs ı da vard ır. Gerçekten; G deki çarpmay ı kullanarak
FG üzerinde a şağıdaki gibi bir çarpma tan ımlayabiliriz:
(gEG Agg)
hEG Phh) = Agl-lh(qh), (Ag,[th E T)
g,hEG
= (41-th -1 g)g
gEG hEG
Örnek 6.1.2 Eğer G = C3 ve u,v CG nin Örnek 6.1.1 deki elamanlar ı ise,
bu durumda
uv = (e — a 2a 2 )(Ze + 5a)
2 e + 5a — la — 5a 2 + a2 + 10a3
2
şeklindedir.
= — 21 2 e -I- 2 — 4a 2

6.1. Bir G Grubunun Grup Cebiri 59
Tan ım 6.1.3 FG vektör uzay ına
Agg h (gh) , As , ıtth E F)
gEG hEG g,hEG
çarp ımıyla, G nin F üzerindeki grup cebiri denir.
FG grup cebirinin tan ımladığımız çarpmaya göre bir birimi vard ır. 1; F
nin ve e; G nin birimi olmak üzere; FG nin birimi le dir. Kolaylık açıs ından
le yerine 1 kullanaca ğız.
Önerme 6.1.4 Her r,s,t E FG, A E F için FG de tanıml ı çarpma
aşağıdaki şartları sağlar:
(i)
(ii)
rs E FG,
r(st) = (rs)t,
(iii) rl = lr = r,
(iv)
(Ar)s = >(rs) = r(>s),
(v) (r s)t = rt st,
(vi)
r(s+ t) = rs rt,
(vii) r0 = Or = O.
Ispat
(i) rs nin tan ımı kullan ıl ırsa, rs E FG olduğu kolayca elde edilir.
r = A gg, s = ,ugg, t = Vgg, (4, Vg e F)
olsun. Bu durumda
gEG gEG gEG
(rs)t =
g,h,kEG
Agggl ık(gh)k
= A ggg likg(hk)
g,h,kEG
= r(st)
dir. Diğerleri okuyucuya, b ırakılmışt ır.

60 Bölüm 6. Grup Cebirleri
Genel olarak, herhangi bir vektör uzay ı (i)-(vii) özelliklerini sa ğlayan bir
çarpma i şlemine sahipse bu vektör uzay ına cebir denir. Fakat biz sadece grup
cebirleriyle ilgilenece ğiz. Görüldüğü gibi bir cebir hem vektör uzay ı hem de
halka yap ısma sahiptir.
■
6.2 Regüler FG-modül
Şimdi gösterimler teorisinde önemli bir yere sahip olan regüler FG-modülü
tan ımlamak için grup cebirini kullanaca ğız. Eğer V = FG ise, bu durumda
V; F üzerinde 1 G H n-boyutlu bir vektör uzay ıdır. u, v E V, A E F ve
g , h, E G için gv E V ve
(gh)v = g(hv)
lv = v
g(Av) = A(gv)
g(u+ v) = gu gv
özellikleri Önerme 6.1.4.(i),(ii),(üi),(iv) ve (v) den sa ğlamr. Böylece V bir
FG-modüldür.
Tan ım 6.2.1 G sonlu bir grup, F = lk veya C olsun. g E G ve v E V için
bilinen gv çarp ımı ile birlikte FG vektör uzay ına regüler FG-rnodill denir.
B; FG nin doğal baz ı olmak üzere g ---> [g]i3 gösterimine G nin regüler
gösterimi denir. Regüler FG-modülün F üzerindeki boyutu G dir.
Onerme 6.2.2 Regüler FG-modül faithfuldur.
Ispat g e G ve her v E V için gv v olsun.
gv = g(A ı g ı
Angn)
= Al(ggı ) An(ggn)
= Algı + Angn
her 1 < i < n için ggi = gi olduğundan g = 1 dir. Böylece V bir faithful
FG-modiildür.
■

6.3. Bir FG-Modiii Üzerinde FG nin Etkisi 61
Örnek 6.2.3 G = C3 =< a : a3 = e > olsun. Bu durumda FG nin
elemanlar ı 1 < i < 3 için Ai E F olmak üzere
Ale 4- >t 2a A3a 2
formundad ır. Böylece G nin FG üzerindeki etkisi;
e(Ale Aza+ A3a 2 ) = A ı e ata A3a 2
a(A i e A 2a A3a 2 ) A3e A l a A 2a 2
a 2 (A i e A 2a A 3a 2 ) = A 2 e A 3a Ai a2
şeklindedir. FG nin {e, a, a 2} doğal baz ına göre g ---> [g]B gösterimi
e--->
1
0
O
O
1
0
O
0 )
1
O
,a--->(1
O
O
0
I.
1
0),a 2
O
---+
( O
0
1
1
0
0
O
1
0
olarak elde edilir.
6.3 Bir FG-Modül Üzerinde FG nin Etkisi
Hat ırlayacağırn ız gibi bir FG-modül g E G, v E V için gv çarp ımıyla F cismi
üzerinde bir vektör uzay ıd ır. Çarpma tan ımını lineer olarak geni şleterek FG
grup cebirindeki her r eleman' için V deki rv eleman ını , şimdi vereceğimiz
doğal bir yolla belirleyebiliriz.
Tan ım 6.3.1 V bir FG-modül ve
olsun. Bu durumda
v E V, r = ggg E FG, (pg E F)
.geG
dir.
rv = (E ,ugg) v = ag (gv)
gEG
gEG

62 Bölüm 6. Grup Cebirleri
Örnek 6.3.2 V Örnek 4.2.1 deki ES 4 permütasyon modülü olsun. E ğer
A, /L E F için
ise,
r = A(12) + g(134)
ve böylece
şeklindedir.
rvi = A(12)v ı pı(134)vi = Av2 tı v3
rv2 = A(12)v2 + p(134)v2 = Av ı Pv2
r(2vi + v2) = 2Av2 2pv3 Avı + gv2
= Avi -I- (2A + p)v 2 2gv3
Örnek 6.3.3 Eğer V regüler bir FG-modül ise, bu durumda her v E V ve
r E FG için rv eleman', grup cebirinin elemanlar ı olan r ve v nin çarp ımıdır.
Önerme 6.3.4 V bir FG- ınodill olsun. Bu durumda her u, v E V, A E F
ve her r, s E FG için aşağıdakiler sağlanır:
(i) rv E V,
(ii)
(rs)v = r(sv),
(iii) lv = v,
(iv)
(v)
(vi)
r(v) = (rv) = (Ar)v,
r(ıt v) = ru rv,
(r s)v = rv sv,
(vii) 0v = r0 = O.
ispat
(ii) v E V ve r, s E FG olmak üzere;
r =
gEG
, s = >ghh
hEG

6.3. Bir FG-Modül Üzerinde FG nin Etkisi
63
olsun. Bu durumda,
(rs)v = ( A gg E ithh) v
gEG hEG
= Ag ıtih(gh)) V
g,hEG
A ggh(gh)V
g,hEG
= oithg(hv)
g,hEG
= Agg E Ph(hv)
g EG hEG
= r(sv)
dir. Diğerleri ah şt ırma olarak okuyucuya b ırak ılmışt ır.
6.Bölümün Ozeti
(i) G nin F üzerindeki FG grup cebiri, G nin bütün elemanlar ın ın lineer
kombinasyonlarm ı içerir ve doğal bir çarpmaya sahiptir.
(ii) FG vektör uzay ı v E FG, g E G için doğal gv çarp ımı ile birlikte bir
regüler FG-modüldür.
(lii) Regüler FG-modül faithfuldur.

64 Bölüm 6. Grup Cebirleri
6.4 Al ışt ırmalar
(1) G = D4 = < a,b : a4 = b2 = = a i > olsun.
(a) x = a 2a 2 , y = b+ ab — a2 E CG olsun. xy, yx, x 2 elemanlar ını
belirleyiniz.
(b) z = b + a2 b olsun. Her g E G için zg = gz olduğunu gösteriniz.
(2) C2 x C2 nin regüler gösterimine kar şılık gelen matrisi bulunuz.
(3) G = C2 ve r,s E CG olsun. rs = 0 olması r = 0 veya s = 0 olmas ın ı
gerektirir mi
(4) G = sonl ıı bir grup ve CG nin
eleman ın ı gözönüne alal ım.
C =
1=1
(a) Her h E G için eh = hc = e olduğunu ispatlay ınız.
(b) c2 =I G İ c olduğunu gösteriniz.
(e) O : CG CG; 0(v) = ev lineer dönü şümü verilmi ş olsun. CG
nin B baz ı {g,. ..,gn } olmak üzere [9]B matrisini belirleyiniz.
(5) Eğer V bir FG-modül ise, bu durumda her r E FG ve v E V için,
olduğunu gösteriniz.
r0 = O, Ov = O
Ayrıca I G I> 1 olmak üzere her sonlu G grubu için bir V; FG-modülü
ve v E V, r E FG vardır, öyleki r 0 ve n 0 için rv = 0 oldu ğunu
gösteriniz.
(6) G = D3 = < a, b : a3 = b2 = 1, b—l ab = a— ı > ve w = e 2"i/3 olsun. CG
nin 2-boyutlu
W = Sp{1 + w 2a + wa2 ,b w 2ab + wa2 b}
altuzay ı regüler CG-modülün bir indirgenmez CG-altmodülüdür. Gösteriniz.

Bölüm 7
FG-Homomorfizmalar
Gruplar ve vektör uzaylar ı için yap ı koruyan fonksiyonlar s ıras ıyla grup homomorfizmalar
ı ve lineer dönü şümlerdir. Benzer şekilde FG-modüller için
yap ı koruyan fonksiyonlar ise FG-homomorfizmalard ır. Bu bölümde FGhomomorfizmalar
ı det oylar ıyla inceleyeceğiz.
7.1 FG-Homomorfizmalar
Tanım 7.1.1 V ve W FG-modül, O : V --> W fonksiyonu, bir lineer
dönüşüm ve her v E V, g E G için
B(gv) = gO(v)
şart ını sağhyorsa, bu durumda O ya FG-homomorfizma denir. Ba şka bir
ifadeyle O, v yi w ye götürüyorsa gv yi de gw ya götürür.
Eğer G sollu bir grup ve O : V --+ W bir FG- homomorfizma ise, her
v e V ve r = A gg E FG için
g EG
0(rv) = O(Z Xg(gv))
gEG
= A g O(gv)
gEG
= A gg8(v)
gEG
TO(v)
65

66 Bölüm 7. FG-Homomorfizmalar
dir.
Aşağıdaki sonuç FG-altmodüllerin do ğal örneklerinin FG-homomorfizmalar
yard ımıyla elde edildi ğini göstermektedir.
Onerme 7.1.2 V ve W FG-modül ve 0 : V -- W bir FG-homomorfizma
olsun. Bu durumda Ker0; V nin ve ImO, W nin FG- altmodülüdür.
ispat Öncelikle 0 lineer dönü şüm oldu ğundan K er0; V nin, /mO; W nin
altuzaylar ıdır.
v E Ker.° ve g E G olsun. Bu durumda
9(gv) = gO(v) = g0 = 0
olduğundan gv E Ker0 d ır. Böylece Ker0; V nin FG-altmodülüdür.
w E /m0 olsun. Bu durumda w = 0(v) olacak şekilde bir v E V vard ır.
Her g E G için
gw = g9(v) = 9(gv) E /m0
olur ve böylece /m0; W nin FG-altmodülüdür.
■
Örnek 7.1.3 Eğer 0 : V W fonksiyonu her v E V için 0(v) = 0 ise, bu
durumda 9 bir FG-homomorfizma, Kel.° = V ve /m0 = {0} d ır.
Örnek 7.1.4 0 : V --> V fonksiyonu a E F ve v E V için 9(v) = Av olsun.
Bu durumda 0 bir FG-homomorfizmad ır. Ayrıca, 0 için Kere = {O},
/m0 = V dir.
Örnek 7.1.5 G; Sn in bir altgrubu, V = Sp{v ı , , v7,} permütasyon
modülü ve W = Sp{w} aşikar FG-modül olsun.
V den W ya tanımlanan 9; FG-homomorfizmas ını şöyle inşa edebiliriz:
O : n Ai) w, (Ai E F)
i=1 i=1
tan ımlayalım. Böylece her 1 < i < n için 0(vi) = w dir. Bu durumda 0 bir
lineer dönü şüm ve her v = E Aivi E V, g E G için
i= 1
ve
•rt
0(gv) = O (Aiv g ( i)) = (E Ai) w
i=1 i=ı

7.2. İzomorfik FG-Modüller 67
gO(v) = g ((Ek) w) =
i=ı
dir. Böylece O bir FG-homomorfizma ve
K er0 = {E Aivi : (E = O}
/mO
= )xiVi : E A• = O}
i=1
= W
şeklindedir. Ayr ıca Önerme 7.1.2 den Ker0; V permiitasyon modülünün
FG-altmodülüdür.
7.2 İzomorfik FG-Modüller
Tan ım 7.2.1 V ve W FG-modüller olsunlar. Eğer O : V W F G-
homomorfizmas ı tersinir ise O ya FG-izornorfizma denir. Eğer V ve W
aras ında bir FG-izomorfizma varsa V ve W ye izomorfik FG-modüller denir
ve V = W şeklinde gösterilir.
A şağıdaki sonuç V = W iken W = V oldu ğunu göstermektedir.
Onerme 7.2.2 Eğer O : V ---> W bir FG-izomorfizma ise 0 -1 :W
de bir FG-izomorfizm,adir.
V
ispat 0 -1 in tersinir bir lineer dönü şüm olduğunu biliyoruz. 0 halde 0 -1
in FG-homomorfizma oldu
ğunu göstermeliyiz. w E W ve g E G için
8(g(0-1(w))) = g8(0-1(w))
gw
dir. O birebir oldu ğundan
= 0(0-1 (g w))
0-1 (gw) = go-ı (w)
olur. Böylece ispat tamamlan ır.
■

68 Bölüm 7. FG-Homomorfiz ınalar
: V –k W bir FG-izomorfizma olsun. Bu durumda V ve W izomorfik
FG-modüllerinin cebirsel özellikleri ayn ıd ır. Böylece
(1) dimV = dimW .
,vnj; V nin bir baz ı {0(v ı ), , 0(v 7,)} W nin bir baz ı )
(2) V indirgenmez W indirgenmez.
(X; V nin FG-altmodülü < > 0(X); W nin FG-altmodülü)
(3) V bir a şikar FG-altmodül içerir < > W bir aşikar FG-altmod al içerir.
(X; V nin aşikar FG-altmodülü < > 0(X); W nin aşikar FG-altmodülü)
olur.
Şimdi izomorfik FG-modüllerin özelliklerini incelemeye devam edelim.
Izomorfik FG-modüllere kar şılık gelen gösterimlerin denk oldu ğunu göstermeden
önce bir önerme verelim.
Önerme 7.2.3 V ve W FG-modüllerinin izomorfik olmas ı için gerek ve
yeter şart her g E G için
[g]Bı = [9],52
olacak şekilde V nin B i ve W nin B2 bazlarının var olmas ıdır.
Ispat B : V --+ W bir FG-izomorfizma ve B i = {vi, , tın } V nin bir baz ı
olsun. Bu durumda B2 = {0(V ı ), O(V n)} de W nin bir baz ı olur. Ayrıca
g E G ve her 1 < i < n için O(gvi) = gO(vi) olduğundan [g]Bi = [g]B2 dir.
Tersine, her g E G için [g]Bi = [g]B2 olacak şekilde V nin
Bi = {vi, . , v n } baz ı ve W nin B2 = {Wi, Wn } baz ını gözönüne alal ım.
0; V den W ya her 1 < i < n için 0(vi) = wi şeklinde tan ımlanan tersinir
bir lineer dönü şüm olsun. [g]B, = [g]B2 olduğundan her 1 < i < n için
O(gvi) = gO(vi) olur. Böylece 0 bir FG-izomorfizmad ır.
■
Teorem 7.2.4 V ve W s ırasıyla B ve B' bazlarıyla FG-modüller olsunlar.
Bu durumda
V = W < > p : g ----> [g]3 ve ō g [g]B i gösterimleri denk ise.
İspat V ve W izomorfik FG-modüller olsun. Önerme 7.2.3 den her g E G
için [9]B İ = [g]B2 olacak şekilde V nin Bi ve W nin B2 bazları vardır.
p gösterimi Teorem 4.3.1.(i) gere ğince G nin

7.2. İzomorfik FG-Modüller 69
O: [9]Bi
şeklinde tan ımlanan 0, gösterimine denktir. Yine Teorem 4.3.1.(i) den G nin
: g ----> [9]132 = [g]Bi
şeklinde tan ımlanan gösterimi Q ile denktir. O halde p ve e G nin denk
gösterimleridir.
Tersine p ve e G nin denk gösterimleri olsunlar. Bu durumda Teorem
4.3.1.(ii) den
cf(9) = [g]Bn
olacak şekilde V nin bir B" baz ı vard ır.
0-(9)= [9],9' ve °-(9)= [9]B"
olduğundan her g E G için [g]B , = [g],9 ,, olur. Her g E G için [g]/31 = [9]B"
olacak şekilde V nin bir B" ve W nin bir B' baz ı bulunduğundan Önerme
7.2.3 gere ğince V = W dur. ■
Örnek 7.2.5 G = C3 =< a : a3 = 1 > ve W regüler bir FG-modül olsun.
Bu durumda B' = {1, a, a 2 }; W nin bir baz ıdır. Ayrıca
1 0 O O o ı o 1 o
[ ı ]B, = ( o ı o ) , [a]B , = ı o o , [a2]B, = ( o o ı
o o ı o o ı o o
olur. Şimdi bunu Örnek 4.2.3 deki V FG-modülü ile kar şılaştıralım.
V; B = v3} baz ıyla
avı = v2, av2 = v3, av3 =
etkisine sahiptir. Bu durumda [g]B = [g]B ' olup, Önerme 7.2.3 den V ve W
izomorfik olurlar. Gerçekten, Xi E F olmak üzere
0 : A2y2 4- .X3v3 ---> A 2a A 3a2
fonksiyonu V den W ya tan ımlı bir FG-izomorfizmad ır.

70 Bölüm 7. FG-Homomorfizmalar
Örnek 7.2.6 G = D 4 =< a,b : a4 = b 2 = 1, b-lab = a i > olsun. G nin
Örnek 3.1.2 deki
ı
P(a) = -
1
0 )
p(b) ( )
a(a) -=
(i
0 _ i ) , a(b)--= °1 01
gösterimlerini gözönüne alal ım. V; {vi , v 2 } baz ı ve
etkisi, W da {w ı , w 2 } baz ı ve
avı = -v 2 , bv ı = vi , av 2 = vı ,
bv2 = -v2
awi = iw ı , bwi = w2, aw2 = -iw2, bw2 = w ı
etkisiyle birer CG-modül olsunlar. B = {v i , v2} ve B' = {wi,w2} olarak
alırsak; her g E G için
P {g]B ve u : g [g] B ,
elde ederiz. p ve o- denk oldu ğundan. Teorem 7.2.4 den V ve W izomorfiktirler.
Gerçekten
: V
vi
v2
— iw2
— w ı 4- w2
şeklinde tan ımlanan bir tersinir lineer dönü şüm ise, bu durumda j = 1,2
için
0(avi) = a0(v3 ), 0(bvi) = b0(vj)
dir. Sonuç olarak O : V
W bir CG-izomorfizmad ır.
7.3 Direkt Toplamlar
Şimdi FG-modüllerin direkt toplamlar ın ı kullanarak bir FG-homomorfizman ın
nas ıl olu şturulacağın ı göreceğiz.
V bir FG-modül olsun. U ve W; V nin FG-altmodülleri olmak üzere

7.3. Direkt Toplamlar 71
V = U eı W
olsun. Bi = {u ı, , um }; U nun B2 =
Wrd W nin bazlar ı olsunlar.
Bu durumda Sonuç 2.4.4 den B = {u i , . • • , um w ı , • • • , wn} ; V nin bir baz ıd ır
ve her g E G için
Egl B
Eg B ( 0
0
[ g 1 B2
şeklindedir.
Genel olarak, 1 < i < r için Ui ler FG-altmodüller olmak üzere e ğer
V = ED G ve Bi; Ui nin baz ı ise, bu durumda Bi, , B, bazlar ından
V nin bir B baz ını elde ederiz ve g E G için
Egb3 =
[g]131
O
şeklindedir.
A şağıdaki sonuç bize direkt toplamlar yard ımıyla bir FG-homomorfizmanın
nas ıl olu şturulacağın ı göstermektedir.
Önerme 7.3.1 V bir FG-modül olsun. 1 < i < r için Ui ler V nin FGaltmodülleri
olmak üzere V = Ui 6 ED U. olsun. Bu durumda her v E V
ve ui E Ui için v = 211 . u, yaz ılım ı tek türlüdür. Ayr ıca 1 < i < r için
iri : V --> V
V --> Vi
ise, ıri bir FG-homomorfizma ve V nin bir projeksiyonudur.
İspat Açık olarak ıri bir lineer dönü şüm ve her ui E Ui, her g E G ve her
v = ui 4- ... ur E V için
ıri(gv) = r(gu ı
... gur) = gui = g ıri(v)
olduğundan ri bir FG-homomorfizmad ır. Ayrıca,
ır,(v) =
olduğundan ıri; V nin bir projeksiyonudur.
= ui = ri(v)
■

72 Bölüm 7. FG-Homomorfizmalar
Şimdi indirgenmez FG-modüllerin direkt toplam ını olu şturmaya ili şkin
bir teknik verece ğiz.
Onerme 7.3.2 V bir FG-modül ve 1 < i < r için Ui; V nin indirgenmez
FG-altmodülleri olmak üzere
olsun. Bu durumda V; baz ı
V = + • • • + Ur
FG-altmodüllerin direkt toplam ıdır.
Ispat Şimdi indirgenmez U ı , ..., U, FG-altmodiillerinden direkt toplam
olan maksimum say ıda Uir leri seçmeye çalışacağız.
Bunun için
U,.} nin
(i) Wı + • .. Ws direkt (yani Wı ... Ws )
(ii) Eğer Ui E Y ise Wı + . • • + Ws Ui direkt olmas ın.
şartlar ın ı sağlayan Y = {Wı , Ws } altcümlesini gözönüne alal ım.
W = Wı + + Ws olsun. Her 1 < i < r için U,s C W olduğunu
gösterelim. Eğer Ui E Y ise Uz c W dir.
Ui E Y olsun. Bu durumda W + Ui direkt de ğildir. Yani W fl {O}
dır. Fakat W fl ; ui nin FG-altmodülü ve Ui indirgenmez oldu ğundan
W n ui ve Ui C W olur.
Her 1 < i < r için C W oldu ğundan
elde edilir.
v = w = w, ... e 147,
Eğer Vı , • • • , Vr FG-modüller ise Vı El) ... Vr dış direkt toplam ını, her
vi E V, g E G için
■
g(vl , • • ,vr)
çarp ımıyla FG-modül yapabiliriz.
(gv ı , . • .,gvr)
7. Bölümün Özeti
(i) Eğer V ve W; FG-modül ve g E G, v E V için B : V ---> W
0(gv) = ge(v),
şart ını sağlayan bir lineer dönü şüm ise O bir FG-homomorfizmad ır.

7.4. Al ıştırmalar 73
(ii) Bir FG-homomorfizman ın çekirdek ve görüntüsü FG-modüldür.
(iii) Denk gösterimlere kar şılık gelen FG-modüller izomorftur.
7.4 Alışt ırmalar
(1) U, V ve W; FG-modüller ve 0 : U --> V, cP : V ----> W; FGhomomorfizmalar
olsun. Bu durumda 00 : U W da bir FGhomomorfizmad
ır. Gösteriniz.
(2) G =< (12345) > olsun. G nin permütasyon modülü ile regüler FGmodülün
izomorfik oldu ğunu gösteriniz.
(3) V bir FG-modül olsun.
Vo = {v E V : gv = v,g E G}
altcümlesinin V nin FG-altmodülü oldu ğunu gösterinin. Ayr ıca v E V
için
: v --> gv
gEG
fonksiyonunun V den Vo a tan ımlanan bir FG-homomorfizma oldu ğunu
gösteriniz. 0 örten midir Ara şt ırınız.
(4) V ve W izomorfik FG-modüller olsun. V ve W nin s ıras ıyla Vo ve
Wo FG-altmodüllerini Al ıştırma 3 deki gibi tammlayahm. Vo ve Wo
ın izomorfik FG-modüller olduğunu gösteriniz.
(5) G; S4 ün (12) ve (34) taraf ından üretilen bir altgrubu olsun. G nin
permütasyon modülii ile regüler FG-modülü izomorfik midir Ara ştırınız.
(6) G = C2 =< X : X 2 = 1> olsun.
(a) ol, (3 E F için 8 : al -I- --> (ct — )3)(1 — x), fonksiyonunun
regüler FG-modülden regüler FG-modüle tan ımlanan bir FGhomomorfizma
olduğunu gösteriniz.
(b) 0 2 = 28 m ıd ır Araştır ınız.

74 Bölüm 7. FG-Homomorfizmalar
(c) FG nin
[91B ..:__. ( 2 O
O O
olacak şekilde bir B bana' bulunuz.

Bölüm 8
Maschke Teoremi
Şimdi gösterim teorisinin ilk önemli sonucu olan Maschke Teoremini verece ğiz.
Bu teoremin bir önemli sonucu F = R veya C olmas ı durumunda (F nin
seçimi oldukça önemlidir) her FG-modülün indirgenmez FG-modüllerin direkt
toplam ı şeklinde yaz ılabilmesidir. Bu sebeple gösterim teorisi indirgenmez
FG-modüllerin incelenmesi üzerinde yo ğunla şmıştır.
8.1 Maschke Teoremi
Teorem 8.1.1 (Maschke Teoremi) G sonlu bir grup, F = R veya C ve V
bir FG-modül olsun. Eğer U; V nin bir FG-altrnodülü ise, bu durumda
V = U ED W
olacak şekilde V nin bir W FG-altmodülii vardır.
Ispat V nin bir U FG-altmodülünü gözönüne alalım. Bu durumda
V = U ED Wo olacak şekilde V nin herhangi bir Wo altuzay ını seçelim (Wo
ır. Fakat {vi , ver,,}; U nun bir baz ı olmak üzere bu
için birçok seçim vard
baz, V nin {vi , , vn, , vm+i , , un } baz ına tamamlayacak olursak
Wo = Sp{v m+i , , vn } şeklinde seçilebilir).
v E V için v = u w olacak şekilde u E U, w E Wo vektörleri tektir.
: V V
v .0(v) = u
V nin bir projeksi-
fonksiyonunu gözönüne alal ım. Önerme 2.12.1 den q5 ;
yonudur. Ayr ıca Kerçb = Wo , Imcb = U şeklindedir.
75

76 Bölüm 8. Maschke Teoremi
yardımıyla V den V ye görüntü cümlesi U olacak şekilde bir FGhomomorfizma
tan ımlayacağız. Eğer
0 : V --> V
v ---> 0(v) =
1
G (8. 1)
olarak tammlamrsa, bu durumda 0; V nin bir endomorfizmas ı ve /m0 C U
dur.
Şimdi 0 n ın bir FG-homomorfizma oldu ğunu gösterelim. v E V ve x E G
için;
0(xv) = ı G G ,g0(g-I (xv))
g ler G yi tararken h -1 = g- ı x de G yi tarar. Bu durumda
0(xv) = G1 E xho(h- ı(v)). x
ı hEG hEG
ho(h-iv). xo(v)
olur. Böylece 0 bir FG-homomorfizmad ır.
Şimdi 0 2 = 0 olduğunu gösterelim. Öncelikle, u E U, g -1 E G için
g- lu E U ve 0(g-lu) = g-l u dur. Bu durumda,
E
e(u) G 9,0(g-Lıt), gg -1 u = u = u (8.2)
İ
G I gEG
olup, v E V için 0(v) E U dur. Bu durumda 0(0(v)) = 0(v) oldu ğundan
bir projeksiyondur.
Sonuç olarak bir 0 : V --> V projeksiyonu ve FG- homomorfizmas ını
olu şturmu ş olduk. Ayrıca (8.2) den Irn8 = U dur. W = Kere olsun. Bu
durumda W; V nin FG-altmodülü (Onerme 7.1.2) ve V = U e W (Onerme
2.12.4) olur. Bu da ispat ı tamamlar. ■
Örnek 8.1.2 Eğer F = R veya C olarak seçilmezse Maschke Teoremi hatal ı
sonuç verebilir. Örne ğin p bir asal say ı , G = Cp =< a: aP =1> ve F = Zp
olsun. j = 0,1, ... ,p - 1 için
G
gEG
a -->
(1 j
0 1

8.1. Maschke Teoremi 77
fonksiyonunu G nin bir gösterimidir. V = Sp{v i , v2} her 0 < j < p — 1 için
a3 vi = v ı
aiv2 = jv ı + v2
etkisiyle bir FG-modüldür. Aç ık olarak U = Sp{vi}; V nin FG-altmodülüdür.
Fakat V = U ED W olacak şekilde bir W FG-altmodülü bulunamaz.
Örnek 8.1.3 G = S3 ve V = S p{v i , v2 , v3}; F üzerinde bir permütasyon
modülü olsun. u = vi + v2 v3 olmak üzere U = Sp{u} olarak seçelim. Bu
durumda her g E G için gu = u olduğundan U; V nin bir FG-altmodülüdür.
V = U ED W olacak şekilde birçok W altuzay ı bulunabilir. Örneğin
Sp{v2 , v3 }, Sp{v i , v2} ve Sp{v i , v2 — v3 } bu şart ı sağlayan altuzaylard ır.
Şimdi Wo = Sp{v i , v2} olarak seçelim. Kolayca gösterilbilir ki Wo bir FGaltmodül
değildir. U üzerinde bir cP projeksiyonu
--> 0
v 2 0
V3 --->
+ V2 + V3
olarak gözönüne al ınırsa (8.1) deki gibi bir FG-homomorfizma;
şeklindedir. Aranan W FG-altmodülü;
: v, --> (vi 1- v2 + v3) , = 1,2,3)
3
W = K er6+ = W = {Z Aivi : = O}
= {vi — v2, v2 V3}
şeklindedir.
Eğer V nin bir B baz ı {vi v2 + v3, vi, v2} ise, bu durumda her g E G
için [g]i3 matrisi;
■ ■ ■
[g]k3 = O ■ ■
O ■ ■
formundad ır. [g]B matrisindeki s ıfırlar U nun V nin FG-altmodülü olduğunu
göstermektedir. Eğer B' baz ı olarak {vi + v2 + v3 , vi — v2 , v2 — v3} ahmrsa
matrisi

78 Bölüm 8. Maschke Teoremi
■ 0 0
[g]B, = (O ■ ■
0 ■ ■
formuna sahiptir. Bunun sebebi Sp{v ı — v 2 , v 2 — v3} ün FG-altmodül olmas
ıd ır.
Bu örnek Maschke Teoreminin matrisler cinsinden nas ıl ifade edilece ğini
göstermektedir:
G sonlu bir grup olsun. E ğer her g E G için [g]B matrisi
EgD3 =
formuna sahip olacak şekilde V nin bir B baz ı varsa, bu durumda
[g]B , = o*
0* )
olacak şekilde V nin bir B' baz ı bulunabilir.
Şimdi p sonlu bir G grubunun n yinci dereceden indirgenebilir bir gösterimi
olsun. Bu durumda X g ; k x k, (0 < k < n) tipinde bir matris olmak üzere
p gösterimi
Y
zg ) (.9 e G)
şeklindeki bir gösterime denktir.
Maschke Teoreminin bir sonucu olarak 0 < k < n için p gösterimi A g ;
k x k tipinde bir matris olmak üzere
şeklindeki bir gösterime denktir.
g
(A g
0
OBg )
8.2 Maschke Teoreminin Sonuçlar ı
Şimdi s ıfırdan farkl ı bir FG-modülü indirgenmez FG-altmodüllerin direkt
toplam ı olarak yazabilmek için Maschke Teoremini kullanaca ğız.

8.2. Maschke Teoreminin Sonuçlar ı 79
Tan ım 8.2.1 V bir FG-modül ve 1 < i < r için Ui ler V nin indirgenmez
FG-altmodülleri olmak üzere
V =
ise, bu durumda V ye tamamen indirgenebilirdir denir.
Teorem 8.2.2 Eğer G sonlu bir grup ve F = R veya C ise, bu durumda
s ıf ırdan farklı her FG-modül tamamen indirgenebilirdir.
ispat V s ıfırdan farkl ı bir FG-modül olsun. İspat ı V nin boyutu üzerinde
tümevar ım uygulayarak yapaca ğız. dimV = 1 ise, bu durumda V indirgenmez
olduğundan iddia doğrudur.
Eğer V indirgenmez ise, bu durumda iddia yine do ğrudur. Kabul edelim
ki V indirgenebilir olsun. Bu durumda V nin {O} ve V den farkl ı bir U FGaltmodülü
vard ır. Maschke Teoreminden V = U ED W olacak şekilde bir
W FG-altmodülü vard ır. dimU < dimV ve dimW < dimV olduğundan
tümevar ımla 1 < i < r) olmak üzere Ui indirgenmez FG-altmodülleri için
U =Ui®•••® Ur
ve Wi (1 < j < s) indirgenmez FG-altmodülleri için
w = e . e W,
şeklinde yaz ılabilir. Bu durumda Sonuç 2.4.5 den
v (ii . • • e ur e wı e • • • e Ws
olup, V indirgenmez FG-altmodüllerin direkt toplam ıdır.
Maschke Teoreminin bir önemli sonucu da aşağıda verilmi ştir.
Onerme 8.2.3 V bir FG-modül, F = 118 veya C, G sonlu bir grup olsun.
U; V nin bir FG-altırıodillii olmak üzere V den U ya örten bir FGhomomorfizma
vard ır.
Ispat U; V nin bir FG-altmodülü ise, Maschke Teoreminden V = U ED W
olacak şekilde V nin bir W FG-altmodülü vard ır. Bu durumda Önerme
7.3.1 den u E U, w E W için
■
Ir : V U
fonksiyonu örten bir FG-homomorfizmad ır.
W
■

80 Bölüm 8. Maschke Teoremi
Teorem 8.2.2 s ıfırdan farkl ı her FG-modülün indirgenmez FG-altmodüllerin
direkt toplam ı olarak yaz ılabileceğini göstermektedir. Böylece FG-modüller1
daha iyi anlayabilmek için indirgenmez FG-modülleri detaylar ıyla incelemek
gerekmektedir. Bir sonraki bölümde bu çal ışmam ıza başlayacağız.
8.Bölümün Ozeti
(i) Maschke Teoremi V nin her U FG-altmodülü için
V = U IED W
olacak şekilde V nin bir W FG-altmodülü bulunabileceğini gösterir.
(ii) S ıfırdan farkl ı her FG-modül indirgenmez FG-altmodüllerin direkt
toplam ı olarak yaz ılabilir.
8.3 Al ışt ırmalar
(1) G =< x : x3 =1 > ve V Sp{v ı , v2}
XVI = V2, XV2 =
- V2
etkisi ile 2-boyutlu CG-modülünü gözönüne alal ım. V yi indirgenmez
CG-modüllerin direkt toplam ı olarak ifade ediniz.
(2) G = C2 X C2 olsun. Bu durumda RG grup cebirini 1-boyutlu RGaltmodüllerin
direkt toplam ı olarak yaz ın ı z.
(3) V KerO Ime olacak şekilde bir G grubu, bir V CG-modülii ve
O :V ---> V, CG-homomorfizmas ı bulunuz.
(4) G sonlu bir grup ve p : G GL(2,(C); G nin bir gösterimi olsun.
p(g)p(h) = p(h)p(g) olacak şekilde g,h E G varsa, p nun indirgenmez
oldu ğunu gösteriniz.
(Yol Gösterme: Örnek 5.2.4 ve Al ışt ırma 5.1, 5.3, 5.4 ve 6.6 y ı kullan
ınız.)
(5)
G = ( 1 01
n E z

8.3. Al ış t ırmalar 81
ve v E V, g E G için gv vektörü g matrisi ile v sütun vektörünün
çarp ımı olmak üzere V = C 2 CG-modülünii gözönüne alal ım. V nin
tamamen indirgenebilir olmad ığın ı gösteriniz.
(6) V; {vi, ...,v„} baz ıyla bir CG-modül ve U; V nin bir CG-altmodülü
olsun. Her E C için V üzerinde aşağıdaki gibi bir kompleks
iç-çarp ım tanımlayalım.
n n n
E ,uivi >=
z=1 z=1 z=1
Şimdi V üzerinde bir ba şka kompleks iç-çarp ım da
[u, = < xu, xv > , (u, v E V)
xEG
olsun.
(a) Her u, v E V, g E G için
[gu, gv]
[u, vi
olduğunu gösteriniz.
(b) U; V nin bir CG-altmodülü olsun.
= {v E V : [u,v] = 0,Vu E U}
olmak üzere Ui in V nin bir CG-altmodülü oldu ğunu gösteriniz
(c) Maschke Teoreminin sonuçlar ını elde ediniz.
(Yol Gösterme: V nin her U altuzay ı için V = U 6+ U1 dir.)
(7) Her sonlu G grubu için indirgenmez faithful bir CG-modülün var oldu ğunu
ispatlayın ız.

Bölüm 9
Schur Lemmas ı
Schur Lemrnas ı indirgenmez modüller için önemli bir sonuçtur. Schur Lemmas
ı ifade ve ispat ının kolaylığına rağmen, gösterimler teorisinin temelini
te şkil etmektedir. Gerçekten sonlu de ği şmeli gruplar ın indirgenmez gösterimlerininin
belirlenmesinde, Schur Lemmas ı kullanaca ğımız önemli bir yöntem
olacakt ır.
Schur Lemmas ı RG-modüllerden ziyade CG-modüllerle ilgili bir çok uygulamaya
sahip oldu ğundan kalan k ısımda CG-modüllere daha çok yer verece ğiz.
9.1 Schur Lemmas ı
Onerme 9.1.1 (Schur Lemmas ı) V ve W indirgenmez CG-modüller olmak
üzere
(i) Eğer 9 : V --> W bir CG-homomorfizma ise, bu durumda O CGizomorfizma
veya her v E V için 0(v) = 0 dzr.
(ii)
Eğer 9 : V --> V bir CG-izomorfizma ise, bu durumda 9; lv birim
endomorfizmasin ın bir katidir.
Ispat
(i) Bir v E V için 9(v) L 0 olsun. Bu durumda /m0 {0} d ır. Onerme
7.1.1 den /m0; W nin bir CG-altmodülü ve W indirgenmez oldu ğundan
/m0 = W dir. Ayn ı şekilde Onerme 7.1.1 den Kere; V nin CGaltmodülüdür.
Kere V ve V indirgenmez olduğundan, Kere = {0}
olur. Böylece 0 bir CG-izomorfizmad ır.
83

84 Bölüm 9. Schur Lemmas ı
(ii) Sonuç 2.11.1 den O endomorfizmas ı bir A E C özde ğerine sahip ve
böylece K er(0 — Alv) g {O} d ır. K er(0 — /Uy); V nin sıfırdan farkl ı
bir CG-altmodülüdür. V indirgenmez oldu ğundan K er(8 — Alv) = V
dir. Bu nedenle her v E V için
ve böylece
(O— Alv)v = 0
şeklindedir.
= Alv
Onerme 9.1.2 V s ıfırdan farklı bir CG-modül olmak üzere V den V ye
tan ımlanan her CG-homomorfizma 1v nin bir kat ı olsun. Bu durumda V
indirgenmezdir.
Ispat U; V nin {0} ve V den farkl ı bir CG-altmodülii olsun. Maschke
Teoreminden
V= Ue W
olacak şekilde V nin bir W CG-altmodülü vard ır. Bu durumda her
u E U, w EWiçin
7t" : V V
W
ır(u + w) = u
projeksiyonu bir CG-homomorfizmad ır ve lv nin bir kat ı değildir. Bundan
dolay ı V indirgenmezdir.
■
Sonuç 9.1.3 p : G ---> G L(n,C); G nin bir gösterimi olsun. Bu durumda
p nun indirgenmez olmas ı için gerek ve yeter şart g E G için
■
AP(9) = P(9)A
şartını sağlayan her n x n tipindeki A matrisinin a E C olmak üzere A =
şeklinde olmas ıdır.

9.1. Schur Lemmas ı 85
Ispat Teorem 4.1.4.(i) den v E en , g E G için
gv = p(g)v
çarp ımıyla C' bir CG-modüldür.
A; n x n tipinde bir matris olsun. en in v —* Av endomorfizmas ının bir
CG-homomorfizma olmas ı için gerek ve yeter şart
A(gv) = g(Av) (g E G, v E en )
olması ve bu e şitliğin sağlanmas ı için gerek ve yeter şart
Ap(g) = p(g)A (g E G)
olmas ıd ır. Schur Lemmas ı ve Önerme 9.1.2 den istenen sonuç elde edilir. ■
Örnek 9.1.4 G = C3 a : a 3 = 1 > ve p : G GL(2,C);
O -1
P(a)= ( 1 -1
G nin bir gösterimidir. Her g E G için p(g) ler;
O -1
matrisi taraf ından belirlendi ğinden Sonuç 9.1.3 gere ğince p indirgenebilirdir.
Örnek 9.1.5 G = D5 =< a, b a5 = b2 = 1, b-lab = a- ı > ve w e 2zi I 5
olsun. p G --* GL(2,C);
P(a) = ow °w-ı , M) =
(
ile G nin bir gösterimdir. cx, 0,7 , 5 E C olmak üzere
o
1 )
A a 'Y 13'5 1
olsun. Ap(a) = p(a)A olmas ı için (3 = 7 = 0 ve Ap(b) = p(b)A olmas ı için
a = ,S olmalıdır. Bundan dolay ı
A =
a O
0 a
= aI
şeklindedir. Sonuç 9.1.3 den p indirgenmezdir.

86 Bölüm 9. Schur Lemmas ı
9.2 Sonlu Değişmeli Gruplar ın Gösterimleri
G sonlu deği şmeli bir grup ve V indirgenmez bir CG-modiil olsun. x E G
için G deği şmeli olduğundan
gxv = xgv (g E G)
ve bundan dolay ı V nin v --> xv endomorfizmas ı bir CG-homomorfizmad ır.
Schur Lemmas ından bu endomorfizma
şeklindedir. Böylece her v E V
için
xv =
olup, V nin her altuzay ı bir CG-altmodüldür. V indirgenmez oldu ğundan
dimV = 1 olacakt ır. Böylece a şağıdaki önermeyi verebiliriz.
Onerme 9.2.1 Eğer G sonlu değişmeli bir grup ise, bu durumda her indirgenmez
EG-modülün boyutu 1 dir.
Şimdi sonlu deği şmeli gruplar için önemli bir sonucu ispats ız olarak veriyoruz.
Onerme 9.2.2 Her sonlu değişmeli grup devirli grupların bir direkt çarpımına
izomorftur.
ni ,
pozitif tamsay ılar olmak üzere
Cn„ x
x Cnr
şeklindeki direkt çarp ımlar ın indirgenmez gösterimlerini belirleyebiliriz.
Onerme 9.2.2 den bulaca ğımız indirgenmez gösterimler, sonlu de ğişmeli
gruplar ın indirgenmez gösterimleri olacakt ır.
G = Cn, x x Cnr ve 1 < i < r için Ci =< ci > olsun.
gi = (1, ,ci,... ,1) (ci i. yerde)
ise, bu durumda g' = 1, her i, j için gigi = ve G =< gı ,...,g, >
şeklindedir.
p : G G L(n,C); G nin bir indirgenmez gösterimi olsun. Bu durumda
n = 1 olmak üzere Onerme 9.2.1 den 1 < i < r için
p(gi) = (Ai)

9.2. Sonlu Değişmeli Grupların Gösterimleri 87
olacak şekilde Ai E C vard ır. gi nin mertebesi ni olduğundan -= 1 olup,
birimin ni yinci dereceden köküdür. g E G ise i i , , ir tamsay ılar ı için
= g ı il • • •9r ir ve Ah değerleri p yu belirlediğinden
P(g) = P(911 • • • g '. ) (Mi • • • 4r ) (9.1)
şeklinde olacakt ır. (9.1) i sağlayan G nin p gösterimi her i i ,
, ir için
=
olsun. Diğer yandan 1 < i < r için birimin n i yinci kökleri Ai ler verildi ğinde
P r r )
fonksiyonu G nin bir gösterimidir. G nin bu tür gösterimlerinin say ıs ı
n ı • n 2 • ... • nr dir ve bu gösterimlerin herhangi ikisi denk de ğildir.
Böylece a şağıdaki teorerni ispatlam ış olduk.
Teorem 9.2.3 G = Cni x x Cn rolmak üzere G üzerinde in şa edilen
gösterimleri indirgenmez ve dereceleri 1 dir. G nin bu tür gösterimlerinin
sayısı I G I dir. Ayr ıca G nin C üzerindeki her gösterimi bu tür
gösterimlerden birisine denktir.
Örnek 9.2.4 G = Cn =< a : an = 1 > ve w = e'ri/n olsun. G nin
indirgenmez n tane pu,,(0

88 Bölüm 9. Schur Lemmas ı
9.3 Köşegenle ştirme
H =< g : gn = 1 > ve V s ıfırdan farkl ı bir CH-modül olsun. Teorem 8.2.2
gere ğince 1 < i < r olmak üzere Ui indirgenmez CH-altmodülleri için
v
ııı e ... e ur
şeklindedir. Önerme 9.2.1 den dolay ı her bir (Ii 1-boyutludur. w =
olsun. Bu durumda 1 < i < r için
gui = wm' ui
olacak şekilde bir mi tamsay ı s ı vard ır. Bundan dolay ı eğer B = {ui ,
V nin bir baz ı ise, her g E H için
, u,};
Egl .B =
wn1, 1
o
. . O
wmr
(9.2)
şeklindedir.
Onerme 9.3.1 G sonla bir grup ve V bir CG-modiil olsun. Eğer g E G ise,
bu durumda [g]E3 matrisi köşegensel olacak şekilde V nin bir B baz ı vardır.
Eğer g nin mertebesi n ise, bu durumda [g]B nin kö şegen bile şenleri birimin
n yinci dereceden kökleridir.
Ispat H =< g : gn = 1 > olsun. V bir CH-modüldür ve (9.2) den ispat
biter.
■
9.4 Schur Lemmasm ın Uygulamalar ı
Schur Lemmas ının ilk uygulamas ı CG grup cebirinin önemli bir altuzay ı ile
ilgili olacakt ır.
Tan ım 9.4.1 G sordu bir grup olmak üzere
Z(CG) = {z E CG : zr rz, her r E CG için}
cümlesine CG grup cebirinin merkezi denir.

9.4. Schur Lemmas ın ın Uygulamaları 89
Z((CG); CG nin altuzay ıd ır. G deği şmeli ise, bu durumda Z(CG) = G
dir. Keyfi bir G grubunda Z((CG) nin G nin gösterimleri için önemli bir yere
sahip olduğunu göreceğiz. Örneğin, Z(CG) nin C üzerindeki boyutu G nin
indirgenmez gösterimlerinin say ısına e şittir.
Örnek 9.4.2 1, g E Z(CG) dir. Gerçekten, H; G nin herhangi bir
gEG
normal altgrubu ise, bu durumda
dir. Gerçekten z =
L h E Z(CG)
hEH
h ise, bu durumda her g E G için
hEH
gzg - = L ghg-1 = h = z
hEH hEH
dir ve böylece zg = gz olur. Sonuç olarak her r E CG için zr = rz dir.
Örneğin, eğer G = D3 =< a, b : a3 = b 2 = 1, b-lab = a-1 > ise {1},
< a > ve G; G nin normal altgruplar ıdır. Ayrıca
1, 1+ a a 2 , 1+ a + a 2 + b+ ab+ a2 b
Z((CG) dedin. Son bölümde bu elemanlar ın Z(CG) nin haz ım olu şturduğunu
görece ğiz.
Şimdi Schur Lemmas ını Z(CG) nin elemanlar ının önemli bir özelli ğini
belirlemek için kullanaca ğız.
Onerme 9.4.3 V indirgenmez bir CG-modül ve z E Z((CG) olsun. Bu
durumda her v E V için
olacak şekilde bir E (C vard ır.
Ispat r E CG ve v e V için
zv = Av
zrv = TZV
ve bundan dolay ı v --» zv; V den V ye tan ımlanan bir CG-homomorfizmad ır.
Schur Lemmas ı gere ğince bu CG-homomorfizma A E C olmak üzere Alv
şeklindedir.
■

90 Bölüm 9. Schur Lemmas ı
Tan ım 9.4.4 Z(G) = {z E G : zg = gz, her g E G için} cümlesine G
grubunun merkezi denir.
Z(G); G nin bir normal altgrubudur ve Z(CG) nin de bir altciimlesidir.
CG nin merkezindeki baz ı elemanlar ayn ı zamanda G nin de merkezindedir.
Onerme 6.2.2 den her G sonlu grubu için bir faithful CG-modül vard ır.
Bu CG-modülün indirgenmez CG-modül olmas ı gerekmez. Gerçekten a şağıdaki
sonuç G nin indirgenmez faithful CG-modüllerine önemli bir k ısıtlama
getirmektedir.
Önerme 9.4.5 Eğer indirgenmez bir faithful CG-modül varsa, bu durumda
Z(G) devirlidir.
ispat V indirgenmez bir faithful CG-modül olsun. E ğer z E Z(G) ise, bu
durumda z E Z(CG) ve Onerme 9.4.3 den her v E V için
zv = Az v
olacak şekilde bir A z E C vard ır. V faithful olduğundan z E Z(G) için
z
fonksiyonu, Z(G) den C* a tan ımlanan birebir bir homomorfizmad ır. Bundan
dolayı Z(G) -:.'z' {A z E C:z E Z(G)} dir. C* ın sonlu her altgrubu devirli
olduğundan Z(G) de devirlidir.
■
Önerme 9.4.5 in kar şıtı her zaman do ğru olmayabilir. Yani Z(G) devirli
olacak şekilde bir G grubu verildi ğinde, bir indirgenmez faithful CG-modiil
bulmak her zaman mümkün de ğildir.
Örnek 9.4.6 Eğer G değişmeli bir grup ise G = Z(G) ve Önerme 9.4.5
den G devirli verilmedikçe indirgenmez bir faithful CG-modül bulunamaz.
Örneğin, C2 x C2 indirgenmez faithful bir gösterime sahip de ğildir.
Değişmeli olmayan gruplar ın indirgenmez gösterimlerini in şa etmek değişmeli
gruplar ınkine oranla daha zordur. De ği şmeli gruplar ın bütün indirgenmez
gösterimlerinin derecelerinin 1 oldu ğunu Onerme 9.2.1 de göstermi ştik.
Şimdi bu önermenin kar şıtının da doğru olduğunu gösterelim.
Onerme 9.4.7 G her indirgenmez CG-modülünün boyutu 1 olan sonlu bir
grup olsun. Bu durumda G değişmelidir.
Az

9.4. Schur Lemmasm ın Uygulamaları 91
Ispat Teorem 8.2.2 den CG regüler CG-modülünü dimVi = 1 olmak üzere Vi
indirgenmez CG-altmodüllerinin direkt toplam ı olarak yazabiliriz. 1 < i < n
için Vi = Sp{vi} olmak üzere
olsun. Bu durumda B =
CG =
ED . • • E9 Vn
CG nin bir baz ı olur. Her x, y E G
için [x].B ve [y]B matrisleri kö şegenseldir ve böylece [x]B[y]B = [Y]s[x]B. dir.
Onerme 6.2.2 den g E G için
gösterimi faithful oldu ğundan p(xy) = p(yx) olması xy = yx olmas ını gerektirir.
■
[9]B
9. Bölümün Özeti
(i) Schur Lemmas ı indirgenmez CG-modüller aras ındaki CG-homomorfizmalar
ın ya s ıfır homomorfizma ya da CG-izomorfizma oldu ğunu söylemektedir.
Üstelik indirgenmez CG-modülden kendine tan ımlanan CGhomomorfizmalar
birimin (1v) bir kat ıd ır.
(ii) CG grup cebirinin Z((CG) merkezi CG nin bütün de ğişmeli elemanlar
ından olu şur. Z(CG) nin elemanlar ının bütün indirgenmez CGaltmodüllerdeki
etkisi birimin (1v) bir kat ı şeklindedir.
(iii) G sonlu değişmeli grubun bütün indirgenmez CG-modülleri 1-boyutludur
ve bunlar ın sayısı 1 G I dir.

92 Bölüm 9. Schur Lemmas ı
9.5 Alışt ırmalar
(1) C2, C3 ve C2 x C2 gruplar ının indirgenmez gösterimlerini belirleyiniz.
(2) G = C4 x C4 olsun.
(a) G nin her g E G için p(g 2) = (1) şeklinde tan ımlanan aşikar
olmayan bir indirgenmez gösterimini bulunuz.
(b) G nin derecesi 2 olan ve g E G için Q(g) = (-1) şeklinde tan ımlanan
indirgenmez bir gösterime sahip olmad ığını gösteriniz.
(3) G = C7ı, x x Cnr. olsun. G nin faithful gösteriminin derecesinin r
oldu ğunu gösteriniz. G derecesi r den küçük olan bir faithful gösterime
sahip olabilir ini Ara şt ır ın ız.
(4) G = D4 =< a, b : a4 = b 2 = 1, b- lab = a-4 > olsun. G nin
-5 -4
P(a) = ( 10 7) ' P(b) = ( 6 5 )
şeklinde bir gösterime sahip oldu ğunu gösteriniz. Her g E G için
M p(g) = p(g)M
ko şulunu sağlayan bütün 2 x 2 tipindeki M matrislerini bulunuz. Ayr ıca
p nun indirgenmez olup olmad ığın ı belirleyiniz.
Aynı işlemleri C nin a gösterimi
Q(a) =
( 5 4 ( )
a(b) =
-6 -5 ' 6 5
için tekrarlaym ız.
( 5 )
V bir indirgenmez CG-modül ise, bu durumda v E V için
gEG
g) v =
olacak şekilde bir A E C oldu ğunu gösteriniz.

9.5. Ahştırmalar 93
(6) G = D3 =< a,b: a3 = b2 = 1 , b- lab = a-1 > olsun. w = e 27`i/3 olmak
üzere
W = Sp{1 + w 2 a + wa 2 , b + w 2ab 4- wa 2 b}
regüler CG-modülün indirgenmez altmodülü olsun.
(a) a a-1 E Z(CG) olduğunu gösteriniz.
(b) Her v ı E W için (a (2 -1 )w = >w şart ın ı sağlayan bir A e
bulunuz.
(7) A şağıdaki gruplar ın hangileri indirgenmez faithful gösterime sahiptir
(a) C, (n pozitif tamsay ı),
(b) D4,
(C) C2 X D41
(d) C3 X D4.

Bölüm 10
Indirgenmez Modüller ve
Grup Cebirleri
G sonlu bir grup ve CG; G nin C üzerindeki grup cebiri olsun. CG yi regüler
CG-modül olarak gözönüne alacak olursak, 1 < i < r için Ui ler indirgenmez
CG-altmodüller olmak üzere Teorem 8.2.2 den
CG =
.. • ED Ur
olduğunu biliyoruz. Bu bölümde her indirgenmez CG-modülün U ı. , , U,
CG-modüllerinden birine izomorf oldu ğunu gösterece ğiz. Böylece indirgenmez
CG-modüller sonlu çoklukta olaca ğından indirgenmez CG-modülleri belirlemek
için CG yi indirgenmez CG-altmodüllerinin bir direkt toplam ı olarak
yazmak yeterli olacakt ır. Fakat, G küçük bir grup olmad ıkça, bu yöntem
pratikte çok kullan ışlı değildir.
10.1 CG nin İndirgenmez Altmodülleri
Maschke Teoreminin bir sonucunu vererek bu bölüme ba şl ıyoruz.
Onerme 10.1.1 V ve W CG-modüller, B : V ---> W bir CG-homornorfizma
olsun. Bu durumda V nin V = Ker0 ED U ve U :=_'• Prn0 olacak şekilde bir U
CG-altmodiilii vardzr.
Ispat Önerme 7.1.1 den Ker0; V nin CG-altmodülü olduğundan Maschke
Teoremi gere ğince V nin V = Ker0 e ı U olacak şekilde bir U CG-altmodülü
vardır.
95

96 Bölüm 10. İndirgenmez Modüller ve Grup Cebirleri
B: U --> Im0
u —> 6(u) = O(u)
fonksiyonunu gözönüne alal ım. 8 nin CG-izomorfizma olduğunu göstereceğiz.
0 CG-homomorfizma oldu ğundan aç ık olarak 8 de bir CG-homomorfizmad ır.
Eğer u E KerB ise, u E Ker0 n U = {O} ve bundan dolay ı Ker-0 = {O}
dır. Şimdi w E İmO olsun. Bu durumda 0(v) = w olacak şekilde bir v E V
vardır. k E Ker0,u E U için v = k u olsun. Bu durumda
w = 0(v) = 0(k u) = 0(k) + 0(u) = --d(u)
olur. Buradan /m8 = /m0 dır. Böylece 8 : U --> Ime tersinir
CG-homomorfizmad ır. Bundan dolay ı U I m6i dır.
Onerme 10.1.2 V bir CG-modül ve 1 < i < s olmak üzere Ui indirgenmez
CG-altmodülleri için
V = e) ...d) U,
olsun. Eğer U; V nin herhangi bir indirgenmez CG-altmodülü ise bu durumda
1 < i < s için U dir.
ispat uE U,1

10.1. CG nin İndirgenmez Altmodülleri 97
Tan ım 10.1.4 V bir CG-modül, U indirgenmez bir CG-modül ve V; U
ya izomorf olan bir CG-altmodüle sahip ise, bu durumda U ya V nin bir
kompozisyon faktörü denir.
Tan ım 10.1.5 Eğer bir indirgenmez CG-modül V ve W CG-modülleri için
bir kompozisyon faktörü ise, V ve W ya bir ortak kompozisyon faktörüne
sahiptir denir.
Şimdi her indirgenmez CG-modülün, regiiler CG-modülün bir kompozisyon
faktörü oldu ğunu göstereceğiz.
Teorem 10.1.6 CG regüler
rekt toplam ı, yani
indirgenmez CG-altmodüllerin di-
CG Uı
... Ur
ise, bu durumda her indirgenmez CG-modül, 1 < i < r için Ui indirgenmez
CG-altmodüllerinden birisine izomorftur.
Ispat W indirgenmez bir CG-modül ve 0 w E W olsun.
{rw : r E CG}
altuzay ı W nin bir CG-altmodülüdür. W indirgenmez oldu ğundan
olur. Eğer
W {rw : r E cG}
: CG W
r rw
ise, bu durumda 0 bir lineer dönü şüm ve I 7710 = W dur. Ayr ıca r, s E CG
için
0(rs) = (rs)w = r(sw) = r0(s)
olduğundan O bir CG-homomorfizmad ır.
Onerme 10.1.1 gere ğince CG nin
CG = U ED K er0 ve U ImB
olacak şekilde bir U CG-altmodülü vard ır. W indirgenmez oldu ğ undan U da
indirgenmezdir. Onerme 10.1.2 den 1 < i < r için U = Uı dir. Bu durumda
W Ui olur ki, bu da ispat ı tamamlar.
■

98 Bölüm 10. indirgenmez Modüller ve Grup Cebirleri
Teorem 10.1.6 da bir G grubunun indirgenmez CG-modüllerinin say ısının
sonlu olduğunu ve her bir indirgenmez CG-modülün bu indirgenmez CGmodüllerden
birisine izomorf oldu ğunu gördük. Şimdi bunu aşağıdaki sonuçta
ifade edelim.
Sonuç 10.1.7 Eğer G sordu bir grup ise, bu durumda sadece sonlu sayıda
izomorfik olmayan indirgenmez CG-modül vard ır.
Teorem 10.1.6 gere ğince bir G grubu verildi ğinde tüm indirgenmez CGmodülleri
bulmak için regüler CG-modülü indirgenmez CG- modüllerin bir
direkt toplam ı olarak yazmak yeterli olacakt ır. Fakat, a şağıdaki örneklerden
de görülece ği gibi bu yöntem pratikte tüm indirgenmez CG-modülleri belirlemek
için çok kullan ışlı değildir.
Örnek 10.1.8 G = C3 =< a : a3 = 1 > ve w = e 2"ii3 olsun. vo, vi, v2 E CG
v0 = 1 + a + a 2
vi = 1 -F w 2a wa 2
V2 =
wa w 2 a2
olmak üzere i = 0,1,2 için Ui = Sp{vi} olsun. Bu durumda
olur. Benzer şekilde
avi = a 4- w 2 a 2 lw = wvi
avi = tv'vi (i = 0,1,2)
şeklindedir. Buradan i = 0,1,2 için (Ii CG nin CG-altmodülüdür.
{vo , vi , v2 } nin V = CG nin bir baz ı olduğu kolayca gösterilebilir. Bundan
dolay ı
cCG=UoeU ı
e U2
ve böylece CG; Ui indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ıdır.
Teorem 10.1.6 gere ğince her indirgenmez CG-modiil Uo , Ui veya U2 ye
izomorftur. O < i < 2 için (ii lere kar şılık gelen G nin indirgenmez
gösterimleri Örnek 9.2.4 de verilen p ipi lerdir.
Örnek 10.1.9 G = )33 =< a,b : a3 = b 2 = 1, b-l ab = a -1 > olsun. CG yi
indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ı olarak yazabiliriz. w = e 27ri/3
ve

10.1. CG nin İndirgenmez Altmodülleri 99
vo = 1+ a a 2 , WO = bV0
v i = w 2a wa2, w ı = bv2
v2 = 1+ wa w 2 a2, w2 = bv ı
olsun. Örnek 10.1.8 den 0 < i < 2 için avi = wivi olduğundan, Sp{vi} ve
Sp{wi}; C < a >-modiillerdir. Ayr ıca
btio = Wo,
bVi = W2,
bv2 = W İ ,
bwo = vo
bu) ]. = v2
bw2 = v ı
dir. Bu sebeple Sp{v o , wo }, w2 } ve Sp{v 2 , wi }; C < b >-modüller ve
böylece CG-altmodüllerdir. Örnek 5.2.4 den U3 = Sp{v ı , w 2} ve
U4 = Sp{v 2 , w ı } CG-altmodüllleri indirgenmezdir. Fakat U = Sp{v o ,w0 },
Ui = Sp{vo+wo} ve U2 = Sp{vo- wo} olmak üzere U = Uı e U2 olduğundan
U indirgenebilirdir.
{vo , vi, v2, wo, w ı , w2} CG nin bir baz ı ve böylece
cCG=Ui e U2eU3 e U4
indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ıdır. CG nin bu ayr ışımında Ui
aşikar CG-modül ve Ui; U2 ye izomorf değildir. Fakat U3 U4 (yı w ı ,
w2 ----> v 2 şeklinde bir CG-izomorfizma vard ır) olduğu kolayca gösterilebilir.
Teorem 10.6.1 den izomorfik olmayan tam üç tane (U i , rı2 , U3 ) CG-modül
vardır. Böylece D3 ün her gösterimi kesin olarak a şağıdakilerden birisine
denktir.
P ı : a (1), b --> (1)
P2 (1), b ---> (-1)
P3 a -->
(w O
0 w - ı ) 7
01 )
10. Bölümün Özeti
(i) Her indirgenmez CG-modül regüler CG-modülün bir kompozisyon faktörü
olarak gözükür.
(ii) Sadece sonlu say ıda izomorfik olmayan indirgenmez CG-modül vard ır.

100 Bölüm 10. İndirgenmez Modüller ve Grup Cebirleri
10.2 Alışt ırmalar
(1) G sonlu bir grup olsun. CG nin a şikar CG-modüle izomorf olan bir
CG-altmodülünü bulunuz. Bu CG-altmodül tek midir
(2) G = C4 olsun. CG yi indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ı
olarak yaz ın ız.
(Yol Gösterme: Örnek 10.1.8 deki yöntemi kullamn ız.)
(3) G = D4 =< a, b a4 = b 2 = 1, b-1 ab = a-1 > olsun. CG nin
aui = u ı , bu ı
etkisine sahip 1-boyutlu Sp{u ı } CG-altmodülünü bulunuz. Ayr ıca CG
nin
au 2 = -u2, au3 = -u3
but = u2, bu3 = -u3
etkilerine sahip 1-boyutlu Sp{u 2 } ve Sp{u 3 } CG- altmodüllerini bulunuz.
(4) Örnek 10.1.9 daki yöntemle D4 ün C üzerindeki bütün indirgenmez
gösterimlerini bulunuz.
(5) V; s ıfırdan farkl ı bir CG-modül, Uı ve U2 izomorfik CG-modüller olmak
üzere V = Uı e U2 olsun. V nin Uı ve U2 den farklı , fakat her ikisine
de izomorf olan bir U CG-altmodülünü bulunuz.
(6) G = (28 =< a,b : a 2 = b2 ,a4 1, b-l ab a- ı > ve v
avı = ivı bvi = -v2
av 2 = -iv2 bv2 = v ı
etkisiyle bir CG-modül olsun. V nin indirgenmez oldu ğunu gösteriniz
ve CG nin V ye izomorf olan bir CG-altmodülünü bulunuz.

Bölüm 11
İzomorfizmalar ve Grup
Cebirleri
Bu bölümde sonlu bir G grubunun CG grup cebirini daha ayr ınt ıh olarak
inceleyeceğiz. Bir önceki bölümde CG grup cebirini; 1 < i < r için Ui ler CG
nin indirgenmez CG-altmodülleri olmak üzere
CG = ... Ur
olarak yazm ışt ık. Teorem 10.1.6 da, her U indirgenmez CG-modülün Uı
lerden birisine izomorf oldu ğunu görmü ştük. Bu bölümde U nun Uı lerden
kaç tanesine izomorf oldu ğu sorusunu cevaplayaca ğız. Teorem 11.1.8 de bu
sayının tam olarak dinzU olduğunu ispatlayacağız.
Şimdi bu bölümün temel teoremi olan Teorem 11.1.8 in ispat ında kullanacağımız
H omeG(V, W) uzay ının özelliklerini verelim.
11.1 CG-Homomorfizmalar ın Uzay ı
Tanım 11.1.1 V ve W CG-modüller olsun. V den W ya tan ımlanan tüm
CG-homomorfizma1ar ın cümlesini H om,w(V, W) ile gösterelim. HomcG(V, W)
üzerinde toplama ve skalerle çarpma i şlemlerini O, E H omeG(V,W), a E c,
v E V olmak üzere
(O + 0)(v) = 0(v) + 0(v)
p∎O)(v) \0(v)
şeklinde tan ımlayalım. Bu durumda O -I- q5, AB E HomcG(V,W) dir. Bu
i şlemlerle H orneG(V,W); C üzerinde bir vektör uzay ıd ır.
101

102 Bölüm 11. ızomorfizmalar ve Grup Cebirleri
HomcG(V,W) vektör uzay ı üzerindeki çalışmam ıza Schur Lemmas ın ın
bir uygulamasıyla ba şlayalim.
Onerme 11.1.2 Eğer V ve W indirgenmez CG-modüller ise, bu durumda
diTTL(HOMCG(V ı W))
1, V = W ise
O , V W ise
dir.
Ispat V W olsun. Bu durumda Schur Lemmas ından V den W ya
tan ımlanan bir CG-homomorfizma s ıfır homomorfizmas ıdır. Böylece
HomcG(V, = {0} olup, din2(Hom cG(V,W)) = 0 d ır.
Şimdi V = W ve O : V —t W bir CG-izomorfizma olsun. E ğer
E HomeG(V, W) ise, bu durumda O -1 O; V den V ye tan ımlanan bir CGizomorfizmad
ır. Schur Lemmas ından
O-1 0 = Alv
olacak şekilde bir A E C vard ır. Bu durumda çb, = AO olur ve
HomcG(V, W) = {A0 : A E C}
1-boyutlu bir uzayd ır.
•
Onerme 11.1.3 V ve W CG-modüller olsun. E ğer H omcG(V,W) {0}
ise, bu durumda V ve W bir ortak kompozisyon faktörüne sahiptir.
Ispat O; H ornw(V,W) nin s ıfırdan farkl ı bir eleman ı olsun. O # 0 olduğundan
Maschke Teoremi gere ğince V = Ker0 e U olacak şekilde s ıfırdan farkl ı
bir U CG-altmodülü vard ır. Eğer X; U nun indirgenmez CG-altmodülü
ise, 0(X) {0} ve V = Kere e U olduğundan Schur Lemmas ı gere ğince
0(X) = X dir. Böylece X; V ve W nin bir ortak kompozisyon faktörüdür.
■
Bundan sonra verece ğimiz sonuçlar Hom cG(V, W) nin boyutunun nas ıl
hesaplanaca ğına ili şkindir.
Onerme 11.1.4 V, Vi, V2 ve W, Wl, W2 CG-modüller olsun. Bu durumda
(i) dim(H omcG(V,W ı eW2)) = dim(H omcG(V,W1))+dirn(II orneG(V,W2))
(ii) dim(H orneG(VIEDV2, W)) = dim(HomcG(V ı , W))+diin(HOMCG(V2, W))

11.1. CG-Homomorfizmalar ın Uzay ı 103
Ispat
(i) w ı E W1,w2 E W2 için,
ve
iri : W2 Wi
(w ı + w2) ir ı (w ı w2) = w ı
7r2 e W2 -4 W2
(W1 + W2) 7r2(W1 + W2) = W2
fonksiyonlar ını gözönüne alalım. Önerme 7.3.1 den ir i ve ir 2 CGhomomorfizmalard
ır. Eğer O E HomeG(V,W ı ED W2 ) ise, bu durumda
7r ı O E HomcG(V, Wı ) ve ır2 O E HomcG(V, W2) dir.
Şimdi O E H omeG(V,W İ EB İ W2) için H omeG(V, w2 ) den HomeG(V, Wı )
ve H omcG(V, W2) nin dış direkt toplam ına tan ımlanan bir fonksiyon
f : (z ı O, R- 2 0)
şeklinde ise, bu durumda f bir lineer dönü şümdür. Şimdi f nin tersinir
olduğunu gösterelim. 1 < i < 2 için
E H omcG(V, Wi) olmak üzere fonksiyonu;
: v ---> 01(v) -F 02(v) (v E V)
ise, ç E HomcG(V, W ı ED W2) ve f (0) = (7r10,7r20) = (Oh 952) dir.
Böylece f örtendir.
Eğer O E K er f ise, bu durumda her v E V için (7r 1 0)(v) = 0 ve
(z20)(v) = 0 d ır. Böylece O(v) = ((ir i 7r2)0)(v) = 0 olup, O = 0 ve
dolayısıyla K er f = {0} dır. Yani f birebirdir.
Böylece HomcG(V, Wı El) W2) den HomeG(V, Wı ) e HomcG(V, W2 ) ye
tersinir bir lineer dönü şüm kurmu ş olduk. Sonuç olarak bu iki vektör
uzayının boyutlar ı aynıdır.
(ii) O E HomcG(VI E9 172, W) için 1 < i < 2 ve vi e V, olmak üzere O n ın Vi
ye k ıs ıtlamas ı olan

104 Bölüm 11. İzomorfizmalar ve Grup Cebirleri
Ovi : Vi —t W
vi --+ Ovi (vi ) = 0(v
fonksiyonunu gözönüne alal ım. Bu durumda 1 < i < 2 için
8 14 E HomeG(Vi,W) dir.
Şimdi HomcG(Vİ e 172 W ) den HomeG(Vı , W) e HomcG(V2 , W) ye
bir h fonksiyonunu
h :
(Ov„Ov2 ) (O E HomcG(Vı ED V2 W))
şeklinde tan ımlayalım. Aç ık olarak h birebir bir lineer dönü şümdür.
= 1,2 için Oi E HomcG(Vi, W)
: vl 4- v2 --> (v ı) 02(v2) (vi E Vi)
ise, ¢ E Hornw(Vİ EBV2, W) dir. Ayr ıca h(cM = 02) dir. Dolay ıs ıyla
h örtendir. h tersinir lineer dönü şüm olup, böylece bu iki vektör
uzay ın ın boyutu ayn ıdır.
Şimdi V, W, Wi (1 < i < r,1 < j < s) CG-modüllerini gözönüne
alalım. Tümevar ım yoluyla Onerme 11.1.4 den
■
dim(HomcG(v,w, e • • • e ws)) =
dim(Horn,,,(vi e ... e yr , W))
clirrt(HomeG(V,147.i))
j=ı.
dim(Hom cG(Vi, W)) (11.2)
elde edilir. Böylece
dim(HomeG(V İ ED. Wıe. .eWs)) =
dim(HomeG(Vi, Wi)) (11.3)
sonucunu elde ederiz.
Bütün Vi ve Wi ler indirgenmez olduklar ında (11.3) ve Onerme 11.1.2
yard ımıyla H ormcG(V,W) nin boyutunu hesaplamak mümkün olacakt ır. Şimdi
bunu a şağıdaki sonuçla ifade edelim.

11.1. CG-Homomorfizmalann Uzay ı 105
Sonuç 11.1.5 I< i < r için (ii ler indirgenmez CG-rnodüller olmak üzere
V = Uİ E13.••ED Ur
bir CG-modül olsun. Eğer W indirgenmez bir CG-modill ise, bu durumda
H omeG(V,W) ve HomeG(W, V) nin boyutlar ı Ui W şartını sağlayan Ui
CG-modüllerinin say ıs ına eşittir.
Ispat (11.1) ve (11.2) den
dim (H omcG(V,W ) )
dim(HomcG(Ui, W))
ve
dint(H OrncG(V,W)) =
dir. Ayr ıca Önerme 11.1.2 den
dirn(H OnteG(W Uz))
i=1
dim(HomcG(Ui, W)) = dim(HomcG(W, Ui)) =
{1, Uz '.:',.' W ise
o, ui w ise
dir. Buradan istenen elde edilir.
■
Örnek 11.1.6 G = D3 için Örnek 10.1.9 da CG = Ui El) U2 ® U3 ® U4 nin
indirgenmez CG-modüllerin bir direkt toplam ı olduğunu biliyoruz. Burada
U3 = U4 fakat U3, Ul veya U2 den birisine izomorf de ğildir. Böylece Sonuç
11.1.5 den
dim(HomeG(U 3 , (CG)) = dim(HomeG(CG, U3 )) = 2
olur. Alıştırmalar k ısmında bu iki CG-homomorfizmalarm uzay ının bazlar ın ı
bulmanız istenecektir.
Şimdi vereceğimiz önerme, bir regüler CG-modülden bir ba şka CG-modiile
tan ımlanan CG-homomorfizmalar ın uzayının boyutunu verecektir.
Önerme 11.1.7 Eğer U bir CG-rrıodül ise, bu durumda
dur.
dim(H om cG((CG , U)) = dimU

106 Bölüm 11. İzomorfizmalar ve Grup Cebirleri
Ispat dimU = k olsun. U nun bir {u i, , uk} baz ını seçelim. r E CG
olmak üzere 1 < i < k için
: CG ---> U
r —÷ Oi(r) = rui
fonksiyonunu gözönüne alal ım. Bu durumda her r, s E CG için
cki(rs) = (rs)ui = r(sui) -= rOi(s)
olduğundan, Oi E HomeG(CG, U) dur.
Şimdi {01 , , Ok} cümlesinin H omeG((CG , U) nun baz ı olduğunu gösterece ğiz.
E HomeG(CG, U) olsun. Bu durumda 1 < i < k olmak üzere Ai E C
için
0(1) = Alu, + ...+ AkUk
olur. ¢ bir CG-homomorfizma oldu ğundan, her r E CG için
0(r)
0(r1)
r0(1)
= rAluı ...+ rAkuk
=ru ı -I- • . . -F Akruk
A101 (r) + • • • + AkOk(r)
Ng51. + • • • + AkOk)(r)
elde edilir. Buradan çb = Ai (bi ...4- AkOk dir. Bundan dolay ı {01, . • • , 4};
H omcG(CG,U) uzay ını gerer.
Şimdi 1 < i < k olmak üzere Ai E C için
olsun. Bu durumda
A101 + • • • + AkOk
O
(A101 + • • • + AkOk)( 1 )
= Alu ı + • • • + AkUk
ve {ui , , uk} lineer bağımsız olduğundan 1 < i < k için Ai = 0 d ır. Böylece
{01, • • . , çbk}; HomcG(CG, U) nun bir baz ıdır ve dolay ısıyla
dim(Hom cG(CG, U) = k dır.
■
Şimdi bu bölümün temel teoremini verece ğiz. Bu teorem bize bir indirgenmez
(CG-modülün, regüler EG-modülün ayr ışımında kaç defa gözüktüğünü
söylemektedir.

11.1. CG-Homomorfizmalar ın Uzay ı 107
Teorem 11.1.8 CG;
CG =
e • • • €1) Ur
şeklinde indirgenmez CG-altmodüllerinin bir direkt toplam ı olsun. Eğer U
herhangi bir indirgenmez CG-modül ise, bu durumda Ui = U olan CGaltmodüllerin
say ıs ı dimU ya e şittir.
İspat Önerme 11.1.7 gere ğince
dimU = dim(H omeG((CG U))
ve Sonuç 11.1.5 den bu e şitlik; Uz U olan Ui lerin say ıs ına e şittir. ■
Örnek 11.1.9 G = D3 için Örnek 10.1.9 dan CG = Ui e U2 e U3 e U4,
Uı ve U2 nin birbirine izomorf olmad ığın ı ve U3 ve U4 ün izomorf olduğunu
hat ırlayal ım. Bunu Teorem 11.1.8 e uyarlayacak olursak,
dimUi = 1 olduğundan Ui; CG de 1 defa gözükür.
dimU2 = 1 olduğundan U2; CG de 1 defa gözükür.
dimU3 = 2 olduğundan U3; CG de 2 defa gözükür.
Tan ım 11.1.10 Eğer her indirgenmez CG-modül, herhangi ık ıs ı ızomorf
olmayan Vi, Vk indirgenmez CG-modüllerinden birisine izomorf ise,
...,V1,} cümlesine indirgenmez CG-modüllerin bir tam eümlesi adı verilir.
Bu bölümü Teorem 11.1.8 in önemli bir sonucu olan bütün indirgenmez
CG-modüllerin boyutlar ı ile grubun eleman say ısı aras ında önemli bir ili şkiyi
vererek bitiriyoruz.
Teorem 11.1.11 {Vb ..., Vk} izomorfik olmayan indirgenmez CG-modüllerin
bir tam cilmlesi olsun. Bu durumda
dir.
k
E(di'mVi) 2 =I G
i=1
İspat CG = Ui e ... e G indirgenmez CG-altmodüllerin direkt toplam ı ve
1 < i < k için di = dimVi olsun. Teorem 11.1.8 den her bir i için (ii
olan CG-altmodüllerin say ısı di ye e şittir. Bu sebeple

108 Bölüm 11. İzomorfizmalar ve Grup Cebirleri
dirn((CG) = dirnUı
dinzUr
k
= d.(dimVi)
i=1
k
= di 2
i=1
olur. dimCG =I G I olduğundan ispat tamamlan ır.
■
Örnek 11.1.12 G mertebesi 8 olan bir grup ve G nin tüm indirgenmez
CG-modüllerinin boyutlar ı da
, dk olsun. Teorem 11.1.11 den
i=1
dil = 8
dir. A şikar CG-modül 1-boyutlu oldu ğundan indirgenmez bir CG-modüldür.
Böylece enaz bir 1 < i < k için di = 1 dir. Bu durumda di ,...,dk için
mümkün olan durumlar
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ve 1, 1, 1, 1, 2
şeklindedir. Bu iki olas ılığın birincisi, G değişmeli grup (Önerme 9.2.1) ve
ikincisi de G = D4 (Alıştırma 10.4) olmas ıdır.
Daha sonra göreceğiz ki, her i için dimVi; G I yi böler ve bu bilgi Teorem
11.1.11 ile birle ştirildiğinde, indirgenmez CG-modüllerin boyutlar ını bulmak
daha kolay olacakt ır.
11. Bölümün Özeti
(i) dim(HomcG(V ı ED• • •EDVT Wı EB• • •ED147,)) =
dim(HomcG(Vi, Wi))
i=ı j= ı
(ii) dim(gom cG(CG , U)) = dimU
(iii) CG = Ui e ... e Ur indirgenmez CG- modüllerin bir direkt toplam ı ve
U herhangi bir indirgenmez CG- modül olsun. Bu durumda Ui = U
olan Ui CG-modüllerinin say ısı dimU ya eşittir.

11.2. Al ış t ırmalar 109
(iv) Eğer {Vb Vk} izomorfik olmayan indirgenmez CG-modüllerin bir
tam cümlesi ise, bu durumda
t=
climVi) 2 =I G I
dir.
11.2 Alışt ırmalar
(1) Eğer G mertebesi 6 olan de ğişmeli olmayan bir grup ise, bütün indirgenmez
CG-modüllerin boyutlar ın ı bulunuz.
(2) Eğer G mertebesi 12 olan bir grup ise, G nin tüm indirgenmez gösterimlerinin
olas ı dereceleri nedir Ayr ıca D6 nın indirgenmez gösterimlerinin
derecelerini bulunuz.
(Yol Gösterme: Al ıştırma 5.3 ii kullan ınız.)
(3) G sonlu bir grup olsun. lionıeG(CG,(CG) nin bir baz ını bulunuz.
(4) G = S, ve V n-boyutlu bir permütasyon modülü olsun. E ğer U aşikar
CG-modül ise, H omw(V, U) nun boyutunun 1 oldu ğunu gösteriniz.
(5) G = D3 ve CG = Ui e U2 e U3 e U4, Örnek 10.1.9 daki gibi indirgenmez
CG-modüllerin direkt toplam ı olsun. HomeG(CG, U3) ve
H omw(U3, CG) uzaylar ının bazlar ın ı bulunuz.
(6) {VI , Vk} izomorfik olmayan indirgenmez CG-modüllerin bir tam
cümlesi ve V ile W keyfi CG-modüller olsun. E ğer 1 < i < k için
ise, bu durumda
= dim(HomeG(V, Vi)) ve ei = dim( H omeG(W, Vi))
di m ( H omw ( V, W )) =
diei
olduğunu gösteriniz.

110 Bölüm 11. İzomorfizmalar ve Grup Cebirleri

Bölüm 12
E şlenik S ın ıflar ı
Bu bölümde, ilerideki çah şmalar ımızda ihtiyaç duyacağımız dihedral, simetrik
ve alterne gruplar ın e şlenik s ın ıflar ını belirleyece ğiz. Ayr ıca bu bölümün
son kısmında bir grubun e şlenik s ın ıflar ı ile grup cebiri aras ındaki ili şkisiyi
verece ğiz.
12.1 E şlenik S ınıflar ı
Tan ım 12.1.1 x, y E G olsun. Eğer y = gxg -1 olacak şekilde bir g E G
varsa, bu durumda x ile y; G de eşleniktir denir. G de x e e şlenik olan tüm
elemanlar ın cümlesi
x G = {gxg -1 : g E G}
şeklindedir. x G ciimlesine x in G içindeki eşlenik s ın ıfı adı verilir.
Şimdi verece ğimiz önerme herhangi iki e şlenik s ınıfının ortak bir elemana
sahip olmad ığın ı göstermektedir.
Onerme 12.1.2 Eğer x, y E G ise, bu durumda x G = yG veya
x G n y G (1) dir.
Ispat xG fl yG (b olsun. Eğer z E xG n yG ise, bu durumda
z = gxg -1 = hytt-1 olacak şekilde g, h E G vard ır. k = g-l h olmak üzere
x = = kyk-1 dır. Böylece
111

112 Bölüm 12. E şlenik S ın ıfları
a E x G > a = bxb-1 olacak şekilde b E G vard ır.
> a = bkyk -l b-i
> a = cyc-1 , (c = bk)
> a E yG
dir. O halde x G C yG dir. Benzer şekilde yG C x G olduğu kolayca
gösterilebilir. Sonuç olarak xG = yG dir.
■
Her x E G için x = lx1 -1 olduğundan x E x G dir ve böylece G e şlenik
s ın ıflar ının bir birle şimidir. 0 halde a şağıdaki sonucu ifade edebiliriz.
Sonuç 12.1.3 Her grup eşlenik s ınıflarının bir birleşimidir ve farkl ı e şlenik
s ınıfları ayrıkt ır.
Tan ım 12.1.4
G nin e şlenik s ınıflar ı olsun. Eğer
G = x IGU...üxF ise, bu durumda x ı , , xi ye G nin e şlenik s ınıf temsilcileri
denir.
Örnek 12.1.5 Her G grubu için 1G = {1}; G nin bir eşlenik s ınıfıd ır.
Örnek 12.1.6 G = D3 =< a,b : a3 = b 2 = 1, b-l ab = a-1 > olsun. Bu
durumda G = {1, a, a 2 , b,ab, a 2 b} şeklindedir. Her g E G için gag-1 = a
veya a 2 olduğundan
aG = {a, a z }
dir. Ayr ıca her i E Z için aiba- i = a 2ib dir. Böylece
bG = {b,ab,a2 b}
dir. Bu durumda G nin e şlenik s ın ıflar ı ;
şeklindedir.
{1}, {a,a 2}, {b,ab,a 2b}
Örnek 12.1.7 Eğer G deği şmeli ise, her x,g E G için gxg -1 = x olduğundan
x G = {x} dir. Böylece G nin her bir e şlenik s ınıfında tam olarak bir eleman
vard ır.

12.2. Eşlenik S ınıflarm ın Eleman Say ıs ı 113
Şimdi sonlu bir grubun e şlenik s ın ıflar ının belirlenmesinde kullan ışlı bir
önerme verelim.
Onerme 12.1.8 x, y E G olsun. Eğer x ile y; G de eşlenik ise, bu durumda
her n tamsayıs ı için xn ile yn e şleniktir.Ayr ıca x ile y nin mertebesi ayn ıdır.
Ispat Her a, b E G için gaby -1 = (gag')(gbg-1 ) dir. Böylece
gx ng- ı = (gxg- ı \n ) dir. x ile y G de e şlenik olsun. Bu durumda y = gxg -1
olacak şekilde g E G vardır. Buradan yn = gxng -1 olup xn ile yr' G de
eşleniktir. x in mertebesi m olsun. Bu durumda yrn = gxmg -1 = 1 ve
< r < m için yr = gxrg -1 1 olduğundan y nin mertebesi m dir. ■
12.2 Eşlenik S ınıflar ın ın Eleman Say ıs ı
Tan ım 12.2.1 x E G olsun. x in G deki merkezleyeni G deki x ile değişmeli
olan tüm elemanlardan olu şur ve CG(x) ile gösterilir. Yani,
şeklindedir.
CG(x) = {g E G : xg = gx} = {g E G : gxg -1 = x}
CG(x) in G nin bir altgrubu olduğu kolayca gösterilebilir. x E CG(x)
olduğundan her x E G için < x >C CG(x) dir.
Şimdi vereceğimiz teorem, merkezleyen yard ımıyla G nin e şlenik s ımflar ındaki
eleman say ılarını belirler.
Teorem 12.2.2 x E G olsun. Bu durumda, xG e şlenik s ınıfındaki eleman
say ıs ı,
d ır. Özel olarak I x G I; I G I yi böler.
Ispat g,h E G olmak üzere
I X G [G : CG(x)] =I G I CG(x) I
gxg-ı hah-1 > h-ı gx = xh-1 g
y E CG(x)
gCG(x) = hCG(x)

114 Bölüm 12. Eşlenik S ın ıfları
dir. Böylece xG den CG(x) in G içindeki sol kosetlerinin cümlesine birebir
bir fonksiyon tan ımlayabiliriz. Her g E G için
f : gxg -1 ---> gCG(x)
şeklinde tan ımlanan f fonksiyonu birebir ve örtendir. Böylece
dir.
Z(G); G nin merkezi olmak üzere
I x G I= [G : CG(x)]
■
I x G 1= 1 gxg -1 = x (g E G)
x E Z(G)
dir. Şimdi aşağıdaki tan ımı verebiliriz.
Tan ım 12.2.3
x ı ; G nin eşlenik s ın ıf temsilcileri olmak üzere
I G I= Z(G) I +
denklemine G nin s ın ıf denklemi denir.
OZ( G)
I xG I
12.3 Dihedral Gruplar ın Eşlenik S ın ıflar ı
Şimdi Teorem 12.2.2 nin bir uygulamas ın ı verece ğiz.
G = Dn ; 2n. mertebeden dihedral grup,
D7, a,b : an = b2 = 1, b-1 ab = a-1 >
olsun. G nin e şlenik sınıflar ın ı belirlerken Tl in tek veya çift olma durumunu
gözönüne alaca ğız.
(i) n tek olsun. Önce 1 ] = 2

12.3. Dihedral Grupların Eşlenik S ınıfları 115
dir. Ayrıca baib-1 = a-i olduğundan {ai,a-i} C (aT)G dir. n tek
olduğundan a i # a-i dir. Böylece 2 , (ai ) G = {ai
Şimdi b E G yi gözönüne alal ım. Aç ık olarak {1, b} C CG(b) dir.
bai b-1 = a-i olduğundan 1 < i < rı — 1 için ai ve ai b elemanlar ı b
ile deği şmeli değildir. Böylece CG(b) {1, b} dir. Teorem 12.2.2 den
dolay ı I bG I= n dir.
ai şeklindeki bütün elemanlar önceki e şlenik s ınıflarında yer aldığından
dolay ı bG; G nin diğer TL tane eleman ından olu şmak zorundad ır. Bu
sebeple
bG =
şeklindedir. Sonuç olarak n nin tek olmas ı durumunda Dr, dihedral
grubu tam olarak
tane e şlenik s ımfına sahiptir;
1+ ( ıı — 1)/2 1 (n + 3)/2
{1},{a,a-1},...,{a(n-1)/2, a-(n-1)/2}, {b,ab,...,an-l b} (12.1)
(ii) n çift olsun. Bu durumda bir m E Z için n = 2m dir.
bamb-1 = a- Tn = am olduğundan {a, b} C CG(am) ve böylece
CG(am) = G dir. Bu sebeple (a7n)G = {am} dir. (i) deki gibi
1 < < m — 1 için (ai) G = {ai,a-i} dir.
Her bir j tamsay ısı için,
aiba-i = a27 b,
ai(ab)a- = a23+lb

116 Bölüm 12. E şlenik S ın ıfları
olduğundan
bG = {a23 1ı : O < j < m - 1} , (ab)G = {a 23 + 1 b : O < j < m - 1}
şeklindedir. Sonuç olarak D , dihedral grubu tam olarak
tane e şlenik sınıfına sahiptir;
1 -F 1 (m - 1) -I- 2 = m 3
{I}, {am},..., {am-i, a (7r4 (12.2)
{a 2jb:0

12.4. S, in E şlenik S ınıfları 117
x = (a i ... ak ı ) (e ı .. • Cie s )
Y = (a; a'ki ) . .(ci ...eks )
şeklindedir.
a ı (4, , ek. --> e iks e olacak şekilde bir g E S, vard ır ve böylece
(12.4) den
gxg -1 = y
dir. Böylece a şağıdaki teoremi ispatlam ış olduk.
Teorem 12.4.2 x E S, olsun. Bu durumda
şeklindedir.
x sn = {g E Sn : x ile g ayn ı devir tipindedir}
Örnek 12.4.3 S3 ün eşlenik s ın ıfları ;
S ınıf
Devir-tipi
{(1)} (1,1,1)
«12),(13),(23)} (2,1)
{(123),(132)} (3)
şeklindedir.
Örnek 12.4.4 S4 de (12)(34) ün e şlenik s ınıfı (2,2) devir-tipli tüm elemanlardan
olu şur:
((12)(34)) s4 = «12)(34),(13)(24), (14)(23)}

118 Bölüm 12. E şlenik S ın ıfları
Örnek 12.4.5 S4 ün tam olarak be ş tane e şlenik s ınıfı vard ır. Bu e şlenik
s ınıflar ı= temsilcileri:
(1),(12),(123),(12)(34),(1234)
permütasyonlar ıdır.
E şlenik s ın ıflar ındaki eleman say ıs ını hesaplamak için 2-devir, 3-devir,...
lerin say ısını belirleyeceğiz. 2-devirin say ısı {1, 2,3, 4} den seçilebilecek çiftlerin
4
sayıs ına e şittir. Bu da ( 2 = 6 d ır. 3-devirin say ıs ı 4 x 2 dir (4, sabit
noktalar ın seçimi için, verilen bir noktay ı sabitleyen 2 tane 3-devir vard ır).
Benzer olarak, (2,2) devir-tipli üç eleman ve 4-devir tipli alt ı tane eleman
vard ır. Yani G = S4 için g e şlenik s ın ıf temsilcisi, I g G 1 eşlenik s ınıfın eleman
say ıs ı ve 1 CG(g) merkezleyenin mertebesi olmak üzere
g (1) (12) (123) (12)(34) (1234)
gG 6 8 3 6
CG(g)1 24 4 3 8 4
şeklindedir. Ayr ıca S4 ün s ın ıf denklemi:
dir.
154 1=1+6+8+3+6= 24

12.5. A n in Eşlenik S ınıfları 119
Örnek 12.4.6 G = S5 için aşağıdaki tabloyu inceleyiniz.
(1)
(12)
(123)
(12)(34)
(1234)
(123)(45)
(12345)
gG I
10
20
15
30
20
24
I CG(g)
120
12
6
8
4
6
5
Ayr ıca S5 in s ınıf denklemi:
şeklindedir.
1S 5 1=1+10+20+15+30+20+24
12.5 A n in Eşlenik S ın ıflar ı
x E Ar, olsun. Teorem 12.3.2 den xsn e şlenik s ınıfı , x ile ayn ı devir-tipine
sahip Sn deki tüm permütasyonlardan olu şmaktad ır. Ar, de x in xAn e şlenik
s ınıfı
x A ' = {gxg -1 : g E A T,}
şeklindedir. Aç ık olarak xAn C xsn dir. Fakat xAn x Sn olabilir. Gerçekten
x = (123) E A3 olmak üzere x-s3 = {x, x -1 } olmas ına rağmen x A3 = {x} dir.
Şimdi vereceğimiz önerme hangi ko şullarda xsn = X A " olacağını kesin
olarak belirler ve e şitlik sağlanmadığı zaman x An eşlenik s ımfının belirlenmesi
için bir yöntem verir.
Önerme 12.5.1 n > 1 olmak üzere x E A,, olsun.
(i) Eğer x; 5,, deki herhangi bir tek-permütasyon ile değişmeli ise, bu durumda
xs'. = X A " dir.

120 Bölüm 12. E şlenik S ınıfları
(ii) Eğer x; Sn deki tek-permütasyonlarla değişmeli de ğilse, bu durumda
xsn, temsilcileri x ve (12)x(12)" olan A n de ayn ı eleman say ılı iki
eşlenik s ın ıf ına ayrılır.
Ispat
(i) g E S n bir tek-permütasyon olmak üzere gx = xg olsun. Eğer y E x sn
ise, bu durumda y = hxh' olacak şekilde bir h E S, vard ır. Eğer h
çift ise, bu durumda y E x An dir. Eğer h tek ise, bu durumda hg E An
ve
y = hx11-1 = hxyg"h" = hgx(hg)"
olacağından y E x An dir. Böylece xsn C xAn olduğundan xsn = x A n
dir.
(ii) Eğer x; S n deki tek-permütasyonlarla de ği şmeli değilse, bu durumda
Cs„(x) = C A,,(X) dir. Teorem 12.2.2 gere ğince
I
x A n I = [An : CA„(x)]
1 1
2 [Sn : CA„(x)] , (I An I= 2
S, 1)
2 [Sn : Cs,,(x)]
xsn
olur. a E An olmak üzere her tek-permütasyon a(12) biçiminde oldu ğundan
şeklindedir.
{hxl ı-1 : h tek} = ((12)x(12) -') An
x sn = {hx17, -1 : h çift} U {hxl ı,-1 : h tek}
xAn U ((12)X(12) -1 ) A "
olup I x A n I= xsn z I I olduğundan xAn ile ((12)x(12) -1 ) A" eşlenik
s ın ıflar ı ayr ık ve eleman say ılar ı ayn ı olmak zorundad ır.

12.5. in Eşlenik S ınıfları 121
Örnek 12.5.2 A4 ün e şlenik s ınıflarını bulalım. A4 ün elemanlar ı, birim,
(2,2) ve (3) devir-tipli permütasyonlard ır. (12)(34), (12) tek-permütasyonu
ile deği şmeli olduğundan Onerme 12.5.1 gere ğince
((12)(34)) A4 = ((12)(34)) L4 = «12)(34),(13)(24),(14)(23)}
şeklindedir. Ayr ı ca (123) 3-deviri hiçbir tek-permütasyonla de ği şmeli değildir.
Eğer g(123)g -1 = (123) ise, Onerme 12.3.1 den (123) = (g(1)g(2)g(3)) dir.
Böylece g; (1), (123) veya (132) olmak zorundad ır. Bu durumda Onerme
12.4.1 den (123) s4 , temsilcileri (123), (12)(123)(12) -1 = (132) ve eleman
sayılar ı 4 olan A4 de ayrık iki e şlenik sınıfına parçalan ır. Sonuç olarak
aşağıdaki tabloyu verebiliriz:
■
g (1) (12)(34) (123) (132)
Ig G 1 3 4 4
CG(g) I 12 4 3 3
Örnek 12.5.3 A5 in eşlenik s ınıflar ın ı bulalım. 55 de birim olmayan bir
çift permütasyon (3), (2,2) veya (5) devir-tipindedir. (123) ve (23)(45);
(45) tek-permütasyonu ile de ğişmeli, fakat (12345) hiçbir tek-permütasyonla
deği şmeli değildir (Örnek 12.5.2 deki yöntem ile kontrol ediniz). Böylece
Onerme 12.5.1 den A5 in e şlenik s ınıf temsilcileri (1), (123), (12)(34), (12345)
ve (12)(12345)(12) -1 = (13452) şeklindedir.

122 Bölüm 12. E şlenik S ınıfları
Onerme 12.5.1.(ii) yi kullanarak a şağıdaki tabloyu elde edebiliriz.
g (1) (123) (12)(34) (12345) (13452)
gG 20 15 12 12
CG(g} I 60 3 4 5 5
12.6 Normal Altgruplar
Şimdi normal altgruplarla e şlenik sınıflar ı aras ındaki il şkiyi verelim
Onerme 12.6.1 H; G nin bir altgrubu olsun. Bu durumda
H

12.7. Bir Grup Cebirinin Merkezi 123
ve (1) E H olduğundan; I H I= 1, 1+ 3, 1 + 8 + 3 veya 1 + 6 + 8 + 3 + 6
olmak zorundad ır. Böylece;
I H 1=1 ise, H = {(1)},
I H I= 24 ise, H = G,
I H H 12 ise, H = A4,
I H I= 1+ 3 ise,
H = (1)s4 U ((12)(34)) S4 = {(1), (12)(34),(13)(24), (14)(23)}
şeklindedir. I H I= 1+3 için bulduğumuz normal altgrubu V4 ile gösterece ğiz.
Sonuç olarak S4 ün tam olarak dört tane normal altgrubu vard ır:
{(1)},S4 ,A4 ve V4 = «1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
12.7 Bir Grup Cebirinin Merkezi
Son olarak G grubunun e şlenik s ın ıflar ı ile CG grup cebirinin merkezi aras ındaki
ili şkiyi verece ğiz. CG grup cebirinin merkezini
Z(CG) = {z E CG : zr = rz, r E CG}
olarak tan ımlamışt ık. Z((CG) nin CG nin bir altuzay ı olduğunu biliyoruz.
G nin e şlenik s ın ıflarındaki elemanlar yard ımıyla Z((CG) nin bir baz ın ı belirleyece
ğiz.
Tan ım 12.7.1 Cı,...,C İ ; G nin farklı e şlenik s ınıflar ı olsun. 1 < i < / için
olmak üzere CG nin C1 ,
C, = g
gEC,
, C/ elemanlar ına s ınıf toplamları denir.
Onerme 12.7.2 Cİ,...,Ci; Z((CG) nin bir baz ıdır.
İspat İlk olarak 1 < i < / için C, E Z((CG) olduğunu gösterelim.
Yı , • • • , yr E G olmak üzere C, =
, yrgy,: ı } olsun. Bu durumda

124 Bölüm 12. E şlenik S ınıfları
ve her h E G için
hCih -1 = hgigy h -1
şeklindedir. 1 < j < r için
hyjggr l h-1 = hykgy i7l h-1 < gigy7 1 = ykgy ı7 1
olduğundan hyjgyi-l rı -I ; Ci yi tarar. Böylece
T
j=1
hyigy71.h-1 Ci
olup hCilı-1 = Ci dir. Bu durumda hCi = Cih dir. O halde her bir Ci
her h E G ile deği şmelidir. Sonuç olarak Ahh E (CG ile Ci E Z((CG)
hEG
deği şmelidir.
Şimdi {Ci,...,C/} nin lineer bağımsız olduğunu gösterelim. E ğer Ai E C
I ____
için AiCi = 0 ise, bu durumda C/ ler iki şer ayr ık olduğundan
i=1
1 < i < / için Ai = O dır.
Son olarak {C İ ,...,G} nin Z(CG) yi gerdi ğini gösterelim.
r = E A g g E Z(CG) olsun. h E G için rh = hr olduğundan hrh-1 = r dir.
gEG
Bu durumda
gEG
= E A9g
gEG
dir. Böylece her bir h E G için g nin katsay ısı A g , hgh -1 in katsay ısı Ah gh-1
ye e şittir. Yani g --> A g fonksiyonu G nin eşlenik s ınıflar ı üzerinde sabittir.
gi E Ci nin katsay ısı Ai = agj olmak üzere
r = E AiCi
i=1
şeklindedir. Böylece ispat tamamlanm ış olur.
Örnek 12.7.3 Örnek 12.4.3 den Z(0S3 ) ün bir baz ı
dir.
{(1), (12) (13) -F (23), (123) -I- (132 )}

12.8. Al ıştırmalar 125
Örnek 12.7.4 (12.2) ve (12.3) den Z(CD 4 ) ün bir baz ı
dir.
{1, a 2 , a3 , b + a2 b, ab + a3b}
12. Bölümün Ozeti
(i) Her grup e şlenik s ınıflarının bir birle şimidir ve farkl ı e şlenik s ınıflar ı
ayrıkt ır.
(ii) G grubunun bir x eleman için CG(x) merkezleyeni G nin x ile deği şmeli
olan elemanlar ının cümlesidir. Bu cümle G nin bir altgrubudur. x G
e şlenik s ın ıfı= eleman say ıs ı [G : CG(x)] e eşittir.
(iii) S„, in eşlenik s ınıflar ı , Sr, deki permütasyonlar ın devir-tipi ile ili şkilidir.
(iv) Eğer x E Ar, ise, bu durumda x-4- = xsn• olmas ı için gerek ve yeter
şart x in Sn deki herhangi bir tek-permütasyon ile de ğişmeli olmas ıd ır.
(v) CG nin s ıluf toplamlar ı CG nin merkezi için bir bazd ır:
12.8 Al ışt ırmalar
(1) G bir grup ve x E G olmak üzere CG(x) in G nin Z((CG) yi içeren bir
altgrubu oldu ğunu gösteriniz.
(2) G sonlu bir grup g E G ve z E Z(G) olsun. I gG 1, 1 (g z)G I olduğunu
gösteriniz.
(3) G = S7, olsun.
(a) ( (12)G I= ( 2 )
olduğunu gösteriniz ve CG((12)) yi belirleyiniz.
(b) I (123)G I= 2 ( 3n ) ve I ((12)(34)) G H 3 ( 4n )
olduğunu gösteriniz.

126 Bölüm 12. E şlenik S ın ıfları
(c) n = 6 olsun.
((123)(456)) G 40 ve I ((12)(34)(56)) G I= 15
olduğunu gösteriniz ve S6 nın diğer e şlenik s ın ıflar ındaki eleman
say ılar ın ı bulunuz.
(S6 nın 11 tane e şlenik s ınıfı olduğuna dikkat ediniz.)
(4) xA 6 xs6 şart ın ı sağlayan x E A6 permütasyonlarm ın devir-tipleri
nedir Ara şt ır ınız.
(5) As in bir basit grup oldu ğunu gösteriniz.
(Yol Gösterme: Örnek 12.6.2 deki yöntemi uygulay ınız.)
(6) Qg quaternion grubunun e şlenik s ınıflar ını belirleyiniz ve CQ8 in merkezi
için bir baz bulunuz.
(7) p bir asal say ı, n pozitif bir tamsay ı ve G grubunun mertebesi p% olsun.
(a) Tanım 12.2.3 ii kullanarak Z(G) {1} oldu ğunu gösteriniz.
(b)
n > 3 ve I Z(G) 1= p olsun. G nin eleman say ıs ı p olan bir e şlenik
s ın ıfına sahip olduğunu ispatlay ınız.

Kaynaklar
[1] Collins, M. J. , Representations and Characters of Finite Groups,
Cambridge University Press, 1990.
[2] Coxeter, H. S. M. and Moser, J. O. , Generators and Relations for
Discrete Groups , Springer-Verlag, 1980.
[3] Curtis, C. W. and Reiner, I. , Methods of Representations Theory
with Applications to Finite Groups and Orders, Volume I , Wiley-
Interscience, 1981.
[4] Fraleigh, J.B. , A First Course in Abstract Algebra, Addison-
Wesley, 1982.
[5] Jacobson, N. , Basic Algebra II , W. H. Freeman and Company,
1985.
[6] James, G. D. and Liebeck, M. , Representations and Characters of
Groups, Cambridge University Press, 1993.
[7] Passman, D. S. , Permutation Groups, Benjamin, 1968.
[8] Rotman J. J. , An Introduction to the Theory of Groups , Allyn
and Bacon, 1984.
[9] Sagan, B.E. , The Symmetric Group, Representations, Combinatorial
Algorithms and Symmetric Functions, Wadsworth and Brooks,
1991.
127

Indeks
A4, 121
A5, 121
A n , 8, 9, 119
Cr,,, 2, 93
13,, 2
FG-altmodül, 53
FG-homomorfizma, 65
FG-izomorfizma, 67
FG-modül, 42
aşikar, 46, 66
altmodül, 53
faithful, 46, 60, 90
indirgenebilir, 54
indirgenmez, 54, 78, 83, 95
izomorfik, 67
permütasyon, 48, 66
regüler, 60
G L(n, F), 3
Q8, 4
S4, 73
Sn , 3, 4, 116
aşikar FG-modül, 46, 66
aşikar gösterim, 37
alterne grup, 4
altgrup, 3
devirli, 3
normal, 7
altuzay ı, 15
bölüm grubu, 8
basit grup, 10
baz, 15
doğal, 48, 58
baz değişim matrisi, 24
Birinci Izomorfizma Teoremi, 9
boyut, 15
cebir, 60
çekirdek, 8, 19
dış direkt toplam, 18
denk gösterim, 35, 48
devir tipi, 116
devirli altgrup, 3
devirli grup, 2, 3, 86
değişmeli grup, 3, 86
dihedral grup, 2
direkt çarp ım, 5
direkt toplam, 16
dış , 18
doğal baz, 48, 58
e şlenik, 111
eşlenik s ın ıf temsilcisi, 112
e şlenik sınıfı, 111
endomorfizma, 20
faithful FG-modül, 46, 60, 90
faithful gösterim, 37
gösterim, 33
128

Indeks 129
aşikar, 37
denk, 35, 48
faithful, 37
indirgenebilir, 54
indirgenmez, 54, 84
regüler, 60
gösterimin çekirdeği, 37
gösterimin derecesi, 33
genel lineer grup, 3
germe, 14
grubun merkezi, 90
grup, 1
alterne, 4
altgrup, 3
bölüm, 8
basit, 10
devirli, 2, 3, 86
deği şmeli, 3, 86
dihedral, 2
genel lineer, 3
quaternion, 4
simetrik, 3
grup cebiri, 59
grup cebirinin merkezi, 88, 123
homomorfizma, 5
indeks, 7
indirgenebilir FG-modül, 54
indirgenebilir gösterim, 54
indirgenmez FG-modül, 54, 78, 83,
95
indirgenmez gösterim, 54, 84
izomorfik FG-modüller, 67
izomorfizma, 5
kö şegensel matris, 26
kompozisyon faktörü, 97
koset, 7
Lagrange Teoremi, 7
lineer bağımsız, 14
lineer dönüşüm, 18
lineer kombinasyon, 14
Maschke Teoremi, 75
matris
kö şegensel, 26
permütasyon, 48
tersinir, 24
merkez
grup, 90
grup cebiri, 88, 123
merkezleyen, 113
mertebe, 1
normal altgrup, 7
ortak kompozisyon faktörü, 97, 102
özdeğer, 25
özvektör, 25
permütasyon
çift, 4
tek, 4
permütasyon matrisi, 48
permütasyon modülü, 48, 66
projeksiyon, 27
quaternion grup, 4
Rank-Nullity Teoremi, 19
regüler FG-modül, 60
regüler gösterim, 60
sımf denklemi, 114
sınıf toplamlar ı, 123
Schur Lemmas ı, 83
simetrik grup, 3
tam cümle, 107

130 indeks
tamamen indirgenebilirlik, 79
tersinir matris, 24
transpozisyon, 4
vektör uzay ı, 14
altuzay, 15