PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

2 Bölüm 1. Gruplar ve Homomorfizmalar
Örnek 1.1.1 n pozitif bir tamsay ı ve C kompleks say ılar cümlesi olsun. C
de birimin n. köklerinin kümesi, kompleks say ılardaki çarpma i şlemine göre
n. mertebeden bir gruptur. Bu gruba Tl- mertebeden devirli grup denir ve
C, şeklinde gösterilir.
Eğer a = e 27riin (1 < < n) ise, an = 1 ve
şeklindedir.
C, = {1,a,a2 ,...,an-1 }
Ornek 1.1.2 Z tamsay ılar cümlesi toplama i şlemine göre bir gruptur.
Ornek 1.1.3 n pozitif bir tamsay ı ve n > 3 olsun. n kenarl ı bir düzgün
poligonun tüm dönme ve yans ımalar ın ı göz önüne alal ım Bu durumda
bütün dönmeler, pk; 0 merkezi etrafında saat yönünde 2 ırk/n kadar dönmeyi
göstermek üzere Po,Pı , • • • , Pn-1 şeklinde olacakt ır. Ayr ıca 0 merkezi ve
poligonun bir köşesinden geçen doğrulara veya O merkezi ve poligonun kenarlarm
ın orta noktas ından geçen do ğrulara göre yans ımalar ın sayısı n dir.
Elde edilen dönme ve yans ımalar, fonksiyonlarm bile şke i şlemine göre bir
grup olu ştururlar. Bu gruba 2n. mertebeden ditı clral grup denir ve D, ile
gösterilir.
Poligonun bir kö şesi A olmak üzere, O ve A dan geçen do ğruya göre
yans ımay ı b, p ı dönmesini a ile gösterecek olursak; n tane dönmeyi,
ve n tane yans ımayı ,
1, a,..., an -1
b, ab, . . . , an-1 b
şeklinde ifade edebiliriz. Böylece /3„ in bütün elemanlar ı a ve b nin kuvvetlerinin
çarp ımı olarak elde edilmi ş olur.
Kolayca an = 1, b 2 = 1 ve b-lab = olduğu gösterilebilir. Bu
bağınt ılar, grubun herhangi iki eleman ının çarp ımın ın kuralın' belirler. Gerçekten;
bay = cı-3 b (ba = a- lb bağınt ısı yardım ıyla) ve
olur. Sonuç olarak
(aib)(ajb) = aibajb = ata-j bb = at-i
elde edilir.
D, =G a, b : an = b2 = 1,1)-1 ab >