PDF Dosyası - Ankara Üniversitesi Kitaplar Veritabanı

8.2. Maschke Teoreminin Sonuçlar ı 79
Tan ım 8.2.1 V bir FG-modül ve 1 < i < r için Ui ler V nin indirgenmez
FG-altmodülleri olmak üzere
V =
ise, bu durumda V ye tamamen indirgenebilirdir denir.
Teorem 8.2.2 Eğer G sonlu bir grup ve F = R veya C ise, bu durumda
s ıf ırdan farklı her FG-modül tamamen indirgenebilirdir.
ispat V s ıfırdan farkl ı bir FG-modül olsun. İspat ı V nin boyutu üzerinde
tümevar ım uygulayarak yapaca ğız. dimV = 1 ise, bu durumda V indirgenmez
olduğundan iddia doğrudur.
Eğer V indirgenmez ise, bu durumda iddia yine do ğrudur. Kabul edelim
ki V indirgenebilir olsun. Bu durumda V nin {O} ve V den farkl ı bir U FGaltmodülü
vard ır. Maschke Teoreminden V = U ED W olacak şekilde bir
W FG-altmodülü vard ır. dimU < dimV ve dimW < dimV olduğundan
tümevar ımla 1 < i < r) olmak üzere Ui indirgenmez FG-altmodülleri için
U =Ui®•••® Ur
ve Wi (1 < j < s) indirgenmez FG-altmodülleri için
w = e . e W,
şeklinde yaz ılabilir. Bu durumda Sonuç 2.4.5 den
v (ii . • • e ur e wı e • • • e Ws
olup, V indirgenmez FG-altmodüllerin direkt toplam ıdır.
Maschke Teoreminin bir önemli sonucu da aşağıda verilmi ştir.
Onerme 8.2.3 V bir FG-modül, F = 118 veya C, G sonlu bir grup olsun.
U; V nin bir FG-altırıodillii olmak üzere V den U ya örten bir FGhomomorfizma
vard ır.
Ispat U; V nin bir FG-altmodülü ise, Maschke Teoreminden V = U ED W
olacak şekilde V nin bir W FG-altmodülü vard ır. Bu durumda Önerme
7.3.1 den u E U, w E W için
■
Ir : V U
fonksiyonu örten bir FG-homomorfizmad ır.
W
■